सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित और ज्यामितीय निरूपण
सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित (Algebra of Complex Numbers)
महत्वपूर्ण परिणाम (Important Results)
- परिणाम 1: किसी सम्मिश्र संख्या (z = a + ib) और उसके संयुग्म (z̅ = a - ib) का गुणनफल हमेशा उसके मापांक के वर्ग के बराबर होता है।
- z · z̅ = (a + ib)(a - ib) = a² - (ib)² = a² + b² = |z|²
- परिणाम 2: किसी सम्मिश्र संख्या के व्युत्क्रम (reciprocal) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
- 1/z = z̅ / |z|²
- इसका अर्थ है कि हर (denominator) में से सम्मिश्रता हटाने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्म से गुणा करें।
उदाहरण (Example):
(3 + 4i) / (2 - 3i) को सरल कीजिए।
- अंश (Numerator): (3 + 4i)(1 - i) = 3 - 3i + 4i - 4i² = 7 + i
- हर (Denominator): 2 - 3i के संयुग्म (2 + 3i) से गुणा करें और |2 - 3i|² = 4 + 9 = 13 से भाग दें।
- (7 + i)(2 + 3i) / 13 = (14 + 21i + 2i + 3i²) / 13 = (11 + 23i) / 13
- अतः उत्तर = 11/13 + (23/13)i
- विशेष स्थिति (यूनिट मॉडुलर संख्या): यदि किसी संख्या का मापांक 1 है (|z| = 1), तो उसका संयुग्म उसका व्युत्क्रम होता है (z̅ = 1/z)।
भागफल (Division)
दो सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करने के लिए, हर को परिमेय बनाने की प्रक्रिया अपनाई जाती है।
(z₁ = a + ib) / (z₂ = c + id)
= (a + ib) / (c + id) * (c - id) / (c - id)
= [(ac + bd) + i(bc - ad)] / (c² + d²)
सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण (Geometric Interpretation)
सम्मिश्र संख्याओं को तीन तरीकों से देखा जा सकता है:
- बीजगणितीय संख्या (Algebraic Number): सामान्य संख्याओं की तरह जोड़ना, घटाना, गुणा, भाग करना। इसे मैट्रिसेस: परिभाषा, प्रकार और महत्वपूर्ण अवधारणाएँ से जोड़कर भी समझा जा सकता है।
- बिंदु (Point): एक द्वि-आयामी समतल (आर्गंड तल) में स्थित बिंदु।
- सदिश (Vector): एक द्वि-आयामी सदिश जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
सदिश के रूप में सम्मिश्र संख्या
दो बिंदुओं (z₁ और z₂) के बीच का सदिश z₂ - z₁ होता है।
- |z₂ - z₁| का अर्थ है दो बिंदुओं (z₁ और z₂) के बीच की दूरी।
- arg(z₂ - z₁) का अर्थ है कि यह सदिश धनात्मक वास्तविक अक्ष (Positive Real Axis) के साथ कितना कोण बनाता है।
सम्मिश्र संख्याओं का लोकस (Locus of Complex Numbers)
1. वृत्त (Circle)
- समीकरण: |z - z₀| = r
- व्याख्या: z का वह बिंदुपथ जिसकी केंद्र z₀ से दूरी सदैव r (त्रिज्या) के बराबर रहती है।
- लोकस: केंद्र (z₀) और त्रिज्या (r) वाला एक वृत्त। वर्गमूल और मापांक की अवधारणा को गहराई से समझने के लिए वर्गमूल निकालना सीखें: आसान तरीका | Square Root Tricks in Hindi पढ़ें।
2. लंब समद्विभाजक (Perpendicular Bisector)
- समीकरण: |z - z₁| = |z - z₂|
- व्याख्या: z उन दो बिंदुओं (z₁ और z₂) से समान दूरी पर स्थित है।
- लोकस: रेखाखंड (z₁ और z₂ को मिलाने वाली) का लंब समद्विभाजक।
3. किरण (Ray)
- समीकरण: arg(z - z₁) = θ (जहाँ θ एक स्थिर कोण है)
- व्याख्या: सदिश (z - z₁) धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ सदैव θ कोण बनाता है।
- लोकस: बिंदु z₁ से निकलने वाली एक किरण। (बिंदु z₁ स्वयं इसके अंतर्गत नहीं आता क्योंकि arg(0) अपरिभाषित होता है)। रीजनिंग और ज्यामिति से जुड़े अन्य विषयों के लिए रीजनिंग: ब्लड रिलेशन, डायरेक्शन और मैथमेटिकल ऑपरेशन पूरी गाइड देखें।
लेट्स मूव फॉरवर्ड ंग ज इ ए प्लस आयो प देन जड बार विल बी ए माइनस बी इ आ मल्टीप्लाइंग ज इन जड बार वट य हैव ए प्स
अयो बी इन ए माइनस अयो बी ठीक हैय तोसे हो गया एक् प्वा और एक्स माइनस वा च विल बी एक्स स्क माइनस वा स्
च ज अगेन ए स्क्र प्स बी स्क्र ठीक है और यह दे रखा है कि ए एंड बी आर रियल तो जड इन जड बार विल बी ए स्क्र प्
बी स्क का जो मोड स्क्वायर रूट है वह तो मडल होते है तो ए स्क प् बी स्क्वा को कैसे लिख सकते हैं मोड जड का होल स्क्वायर
ठीक है तो इंपोर्टेंट रिजल्ट आ गया किसी भी कॉम्लेक्स नंबर को अगर उसके कॉप्लेक्स कजग मल्टीप्लाई करें तो मैग्निटिया
जड को इधर ले गए जड स्क्वायर के मोड को इधर ले गए तो नोट वन जड बार अपन मोड जड स्क्वा इट न
ओवर जड फिर दोबारा लिखा न ओवर जड बराबर ज बार अपन मोड जड स्क्वायर ठीक है यह जो है यह रिजल्ट वन है
यह भी याद रखना है इसी को रिअरेंज करके रिजल्ट टू लिखा है यह भी याद रखने ठीक रिजल्ट वन बेसिकली क्या करेगा कि हमने
क्या बोला मोड का स्क्वायर क्या होगा मोड के अंदर जो भी लिखा उस लिखो इनटू उसका बार लिखा तो यह जो रिजल्ट वन है यह तो हम
मैनिपुलेशन में यूज करेंगे न व हैविंग म का स्क्वायर ठीक है मोड को हटा के मान लि हमें कॉम्प्लेक्शन में लेके आना है तो वी
विल यूज रिजल्ट वन रिजल्ट टू को हम ऐसे बोल सकते हैं कि 1 अप ज में z डिनॉमिनेटर में तो अगर इस कॉम्प्लेक्शन में ले जाना
है तो रिजल्ट टू यूज कर सकते हैं ठीक है और उसका तरीका क्या है कि जो भी डिनॉमिनेटर में है उसका बार न्यूमरेशन में
लिख दिया और मैग्नी का स्क्वायर डिनॉमिनेटर में लिख दिया इसका मतलब क्या है फॉर
एग्जांपल सेफ हमम हैविंग थी + 4i इसका रेसिप प्रोकल तो इसको मैनिपुलेट करने के लिए
क्या बोला गया इफेक्टिवली कि 3 प् 4i का जो बार है दैट इज 3 - 4i वो तो न्यूमेट में लिख दिया और इसके जो मैग्नी का
स्क्वायर है मैग्निटिया ठीक है तो जैसे मान लिया मेरे को बोल जाए कि 3 प् 4 आयो इनटू 1 माइनस आयो अपॉन 2
माइ 3 आयो इसको कैलकुलेट करके दिखाओ इसको सिंपलीफाई करके दिखाओ तो हम इसको ऐसे कर सकते हैं पहले इन दोनों को मल्टीप्लाई
किया तो रियल पार्ट कैसे आएगा जब इसको मल्टीप्लाई किया तो कितना आ जाएगा थ और इसको और इसको मल्टीप्लाई किया तो आ
जाएगा -4 आ स्क आ स्क माइनस हो जाएगा तो प्स फ हो गया 3 प् 4 7 इजन पार्ट कैसे आएगा जब इन दोनों
को मल्टीप्लाई करेंगे तो फिर आ गया 4 एंड इसकी और इसकी व से माइनस 3 तो फिर कितना बचा प् आ ठीक य
तो हो न्यूटर को सिंपलीफाई करने से अब डिनॉमिनेटर में जो अभी हमने बोला नॉमिनेटर में को कपलेस तो उसको न्यूटर में कैसे ले
जाएंगे 2 प् 3 आयो लिखो इसका बार डिवाइड बाय इसके मोड का स्क्वायर तो मोड का स्क्वायर हो जाएगा 4 प्
9 दैट विल बी 30 सो दिस विल बी इक्वल टू फिर वापस ऊपर यह हो गया प् 14 एंड दिस विल बी -3 दैट विल बी 11 फिर इमेजन पर्ट दिस
विल बी 21 प् 2 23 होल डिवाइड बाय 30 ये हो गया
11/1 प् 23 बा 30 आ सिंपलीफिकेशन करके य आ जाए ठीक है तो हमने क्या बोला कि अगर कहीं पर भी मोड का
स्क्वायर ओपन करना हो तो उसको ऐसे कर सकते हैं जो भी मोड के अंदर लिखा है उसको लिखा इनटू उसी का
कॉम्प्लेक्शन में और मोड के स्क्वायर से डिवाइड कर दिया ठीक
है अच्छा रिजल्ट वन में अगर मान लिया जैसे और एक और नोट लिख फ म ज इव हो जाए ठीक है उसका हम क्या
बोलेंगे ट इज जड इज यूनि मडलर मतलब मेग्नीट्यूड वन है तोब क्या
होगा जड इन जड बार विल बी मोड ज स्क्वा एंड दैट इज वन तो य विल गेट ज इन जड बार बराबर 1 यहां से आ गया तो अगर जड यूनि
मॉडलर है तब क्या होगा जड और जड बार एक दूसरे का रेसिप प्रोकल हो जाएगा ठीक है तो नंबर और उसका
कॉम्प्लेक्टेड है तो यूनि मॉडलर का मतलब क्या अगर मैग्नी वन के बराबर है तो रेसिप कल कैसे हो जाएगा यहां से दिख रहा है अगर
दो नंबर का प्रोडक्ट वन हो जाए तो ऑफकोर्स वो एक दूसरे का रेसिप प्रोकल होगा ठीक है तो होप दिस क्लियर तो इसको
लैंग्वेज के फॉर्म में याद रखा इस पॉइंट को ट जज इफ जड इ यूनि मॉडलर
देन जड एंड जड बार विल बी रेसी प्रोकल ऑफ र
ठीक है ये रिजल्ट आया अच्छा यह जो अलजेब्रा चल रहा था इसमें हमने सम निकाल लिया डिफरेंस निकाल लिया
प्रोडक्ट निकाल लिया तो अब डिवीजन भी निकाल लेते ठीक है तो फोर्थ पॉइंट इ ंग जव अपन
ज2 च इ ए प्स अयो बी अपन सी प्स आयोडी सडी चारों रियल है ठीक है तो जो अभी हमने सीखा है उसके हिसाब से इस टर्म को न्यूमेट
में कैसे ले जा सकते हैं इसके कजुट से मल्टीप्लाई करो और डिवाइडेड बाय मैग्नी का स्क्वायर तो ए प्स आयो बी तो एज इट इज
लिखा हुआ है सी प् आयोडी के कजुट से ऊपर मल्टीप्लाई किया तो आ जाएगा सी माइनस आयोडी ठीक है और डिवाइडेड बाय इसके मोड का
स्क्वायर तो मोड के स्क्वायर में क्या आ जाएगा c स्क प् d स्क ठीक न्यूमेट में सिंपलीफाई करलो रियल
पार्ट के लिए ए और सी मल्टीप्लाई करने पर आएगा आयो बी आयोडी मल्टीप्लाई करने पर तो आ जाएगा ए प्लस बीडी अपन सी स्क प् स् एक
तो य आ गया और आयो के साथ क्या आ जाएगा बी सी माइनस अपॉन सी स्
प् ठीक तोय डिवीजन आ गया ज ज आई होप दिस क्लियर तो मतलब इस तरह का क्वेश्चन कर
सकते हैं लेट 3 प्स 4 आयो अपन न आयो बराबर एक्स प्स आयोवा देन
फाइंड एक्सवा ठीक तो सिंपली य क्या बो लेफ्ट साइड को सिंपलीफाई करके उसका रियल पार्ट
इमज पार्ट बताना है ठीक एक्स बिलोंग टू आ दोनों य तो लेफ्ट हैंड साइड को सिंपलीफाई कर लो 3
प्व माइनस आयो तो न माइनस यो को न्यूटर में ले जाएंगे कैसे न प्स आयो डिवाइडेड बाय
मैनीटूवन स्क्वा प्व स् ल बी सोस विल बी रियल पार्ट विल बी माइनस एंड इजन पार्ट विल बी
से ल डिवाइड बाय ूस ड इलाई रियल पार्ट जो हो गया ट इ माइनस हाफ एंड इमेजिनरी पार्ट वा विल बी 7 बाटू सो दिस ड बी र
आंसर ठीक है ओके नाउ
अगेन लेट्स मूव फॉरवर्ड अच्छा जो कॉम्प्लेक्शन नंबर को वी कैन थिंक ऑफ
फ्रॉम मेनी एंगल्स ठीक है बहुत अलग-अलग तरीके से ट्रीट कर सकते हैं पहली बार तो जैसे 3+ 4a होता है दैट इज नथिंग बट एन
अलजेब्राइक नंबर उसको नंबर की तरह ट्रीट कर लिया तो जैसे दो नंबर को डिवाइड करते हैं दो नंबरों को मल्टीप्लाई करते हैं
रियल नंबर्स को जैसे मल्टीप्लाई करते हैं वैसे ही दो कॉम्प्लेक्टेड हो जाएंगे डिवाइड हो जाएंगे ऐड हो
जाएगा सबट क्ट हो जाएगा ठीक है तो ऐसा भी हो सकता है कि कॉम्प्लेन जस्ट एक नंबर की तरह बिहेव
ठीक है टू डायमेंशन नंबर दूसरा जैसा कि हम पहले बोल चुके समथिंग कॉल्ड
कॉम्प्लेक्शन फर्मूला हो गया डिस्टेंस फर्मूला हो वह सारे वह सारे के सारे प्रॉपर्टी
कॉम्प्लेक्टेड एस पॉइंट इन टू डायमेंशन प्लेन और पहला हमने क्या बोला कॉम्प्लेक्शन बी ट्रीटेड एज ए सिंपल
अलजेब्राइक पॉइंट ठीक है एंड कॉम्लेक्स नंबर कैन आल्सो बी ट्रीटेड एज ए वेक्टर ठीक है टू डायमेंशन वेक्टर जैसे
मैग्निटिया बिहेव करेगा वैसे ही 2 आई कैप प्लस 3 ज कैप ठीक है वो वाला आई कैप अलग है ये आई योटा अलग है 2 आ कैप प्स 3 ज कैप
जो एक वेक्टर है उसको हम कॉम्प्लेक्शन में ऐसे ही ऐसे भी लिख सकते हैं 2 प् 3 आयो तो 2 प् 3 आयो
इज आल्सो नथिंग बट वेक्टर टू डायमेंशन वेक्टर जिसम मैग्नी होगा डायरेक्शन होगा तो जैसे दो वेक्टर को ऐड करते हैं वैसे ही
दो कॉम्प्लेक्शन से ठीक है तो कॉम्प्लेक्शन से हम
कॉम्प्लेक्टेड करता है कि क्वेश्चन में क्या बोला गया है किस कांटेक्ट में वो यूज किया जा रहा है किसी क्वेश्चन के अंदर हो
सकता है कि हम उसको पॉइंट की तरह ट्रीट करके क्वेश्चन सॉल्व कर ले ठीक है या फिर वेक्टर की तरह ट्रीट करके क्वेश्चन सॉल्व
कर या फिर सिंपल अलजेब्राइक मैनिपुलेशन लगा के जैसे अलजेब्राइक नंबर होते हैं वैसे हम सॉल्व
तो इसी बात को हम लिखेंगे अ कॉम्प्लेक्शन
बी ट्रीटेड एज फर्स्ट एन
अलजेब्राइक नंबर च फॉलोज से सम
प्रोडक्ट डिवीजन एट सेक्ट ठीक है और सेकंड
पार्ट इट कैन बी ट्रीटेड एज अ पॉइंट इन ए डी प्लेन च फॉलोज
रूल्स ऑफ से सेक्शन फार्मूला और डिस्टेंस फर्मूला
एट तो इट कैन बी
ट्रीटेड एस ए वेक्टर ठीक है बोथ पोजीशन
वेक्टर और फ्री वेक्टर फी
वेक्टर च है मैग्निटिया अगर हमें यह दे ज इ 3 प्स 4 आयो तो अगर
इससे एक तो पॉइंट की तरह भी ट कर सकते हैं 3 फ एक पॉइंट हो गया ठीक है ऐसे बोल सकते ठीक है और हम ऐसे बोल सकते कि जो ्र
कमा पॉइंट है उसका यह पोजीशन वेक्टर हो गया तो 3 प्स 4 आयो यह पोजीशन वेक्टर पोज टर हमेशा रिजन से शुरू होता है
तो मान पॉइंट प है तो जो ओ वेक्टर है ठीक है ट कैन ल्स बी टेकन 3 प् फ आ और हम ऐसे भी कर सकते हैं कि जैसे यह जो
वेक्टर आया ठीक है इसको हमने पली शिफ्ट करके और कहीं रख दिया मा य रख दिया ठीक है सच दैट इसका जो प्रोजेक्शन है एक्स एक्सिस
और वा एक्सिस की डायरेक्शन में ी और फोर का हो जाए ठीक है तो अब यह फ्री वेक्टर की तरह ट्रीट हो रहा है फ्री वेक्टर मतलब
कहीं पर भी ट्रांसलेट करके इसको रख सकते हैं ठीक है तो जो पॉइंट पॉइंट की तरह भी ट्रीट कर सकते हैं नंबर की तरह भी ट्रीट
कर सकते हैं वेक्टर की तरह भी ट्रीट कर सकते हैं ठीक है तो अगर हम वेक्टर की तरह ट्रीट कर रहे
हैं तो क्या होगा ठीक है मान लि मैंने यह बोला कि यह कॉम्प्लेक्टेड क्शन ऑफ रियल एक्सिस के साथ
एंगल बनाएगा वो हो जाएगा आर्गुमेंट ऑफ ज सही और इसी तरीके से जैसे मान लिया हमने क्या
बोला जो वेक्टर है व पोजीशन वेक्टर भी हो सकता है और वह फ्री वेक्टर भी हो सकता है तो अब मान लिया अगर ऐसे करके दो पॉइंट दे
रखे ठीक है य यहां पर देर मान लिया ठीक है दिस एंड दिस से जट तो फिर य पोजीशन वेक्टर की
तरह ट होरहा जो है व जव वेक्टर हो गया जो ओ है व जट वेक्टर हो गया ठीक है अगर मैंने इसको ऐसे
सबकट किया और टुवर्ड जटू लिया तो जैसे वेक्टर में वेक्टर एडिशन ट सबट होता है उसी तरीके से इसको
न ट्रीट ज2 माइनस जव वेक्टर ठीक है तो जो ए वेक्टर है ट इ नथिंग बट जट मान जव वेक्टर अब जट मान टर का जो मोड होगा ठीक
है वो ए का लेंथ हो जाएगा और ए ए को जैसे मान लि मैंने यहां से शिफ्ट करके यहां रखा ए को ठीक है तो अब यह पॉजिटिव डायरेक्शन
ऑफ रियल एक्सिस के साथ जो एंगल बना रहे मान लिया 30 डिग्री है मान लिया तो फिर इस डायग्राम के हिसाब से आर्गुमेंट ऑफ ज2
माइनस जव विल बी माइनस पाई बा स ठीक है माइनस 5 6 क्यों हु क्योंकि ये क्लॉक वाइज डायरेक्शन में बना र है अगर ये ऊपर की तरफ
ऐसे 30 बना रहा होता तो फिर प्लस 5/6 होता ठीक है तो आई होप दिस शुड बी
क्लियर तो फॉर दर टाइम बीइंग हम ऐसे मान सकते हैं कि नोट ठीक है फर्स्ट ऑफ ल जव माइनस ज2
कैन बी ट्रीटेड एज ए
वेक्टर जॉइनिंग द पॉइंट्स जॉइनिंग द पॉइंट्स
जव एंड ज2 एंड पॉइंट ंग टुवर्ड्स पॉइंट टुवर्ड्स
z1 जो भी पहले लिखा है ठीक है
आल्सो जव माइनस ज2 का मोड विल रिप्रेजेंट डिस्टेंस
बिटवीन द पॉइंट्स जव एंड ज2 ठीक है
एंड आर्गुमेंट ऑफ जव माइनस ज2 रिप्रेजेंट्स कहीं आर्गुमेंट लिखा है मतलब थ तो म कुछ
यह जो लिखा है यह पूरा एक थीटा के बराबर लिखा है ऐसे सोचा यह कोई वैसे डिस्टेंस वगर नहीं है ठीक आर्गुमेंट ऑफ जव ज2 मतलब
दिस बी इ एंगल तो य इसकी जगह तो हमें पा बा 3 पा बा फ इस टाइप की चीज दिखाई देनी चाहिए
रिप्रेजेंट्स एन एंगल मेड
बाय जव माइनस ज2 वेक्टर विद पॉजिटिव
डायरेक्शन ऑफ रियल एक्सेस ठीक कहीं पर भी मोड वगैरह ऐसे लिखा हुआ
तो उसका इंटरप्रिटेशन हमारे दिमाग में क्या जाना चाहिए कि मोड के अंदर जो भी लिखा है जव माइन ज2 ठीक वो जव जटू के बीच
का डिस्टेंस है अब मान मोड के अंदर केवल ज लिखा है मोड ज लिखा है तो फिर दूसरा पॉइंट ऑ कोर्स न तो आई कैन से कि मोड जड क्या है
ऑरिजिन एंड जड के बीच का डिस्टेंस ठीक है ऐसे आर्गुमेंट लिखा होगा तो एंगल हमारे दिमाग में आना चाहिए
तो चलो एक फॉर्मली डायग्राम बना के दिखा दिया यह मान लिया ए है यह मान लिया बी है यह मान लिया 60 डिग्री
है ये मान लिया z1 है ये मान लिया ज यह रिजन ठीक है तो इस डायग्राम के हिसाब
से जव माइन ज2 का मोड विल बी डिस्टेंस जो भी ए और बी के बीच का डिस्टेंस अच्छा जव माइन ज2 वेक्टर क्या होगा इन दोनों पॉइंट
को जवाइन करो ठीक है यह वेक्टर होगा ज ज बट पहले कौन सा लिखा है जव तो अगर पहले जव लिखा है
तो डरे हमने z1 की तरफ दे दी ये z1 है तो टुवर्ड्स z1 डायरेक्शन हो गया तो ये वेक्टर आ गया ठीक है अब इसका मान लि मे को
आर्गुमेंट निकालना है तो तुम क्या करो कि इस वेक्टर को यह जो बी वेक्टर है इसको उठाया और उठा के ऑरिजिन पर रख
दिया ठीक है तो कुछ ऐसे आ गया ठीक है ऑरिजिन पर रख दिया मतलब इस वेक्टर का जो इनिशियल पॉइंट बी है इसको उठा के ऑरिजिन प
रख दि य प अब हमने क्या बोला कि य एंगल 60 डिग्री है तो मतलब यह 60 डिग्री है अब ऑरिजिन पर रखने के बाद इधर की तरफ पॉइंट
कर र तो इस डायरेक्शन के लिए तो हमें ऐसे जाना पड़ेगा च इज 120 डिग्री एंड वी आर मूविंग क्लॉक वाइज तो उसका मतलब क्या
माइनस नेगेटिव एंगल आएगा तो इस डायग्राम के हिसाब से इफ सम बडी इ आस्किंग व्ट इज आर्गुमेंट ऑफ जव माइनस ज2 तो दैट विल बी
-2 पाई बा 3 ठीक है बहुत सिंपल है जव माइन ज2 है तो पहले तो जव ज2 पॉइंट कोलो मिला दिया फिर
देखा पहले कौन है तो पहले जव है तो जो मिलाने पर लाइन सेगमेंट आया उसको हमने डायरेक्शन दे दिया टुवर्ड्स जो भी पहले
लिखा है से जव तो टव जव ठीक है तो व तो हमारा वेक्टर हो गया जव माइन ज2 अब मान लिया मेरे को इसका आर्गुमेंट निकालना है
तो क्या किया हमने इस वेक्टर को उठाया उठा के इसका इनिशियल पॉइंट और रखा फिर रखने के बाद हमने देख कौन सा
डायरेक्शन ठीक है तो जैसे अगर इसी में हम बोले कि आर्गुमेंट ऑफ ज2 माइनस जव क्या होगा तो क्या फर्क पड़ेगा यह वाला वेक्टर
ऐसे पलट जाएगा अगर ऐसे यह वेक्टर पलट गया तो जब यहां पर रखेंगे तो इस डायरेक्शन में आएगा इनिशियल पॉइंट ऑरिजिन पर रखा तो यह
वाला एंगल 60 डिग्री है तो इस बार इस डायरेक्शन के लिए हम एंटी क्लक वा घूमना पड़ेगा 60 डिग्री से तो हेस इसका आंसर
कितना हो जाएगा 5 बा सो आंसर दिस एस सिंपल एस दिस
ओके अब मतलब इस तरह का इंटरप्रिटेशन हो गया जैसे मान लिया मैंने बोला कि ज माइनस 3 माइ 4 आयो बराबर 7 ठीक है तो जहां प मोड
लगाया दिखाई दे उसका मलब है डिस्टेंस किसका डिस्टेंस जो भी अंदर लिखा z1 माइन ज2 लिखा है तो z1 ज2 के बीच का
डिस्टेंस तो इस वाले केस में इसको हमने ऐसे लिखा मोड ज माइनस 3 प् 4 आयो ऐसे लिखा तो यह हमारा z1 का काम कर रहा है ये z2 का
काम कर तो ये क्या बोला है कि जड का डिस्टेंस इससे अब ये क्या है दिस द पॉइंट 3 4 और दिस इज द पॉइंट जिसका पोजीशन
वेक्टर 3+ 4 है तो z माइनस इसका मतलब क्या है कि z और 3 4 के बीच का जो डिस्टेंस है दैट इज
सेन ठीक है तो 3 4 मान लिया मैंने प्लॉट किया तो थ्री मान लिया ऐसे फर ऐसे तो यह वाला पॉइंट आ गया 3 4 अब z एक
ऐसा पॉइंट है जिसका इस पॉइंट से डिस्टेंस इस पॉइंट से डिस्टेंस 7 है ठीक है तो ऐसे सारे पॉइंट जिनका डि जिनका
डिस्टेंस 3 फो से से है वो तो एक ऐसे करके सर्किल पर लाई करेगा ठीक तो जो लोकस है व एक सर्किल आ
गया अगर मैंने बोला कि जड का लोकस बताओ इफ इट सेटिस्फाई दिस तो इसको अगर लैंग्वेज में पढ तो हाउ आई वड रीड इट मोड
ऑफ जड माइनस समथिंग तो मतलब मोड देखते हमने क्या बोला डिस्टेंस जड माइनस समथिंग बोलते जड का डिस्टेंस समथिंग से तो समथिंग
यहां पर क्या है 3 फ तो जड का डिस्टेंस 3 फो से इसने बोला इस बराबर से इ इक्वल टू कांस्टेंट नंबर ट से तो 3 फ विल एक्ट और
विल वर्क एस ए सेंटर ऑफ दिस सर्कल रेडियस विल बी से ठीक है ो का रिजिन से डिस्टेंस कितना
होगा फ तो और रेडियस से तो यह वाला पॉइंट अंदर र गया रिजन अंदर तो लोकस ल ब सर्कल तो इन
जनरल अगर लिखा जड माइनस जड न का मोड बराबर आर ठीक ज न और आर गिवन है ठीक कांस्टेंट है लोकस
ऑफ जड विल बी अ सर्कल विद
सेंटर एट जड नॉट एंड रेडियस एस आर ठीक सेंटर एट जन एंड रेडियस ए
आर ठीक है और मान लिया ऐसे ही फॉर एग्जांपल अगर मैंने लिखा z - z1 = म z - z2 इसका क्या
मतलब है इसको तो हमने ऐसे देखा लेफ्ट हैंड साइड प मड है उसका मतलब क्या है z का डिस्टेंस z1
से ठीक है z का डिस्टेंस z1 से इज इक्व z का डिस्टेंस z2 से तो मोड का मतलब हो गया
डिस्टेंस अंदर z - z1 लिखा है तो इसका मतलब क्या है जड का डिस्टेंस जव से ऐसे इधर ज माइन ज2 लिखा है इसका मतलब क्या है
कि जड का डिस्टेंस ज2 से तो य अल्टीमेटली क्या बोल है कि जड का डिस्टेंस जव से जड का डिस्टेंस ज2 से बराबर है तो अगर ये
डिस्टेंस बराबर तो उसका मतलब क्या है जड इ इक्विडिस्टेंट फ्रॉम सस टू पॉइंट्स तो वो हमें पता है कि अगर दो पॉइंट से
इक्विडिस्टेंट पॉइंट है तो उसका लोकस क्या होता है परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ठीक है तो उसका जड इस लाइन पर कहीं पर भी
लाई कर सकता है स टू डिस्टेंस विल बी इक्वल तोस रिप्रेजेंट ट लोकस ऑफ जड लोकस ऑफ ज का मतलब हमने सारे ज ढूंढे
जो उनको सेटिस्फाई करे तो सारे ज कहां पर मिलेगा जव और जट के परपेंडिकुलर य भी हो सकता है य भी य सारे पॉइंट सेटिस्फाई
करेगा इस रिलेशन को लोकस ज विल बी परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऑफ लाइन
सेगमेंट जॉइनिंग जव एंड
जटू ठीक यह आ गया और देख लिया ठीक है फिर नेक्स्ट पॉइंट मान ले मैंने
लिखा आर्गुमेंट ऑफ जड माइनस जव इक्वल टू पाई बा 3 ठीक है तो
इसका मतलब क्या है कि जड को जव से जॉइन किया तब जो वेक्टर आया
उसका पॉजिटिव रियल एक्सिस के साथ एंगल हमेशा कितना है पाई बा तो मान लिया
मान लिया कि जव मान लिया य यह पॉइंट जव कहीं ना कहीं तो होगा ट फस प अब तुम क्या करो की पाई बाथ वाला डायरेक्शन लेके
आओ पहले तो ठीक है तो हमने ओरिजिन पर गए यह मान लिया डायरेक्शन हो गया पाई बाथ ठीक है तो अब वापस इस आर्गुमेंट के
अंदर जो वेक्टर लिखा है ज माइन जव उसम पहले कौन लिखा है ज तो उसका मतलब क्या इस वेक्टर के लिए एरो की तरफ जड होना चाहिए
ठीक है उसका मतलब क्या है कि इस वाली साइड प जव होना चाहिए तो इनिशियल पॉइंट हमारा जव होना चाहिए ठीक है तो हमने क्या किया
इस डायरेक्शन को उठा के जव पर रखा और आगे एक्सटेंड कर दिया तो लोकस यही आ गया इसका मतलब क्या है कि एक रे आ गया रे
मतलब लाइन रे इसलिए बोला क्योंकि आधा लाइन नहीं आया केवल इसी डायरेक्शन में एक लाइन आ है तो अगर इसके ऊपर मान लि मैंने यह जड
पॉइंट लिया तब जो जड माइनस जव यह वेक्टर होगा इसको उठा के वापस ओरिजिन पर रखो पा बाथ एंगल आएगा अगर यह पॉइंट लिया तो भी
ऐसा ही होगा एंड सो तो जव के आगे आगे इस साइड पर कोई भी पॉइंट लो सब इसको सेटिस्फाई करेगा बट अगर मान लि मैंने ऐसे
एक्सटेंड करके इधर ले लिया तो गड़बड़ हो जाएगा क्योंकि जब जो तब जो वेक्टर आएगा वो इस डायरेक्शन में आएगा इसको अगर मैं
ऑरिजिन पर रखूं तो ये ये वाला एंगल आएगा क्लॉक वाइज डायरेक्शन में व्हिच विल बी नेगेटिव एंड
ऑब्टनर वाले तो ऐसे केसेस में लोकस ऑफ जड विल बी अ
रे ओरिजनेटिंग फ्रॉम z1 एट एन
एंगल पा बा 3 ठीक है अब जैसे मान लिया तुम इसको ऐसे देखो अग
मैं लिखू आर्गुमेंट ठीक है 3 प् 4 आ माइनस ज बराबर 2 पा बा 3 मानले ये ठीक है इसमें तो क्या करो सीधा-सीधा पहले
तो देखोगे क्या-क्या लिखा हुआ है तो यह जो वेक्टर है इसमें एक पॉइंट तो ये हो गया z1 - z ठीक है z1 इ 3 4 तो 3 4 लोकेट किया 3
4 मान ले ये आ गया ठीक है फिर इसने क्या बोला 2 पा / 3 तो 2 पा / 3 का ऑरिजिन से एक वेक्टर खींचा डायरेक्शन वाला तो मान ले
कुछ आ गया अभी यह आंसर नहीं है यह तो हमने ऐसे ही खींचा है दिस इज 2p / 3 मतलब 120° अब इस वाले केस में क्या
है कि पहले 3 प् 4 आयो लिखा है मतलब इस वाली साइड 3 प् 4 आटा रहना चाहिए अच्छा 3 4 तो
यह पॉइंट तो उसका मतलब क्या जड इस साइड रहना चाहिए क्योंकि जड बाद में लिखा है तो कोई
बात नहीं हमने इस वेक्टर को उठा के यहां शिफ्ट किया और इनिशियल पॉइंट 3 4 आ बना दिया तो जब इनिशियल पॉइंट 3 4 आ बनाओगे तो
ऐसे करके डायरेक्शन आ जाएगा ये रे आ गया ठीक है यहां पर ओपन है उसका जड ये हो सकता है तब जो लेफ्ट हैंड साइड वाला वेक्टर है
वो ऐसे बनेगा क्योंकि इट शुड बी टुवर्ड्स 3 प् 4 आ ज यहां प भी हो सकता है तब जो वेक्टर बनेगा वो भी ऐसे बनेगा वेक्टर की
लेंथ से कोई फर्क नहीं पड़ता हमें तो एंगल फिक्स रहना चाहिए ठीक है तो लोकस ये हो गया अच्छा एक और इंटरेस्टिंग बात है कि जो
3 फ है ये जो लाइन है वो 3 फ से ओरिजनेट होगा बट 3 फ विल नॉट बी पार्ट ऑफ दिस लाइन क्यों क्योंकि 3 कमा फ पर ओपन सर्किल
आएगा अब ओपन सर्किल क्यों आएगा बिकॉज अगर मैंने य पर जड की जगह पर 3 फ रख दिया तो यहां तो आर्गुमेंट के अंदर जीरो आ जाएगा
और आर्गुमेंट ऑफ जीरो इ अनडिफाइंड तो उसका मतलब क्या कि ये इक्वेशन सेटिस्फाई हो गई तो इसलिए 3 फो इट सेल्फ ट
बी पार्ट लोकस बट उसके आगे जितने भी पॉइंट है वो सब लोकस का पार्ट है इस स्ट्रेट लाइन
केपर ठीक है तो व्ट वी हैव लर्न सो फार कि अगर जड माइन जव बराबर आ है तो लोकस विल बी सर्कल पहला तो हमने यह बोला फिर अगर जड
माइन जव का मड बराबर ज माइ ज2 का मोड है तो लोकस विल बी परपेंडिकुलर बा टर यह दूसरा स का और तीसरा हमने क्या बोला कि
अगर आर्गुमेंट ऑफ जड माइनस जव बराबर थीटा है कांस्टेंट है तो लोकस विल बी रे ठीक है ओरिजनेटिंग फ्रॉम
जव सो आई होप दिस इज क्लियर
संयुग्म का महत्व यह है कि किसी सम्मिश्र संख्या और उसके संयुग्म का गुणनफल हमेशा उसके मापांक के वर्ग (|z|²) के बराबर होता है। इसके अलावा, किसी सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए संयुग्म का उपयोग किया जाता है: 1/z = z̅ / |z|²।
दो सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करने के लिए, हर के संयुग्म (conjugate) से अंश और हर दोनों को गुणा किया जाता है। इस प्रक्रिया से हर में से काल्पनिक भाग समाप्त हो जाता है और भागफल एक मानक रूप (a + ib) में प्राप्त होता है।
सम्मिश्र संख्याओं को ज्यामितीय रूप में तीन तरीकों से देखा जा सकता है: एक बीजगणितीय संख्या, एक द्वि-आयामी समतल (आर्गंड तल) में बिंदु, या एक सदिश के रूप में। सदिश रूप में, z = a + ib को निर्देशांक (a, b) वाले बिंदु के स्थिति सदिश के रूप में दर्शाया जाता है।
दो बिंदुओं z₁ और z₂ के बीच की दूरी |z₂ - z₁| के बराबर होती है, और इनके बीच सदिश का कोण arg(z₂ - z₁) धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है। इस प्रकार, z₂ - z₁ एक सदिश है जो z₁ से z₂ की ओर इंगित करता है।
यह समीकरण केंद्र z₀ और त्रिज्या r वाले एक वृत्त को निरूपित करता है। इसका अर्थ है कि चर बिंदु z, केंद्र z₀ से सदैव r दूरी पर स्थित रहता है।
यह समीकरण उन बिंदुओं z का बिंदुपथ दर्शाता है जो दो निश्चित बिंदुओं z₁ और z₂ से समान दूरी पर स्थित हों। इसका ज्यामितीय निरूपण रेखाखंड (z₁ और z₂ को मिलाने वाली) का लंब समद्विभाजक होता है।
यह समीकरण बिंदु z₁ से निकलने वाली एक किरण को निरूपित करता है, जो धनात्मक वास्तविक अक्ष से θ कोण बनाती है। बिंदु z₁ को इस लोकस में शामिल नहीं किया जाता क्योंकि उस बिंदु पर कोण arg(0) अपरिभाषित होता है।
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