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u/v सूत्र से अवकलन और प्रश्नावली 5.2 के सभी प्रश्न

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u/v सूत्र का परिचय और अभ्यास

सबसे पहले u/v (भागफल) सूत्र को समझते हैं, जो u·v (गुणनफल) से थोड़ा अलग है।

u/v का सूत्र

जब किसी फलन को u/v के रूप में लिखा जाए, तो उसका अवकलन करने का नियम है:

  • हर (v) का वर्ग लिया जाता है: v²
  • अंश (u) को ज्यों का त्यों रखकर हर (v) का अवकलन किया जाता है, और हर (v) को ज्यों का त्यों रखकर अंश (u) का अवकलन किया जाता है।
  • इन दोनों के बीच ऋण (−) का चिह्न होता है।

सूत्र: d/dx (u/v) = (v·u′ − u·v′) / v²

उदाहरण द्वारा समझ

उदाहरण 1: f(x) = (2x + 1) / (x² − 2) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • v = x² − 2, इसलिए v² = (x² − 2)²
  • पहला पद: v·u′ = (x² − 2) · d/dx (2x + 1) = (x² − 2)(2) = 2x² − 4
  • दूसरा पद: u·v′ = (2x + 1) · d/dx (x² − 2) = (2x + 1)(2x) = 4x² + 2x
  • सूत्र में रखने पर: f′(x) = [ (2x² − 4) − (4x² + 2x) ] / (x² − 2)² = (2x² − 4 − 4x² − 2x) / (x² − 2)² = (−2x² − 2x − 4) / (x² − 2)²

उदाहरण 2: y = (sin x − cos x) / x² का अवकलन कीजिए।

हल:

  • v = x², इसलिए v² = x⁴
  • पहला पद: v·u′ = x² · d/dx (sin x − cos x) = x²(cos x + sin x)
  • दूसरा पद: u·v′ = (sin x − cos x) · 2x = 2x(sin x − cos x)
  • सूत्र लगाने पर: y′ = [ x²(cos x + sin x) − 2x(sin x − cos x) ] / x⁴ = [ x(cos x + sin x) − 2(sin x − cos x) ] / x³

u/v सूत्र के और उदाहरण

उदाहरण 3: y = (cos x) / (1 + sin x) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • v = 1 + sin x, v² = (1 + sin x)²
  • पहला पद: v·u′ = (1 + sin x)(−sin x)
  • दूसरा पद: u·v′ = cos x · cos x = cos² x
  • सूत्र लगाने पर: y′ = [ −sin x(1 + sin x) − cos² x ] / (1 + sin x)² = [ −sin x − sin² x − cos² x ] / (1 + sin x)² = [ −sin x − (sin² x + cos² x) ] / (1 + sin x)² = (−sin x − 1) / (1 + sin x)² = −(1 + sin x) / (1 + sin x)² = −1 / (1 + sin x)

उदाहरण 4: y = (sin(2x + 1)) / (tan(3x + 1)) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • यहाँ u = sin(2x + 1), v = tan(3x + 1)
  • v² = tan²(3x + 1)
  • पहला पद: v·u′ = tan(3x + 1) · cos(2x + 1) · 2
  • दूसरा पद: u·v′ = sin(2x + 1) · sec²(3x + 1) · 3
  • सूत्र लगाने पर: y′ = [ 2·tan(3x + 1)·cos(2x + 1) − 3·sin(2x + 1)·sec²(3x + 1) ] / tan²(3x + 1)

प्रश्नावली 5.2 के प्रश्न

उदाहरण 20–23

उदा. 21: f(x) = sin(x²) का अवकलन कीजिए।

  • f′(x) = cos(x²) · 2x = 2x·cos(x²)

उदा. 22: f(x) = tan(2x + 3) का अवकलन कीजिए।

  • f′(x) = sec²(2x + 3) · 2 = 2·sec²(2x + 3)

उदा. 23: f(x) = sin(cos(x²)) का अवकलन कीजिए।

  • f′(x) = cos(cos(x²)) · (−sin(x²)) · 2x = −2x·sin(x²)·cos(cos(x²))

अब प्रश्नावली 5.2 के प्रश्न

प्रश्न 1: sin(x² + 5) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • d/dx sin(x² + 5) = cos(x² + 5) · d/dx (x² + 5) = 2x·cos(x² + 5)

प्रश्न 2: cos(sin x) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • d/dx cos(sin x) = −sin(sin x) · d/dx (sin x) = −sin(sin x) · cos x

प्रश्न 3: sin(ax + b) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • d/dx sin(ax + b) = cos(ax + b) · d/dx (ax + b) = a·cos(ax + b)

प्रश्न 4: sec(tan(√x)) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • d/dx sec(tan √x) = sec(tan √x)·tan(tan √x) · d/dx (tan √x)
  • पहले: d/dx tan √x = sec²(√x) · (1 / 2√x)
  • पूर्ण हल: = sec(tan √x)·tan(tan √x)·sec²(√x)·(1 / 2√x)

प्रश्न 5: (sin(ax + b)) / (cos(cx + d)) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • यह u/v के रूप में है: u = sin(ax + b), v = cos(cx + d)
  • v² = cos²(cx + d)
  • पहला पद: v·u′ = cos(cx + d) · cos(ax + b) · a
  • दूसरा पद: u·v′ = sin(ax + b) · (−sin(cx + d)) · c
  • सूत्र लगाने पर: dy/dx = [ a·cos(cx+d)·cos(ax+b) + c·sin(ax+b)·sin(cx+d) ] / cos²(cx+d)

प्रश्न 6: cos(x³)·sin²(x⁵) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • यह u·v (गुणनफल) के रूप में है: u = cos(x³), v = sin²(x⁵)
  • u′ = −sin(x³) · 3x²
  • v′ = 2·sin(x⁵)·cos(x⁵) · 5x⁴ = 10x⁴·sin(x⁵)·cos(x⁵)
  • सूत्र लगाने पर: dy/dx = cos(x³) · [10x⁴·sin(x⁵)·cos(x⁵)] + sin²(x⁵) · [−3x²·sin(x³)] = 10x⁴·cos(x³)·sin(x⁵)·cos(x⁵) − 3x²·sin²(x⁵)·sin(x³)

प्रश्न 8: cos(√x) का अवकलन कीजिए।

हल:

  • d/dx cos(√x) = −sin(√x) · d/dx (√x) = −sin(√x) · (1 / 2√x) = −(sin √x) / (2√x)

नोट

  • u/v सूत्र में हमेशा याद रखें कि हर के वर्ग के अंश में हर·अंश का अवकलन − अंश·हर का अवकलन होता है।
  • चेन रूल लगाते समय हमेशा अंदर वाले फलन का अवकलन करना न भूलें। अधिक विस्तृत समझ के लिए INS 115 रिवीजन: रिवेन्यू रिकग्निशन के फाइव स्टेप्स और स्पेशल केस समझें पढ़ें।
  • प्रश्न 7 को अगली कक्षा में हल किया जाएगा।
  • अगली कक्षा में प्रश्नावली 5.3 भी शुरू की जाएगी।

परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण प्रश्नों का अभ्यास करने के लिए पास्ट पेपर: 60 महत्वपूर्ण प्रश्नों का समाधान | परीक्षा की तैयारी देखें।

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