u/v सूत्र का परिचय और अभ्यास
सबसे पहले u/v (भागफल) सूत्र को समझते हैं, जो u·v (गुणनफल) से थोड़ा अलग है।
u/v का सूत्र
जब किसी फलन को u/v के रूप में लिखा जाए, तो उसका अवकलन करने का नियम है:
- हर (v) का वर्ग लिया जाता है: v²
- अंश (u) को ज्यों का त्यों रखकर हर (v) का अवकलन किया जाता है, और हर (v) को ज्यों का त्यों रखकर अंश (u) का अवकलन किया जाता है।
- इन दोनों के बीच ऋण (−) का चिह्न होता है।
सूत्र: d/dx (u/v) = (v·u′ − u·v′) / v²
उदाहरण द्वारा समझ
उदाहरण 1: f(x) = (2x + 1) / (x² − 2) का अवकलन कीजिए।
हल:
- v = x² − 2, इसलिए v² = (x² − 2)²
- पहला पद: v·u′ = (x² − 2) · d/dx (2x + 1) = (x² − 2)(2) = 2x² − 4
- दूसरा पद: u·v′ = (2x + 1) · d/dx (x² − 2) = (2x + 1)(2x) = 4x² + 2x
- सूत्र में रखने पर: f′(x) = [ (2x² − 4) − (4x² + 2x) ] / (x² − 2)² = (2x² − 4 − 4x² − 2x) / (x² − 2)² = (−2x² − 2x − 4) / (x² − 2)²
उदाहरण 2: y = (sin x − cos x) / x² का अवकलन कीजिए।
हल:
- v = x², इसलिए v² = x⁴
- पहला पद: v·u′ = x² · d/dx (sin x − cos x) = x²(cos x + sin x)
- दूसरा पद: u·v′ = (sin x − cos x) · 2x = 2x(sin x − cos x)
- सूत्र लगाने पर: y′ = [ x²(cos x + sin x) − 2x(sin x − cos x) ] / x⁴ = [ x(cos x + sin x) − 2(sin x − cos x) ] / x³
u/v सूत्र के और उदाहरण
उदाहरण 3: y = (cos x) / (1 + sin x) का अवकलन कीजिए।
हल:
- v = 1 + sin x, v² = (1 + sin x)²
- पहला पद: v·u′ = (1 + sin x)(−sin x)
- दूसरा पद: u·v′ = cos x · cos x = cos² x
- सूत्र लगाने पर: y′ = [ −sin x(1 + sin x) − cos² x ] / (1 + sin x)² = [ −sin x − sin² x − cos² x ] / (1 + sin x)² = [ −sin x − (sin² x + cos² x) ] / (1 + sin x)² = (−sin x − 1) / (1 + sin x)² = −(1 + sin x) / (1 + sin x)² = −1 / (1 + sin x)
उदाहरण 4: y = (sin(2x + 1)) / (tan(3x + 1)) का अवकलन कीजिए।
हल:
- यहाँ u = sin(2x + 1), v = tan(3x + 1)
- v² = tan²(3x + 1)
- पहला पद: v·u′ = tan(3x + 1) · cos(2x + 1) · 2
- दूसरा पद: u·v′ = sin(2x + 1) · sec²(3x + 1) · 3
- सूत्र लगाने पर: y′ = [ 2·tan(3x + 1)·cos(2x + 1) − 3·sin(2x + 1)·sec²(3x + 1) ] / tan²(3x + 1)
प्रश्नावली 5.2 के प्रश्न
उदाहरण 20–23
उदा. 21: f(x) = sin(x²) का अवकलन कीजिए।
- f′(x) = cos(x²) · 2x = 2x·cos(x²)
उदा. 22: f(x) = tan(2x + 3) का अवकलन कीजिए।
- f′(x) = sec²(2x + 3) · 2 = 2·sec²(2x + 3)
उदा. 23: f(x) = sin(cos(x²)) का अवकलन कीजिए।
- f′(x) = cos(cos(x²)) · (−sin(x²)) · 2x = −2x·sin(x²)·cos(cos(x²))
अब प्रश्नावली 5.2 के प्रश्न
प्रश्न 1: sin(x² + 5) का अवकलन कीजिए।
हल:
- d/dx sin(x² + 5) = cos(x² + 5) · d/dx (x² + 5) = 2x·cos(x² + 5)
प्रश्न 2: cos(sin x) का अवकलन कीजिए।
हल:
- d/dx cos(sin x) = −sin(sin x) · d/dx (sin x) = −sin(sin x) · cos x
प्रश्न 3: sin(ax + b) का अवकलन कीजिए।
हल:
- d/dx sin(ax + b) = cos(ax + b) · d/dx (ax + b) = a·cos(ax + b)
प्रश्न 4: sec(tan(√x)) का अवकलन कीजिए।
हल:
- d/dx sec(tan √x) = sec(tan √x)·tan(tan √x) · d/dx (tan √x)
- पहले: d/dx tan √x = sec²(√x) · (1 / 2√x)
- पूर्ण हल: = sec(tan √x)·tan(tan √x)·sec²(√x)·(1 / 2√x)
प्रश्न 5: (sin(ax + b)) / (cos(cx + d)) का अवकलन कीजिए।
हल:
- यह u/v के रूप में है: u = sin(ax + b), v = cos(cx + d)
- v² = cos²(cx + d)
- पहला पद: v·u′ = cos(cx + d) · cos(ax + b) · a
- दूसरा पद: u·v′ = sin(ax + b) · (−sin(cx + d)) · c
- सूत्र लगाने पर: dy/dx = [ a·cos(cx+d)·cos(ax+b) + c·sin(ax+b)·sin(cx+d) ] / cos²(cx+d)
प्रश्न 6: cos(x³)·sin²(x⁵) का अवकलन कीजिए।
हल:
- यह u·v (गुणनफल) के रूप में है: u = cos(x³), v = sin²(x⁵)
- u′ = −sin(x³) · 3x²
- v′ = 2·sin(x⁵)·cos(x⁵) · 5x⁴ = 10x⁴·sin(x⁵)·cos(x⁵)
- सूत्र लगाने पर: dy/dx = cos(x³) · [10x⁴·sin(x⁵)·cos(x⁵)] + sin²(x⁵) · [−3x²·sin(x³)] = 10x⁴·cos(x³)·sin(x⁵)·cos(x⁵) − 3x²·sin²(x⁵)·sin(x³)
प्रश्न 8: cos(√x) का अवकलन कीजिए।
हल:
- d/dx cos(√x) = −sin(√x) · d/dx (√x) = −sin(√x) · (1 / 2√x) = −(sin √x) / (2√x)
नोट
- u/v सूत्र में हमेशा याद रखें कि हर के वर्ग के अंश में हर·अंश का अवकलन − अंश·हर का अवकलन होता है।
- चेन रूल लगाते समय हमेशा अंदर वाले फलन का अवकलन करना न भूलें। अधिक विस्तृत समझ के लिए INS 115 रिवीजन: रिवेन्यू रिकग्निशन के फाइव स्टेप्स और स्पेशल केस समझें पढ़ें।
- प्रश्न 7 को अगली कक्षा में हल किया जाएगा।
- अगली कक्षा में प्रश्नावली 5.3 भी शुरू की जाएगी।
परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण प्रश्नों का अभ्यास करने के लिए पास्ट पेपर: 60 महत्वपूर्ण प्रश्नों का समाधान | परीक्षा की तैयारी देखें।
हेलो स्टूडेंट्स मैं निखिल गुप्ता स्वागत करता हूं आप सभी का इस वीडियो में जिसमें हम लोग आज 5.2 के सारे क्वेश्चन निपटाने
वाले हैं एक भी क्वेश्चन छोड़ेंगे नहीं सब कुछ समाप्त कर देंगे ठीक है तो एक तो अपन ने लास्ट क्लास में u अप v के फॉर्मूले से
रिलेटेड क्वेश्चन नहीं किए थे तो पहले मैं u अप v के फॉर्मूले से रिलेटेड कुछ क्वेश्चंस आप लोगों को बता देता हूं
दो-तीन क्वेश्चंस वो कर लेंगे हम लोग उसके बाद फिर 5.2 के क्वेश्चंस कर लेंगे तो ज्यादा ठीक रहेगा तो ऐसा ही करते हैं
उदाहरण भी है प्रश्न भी है 5.2 वो सारे निपटाने हैं अपने को आज और उससे पहले य अपन v से रिलेटेड जितने क्वेश्चंस हो सकते
हैं एक बेसिक आईडिया अपन ले लेते हैं और उसके बाद फिर आगे बढ़ते हैं ठीक है स्टार्ट करते हैं क्लास को और आप में से
जो बच्चे अभी तक लर्न एंड शेयर का टेलीग्राम चैनल जवाइन नहीं किए हैं फटाफट से लर्न एंड शेर का टेलीग्राम चैनल जवाइन
कर लेना सारे क्लासेस के नोटिफिकेशन यहां पर मिल जाते हैं आपको रेगुलरली और कोई भी क्लास आपकी उससे फिर मिस नहीं होगी उसके
अलावा अग्नि बैच आप लोग पता ही है आप लोगों को अग्नि बैच के बारे में कि लर्निंग शर का जो अग्नि बैच है 12थ क्लास
का वह एप्लीकेशन पर अवेलेबल है वहां पर सारी सब्जेक्ट की सुविधाएं हैं सारी की सारी सुविधाएं हैं फिजिक्स केमिस्ट्री
मैथ्स बायोलॉजी इंग्लिश हिंदी सारी सब्जेक्ट्स वहां पर अवेलेबल हैं और वह भी 100 ब 100 की तैयारी के साथ 100 ब 100 की
तैयारी हम लोग यहां पर आपको करके देते हैं करवा करके देते हैं क्लियर है यहां तक बात तो 100 ब 100 की अगर आप तैयारी चाहते हो
तो तुरंत प्रभाव से अग्नि बैच को जवाइन कर लीजिए यहां पर आपको बहुत सारी ऐसी सुविधाएं मिलेंगी कि आपकी तैयारी बेहतर हो
जाएगी ठीक है अब मैं कुछ क्वेश्चंस य अप v के आप लोगों को बता देता हूं य अप v से रिलेटेड मैं कुछ क्वेश्चंस आप लोगों को
प्रैक्टिस करवा देता हूं फिर अपन आराम से एग्जांपल्स और क्वेश्चंस कर लेंगे कोई दिक्कत वाली बात नहीं है देखिए मान लो
आपके पास कोई फलन है जिसमें डिफरेंशिएबल [संगीत]
एक्स स्क माइन 2 मान लीजिए ऐसा कुछ है दो लोग डिवाइड में दे रखे हैं आपको इसका डिफरेंस करना है कैसे करेंगे मल्टीप्लाई
में तो हमने सीखा था य इनवी में यह सीखा था कि फर्स्ट वाला एज इट इज रख के सेकंड का डिफरेंस कर दो प्लस में सेकंड वाला एज
इट इज रख के फर्स्ट का डिफरेंस कर लो और काम हो जाता है उससे लेकिन अगर डिवाइड वाली बात है तो फिर पैटर्न थोड़ा सा चेंज
होता है ज्यादा चेंज तो नहीं है डिवाइड में क्या करना होता है सबसे पहले तो नीचे जो भी लिखा हुआ है डिवाइड में उस चीज का
स्क्वायर ले लो डिवाइड में जो भी लिखा हुआ है उसका स्क्वायर यहां पर आएगा फिक्स है फिक्स है उसके बाद यह चीज एज इट इज जिसका
स्क्वायर अपन ने लिया है वह चीज एज इट इज दूसरे वाले का डिफरेंस बीच में इस बार आता है माइनस का
साइन इस बार ये चीज एज इट इज और इस वाले का डिफरेंशियल दूसरा छोड़ा पहले का
डिफरेंशियल वैसा है लेकिन बीच में है माइनस का साइन क्योंकि बीच में माइनस का साइन है इसलिए ये इंपॉर्टेंट हो जाता है
कि किसको एज इट इज रख के किसका डिफरेंशियली चीज एज इट इज दूसरे वाले का डिफरेंशिएबल
वही चीज एज इट इज दूसरे वाले का डिफरेंस और बाकी का तो आपको पता ही है माइनस लगा के वो चीज ए इट दूसरे वाले का डिफरेंस ठीक
है अब कुछ नहीं करना य अपन व का सूत्र तो इतना ही था जो हमने इस लाइन में लगा दिया अब आपको सिर्फ यहां से आगे बढ़ कर के इसके
डिफर वगैरह करके सेटल करने है और कुछ नहीं करना है तो यहां पर क्या बन जाएगा यह बन जाएगा x स्क्वा माइनस का 2 और ये 2x का
डिफें 2 * 1 और वन का हो जाएगा जीरो माइनस में 2x प् 1 एज इट इज x स्क का डिफरेंस 2x है 2 का हो जाएगा
0 डिवाइड में x स्क्वा माइनस का 2 का होल स्क्वायर यहां पर आ गया है यह बन जाएगा x स्क्वा माइनस का 2 और इनटू में येट है
माइनस में यह 2x को अंदर मल्टीप्लाई कर लेंगे या पहले एक बार के लिए अभी कर लो चलो 2x को 2x से मल्टीप्लाई करोगे 4 एक स्
हो जाएगा 4 एक्स स्क्वा माइनस का 2 एक्स हो जाएगा ठीक है उसके बाद में डिवाइड में जो चल रहा है वो तो चल ही रहा है एक्स
स्क्वा माइनस 2 का होल स्क्वायर है यह बन जाएगा 2 एक्स स्क्वा माइनस का 4 माइनस का 4 एक्स स्क्वा माइनस का 2x और बटे में
आपके आएगा एकस स्क्वा माइनस 2 का होल स्क्वायर फाइनल आंसर बन गया यहां पर माइनस का दो एक्स स्क कट पिट करके माइनस का 2x
और माइनस का 4 डिवाइड में हमारे पास आ रहा है x स् - 2 का होल स्क्वा ठीक है यहां
तक ये हो गया समाप्त और एक दो एग्जांपल्स और करेंगे तो थोड़ा सा क्या है थोड़ी क्लेरिटी और आ जाएगी
थोड़ा सा ठीक लगेगा आप लोगों को जैसे मान लीजिए हमारे पास डिफरेंस करने को बोला गया है sinx-cosx
इसका करना है डिफरेंशिएबल स्टेप्स में काम होना है सिंपल एकदम नीचे जो भी लिखा हुआ है उसका
हो जाएगा स्क्वायर नीचे अरे नीचे जो भी लिखा हुआ है उसका तो होगा
स्क्वायर और वही चीज एज इट इज लिख दी इसम तो कोई दिक्कत नहीं नीचे जो भी है उसका स्क्वायर और वही चीज एज इट लिख दी
जाएगी लिख दिया अनने उसके बाद ऊपर वाली चीज का करेंगे आप डिफरेंशिएबल क x होता है माइनस का सा x अपनी जगह पर है
x स् का डिफरेंशिएबल ले सकते हो तो x क x माइनस का 2s x यहां पर रहेगा और डिवाइड में x की
घात 4 चल रहा है फाइनल आंसर के तौर पर अगर आप देखें तो x क x - का 2s x और तीन घात से मतलब चार घात से एक घात कटेगी तो तीन
घात बचेगी और यह फाइनल आंसर आएगा आप इसको ध्यान से देखिए ज्यादा आसानी से समझ पाएंगे इसमें कैलकुलेशन कंपैरेटिव ज्यादा
हो गई वो आप देखेंगे तो मेरे ख्याल से जल्दी समझ पाएंगे कि u अप v का फार्मूला काम कैसे कर रहा है फार्मूला एक्चुअली
इतना ही है आगे तो मैंने सॉल्व किया है बस फर्मूला तो यही लग कर के फ्री हो गया डिफरेंशियल तो यहीं तक अपन ने निपटा दिया
इसका आगे तो नॉर्मल कैलकुलेशन वगैरह चल रही है नॉर्मल डिफरेंशियल चल रहा है उसमें तो कोई बात ही नहीं है सोचने की मेन काम
तो पहली लाइन में हो जाता है u अप v में और u * v में दोनों में पहली लाइन ही इंपोर्टेंट है बाकी इतने काम की नहीं है
चीज पहली लाइन में सारा काम हो जाता है समझ आई य तक बात चलिए आगे बढ़ते हैं हम लोग
अब एक दो क्वेश्चन और करते हैं य अपन व के थोड़ी सी प्रैक्टिस हो जाएगी आप लोगों की उससे आप इसको फटाफट से नोट करो फिर अपन
करेंगे क्वेश्चन इसको तुरंत पहले तो नोट कीजिए फिर हम लोग शुरू करते हैं बेटा फॉर्मूले में माइनस है प्रशांत
कुमार फॉर्मूले में ही माइनस है जैसे य इनवी के फॉर्मूले में बीच में प्लस आता है वैसे ही य अपन के फार्मूले में बीच में
माइनस आता है तो व माइनस अपने को हमेशा लगाना है इसका ध्यान रखना है ठीक
है चलिए और एक दो प्रैक्टिस कर लेते हैं थोड़ा सा अपने को समझने में बेहतर रहेगा उसम क्या दिक्कत है देखिए नेक्स्ट थर्ड
नंबर देखिए थर्ड नंबर मान लो डिफरेंस प्व अपॉन में कॉ
एक x प्व अपन कॉ एक बोल दिया मान लीजिए एक बार के लिए तो ऐसे केस में जो भी नीचे है उसको तो आप स्क्वायर कर ही दो उसमें तो
कोई सोचने की बात ही नहीं है अपने को वही चीज एक बार यहां एज इट भी लिख दो फिर हम लोग
डिफरेंशिएबल कर के ऊपर वाली चीज आप एज इट इज ले लो और डिफरेंशियली जा सकता है आराम से ठीक है
जी आगे बढ़ते हैं क x और x प्व का वन हो जाएगा जाएगा इसमें कोई सोचने की बात नहीं माइनस
माइनस बस प्लस कर लो आंसर आ चुका है इससे आगे कुछ और करना नहीं है माइनस माइनस ज्यादा ज्यादा प्लस कर लेंगे हम लोग तो य
हो जाएगा कॉस एक प्लस में एक प्व साइ एक् और बटे में कॉस स्क्वायर एक्स ठीक है चौथा नंबर देखिए सिंपल ही है
एकदम डिफरेंस आपको करना है मान लो साट एक सा एक अप 2x का सा x अप tan2x का
डिफरेंशिएबल का क्वेश्चन है और थोड़ा सा अच्छा बनाते हैं इसको मान लो ऊपर है sin2x + 1 और नीचे है
t 3x + 1 और इसका हमारे को करना है डिफरेंशिएबल ठीक
है अब करो और थोड़ा सा लेवल का बन गया करिए इसको फटाफट से य अपन व की मदद से सॉल्व करो खुद से मैं 10 20 सेकंड
एक्स्ट्रा दे रहा हूं थोड़ा सा आप लोग डाइजेस्ट भी कर सको और हो सके तो खुद से थोड़ा बहुत शुरू कर सको दो तीन लाइन मेरे
से आगे हो जाओगे तो फाइनल आंसर मेरे से पहले आप निकाल पाओगे टारगेट बस यही रखना है मेरे से पहले या मेरे साथ साथ आपका
आंसर भी आ जाए ठीक है आज स्टूडेंट्स कम है क्या बात है नोटिफिकेशन नहीं आया लगता है आज मैंने भी
नहीं डाला कहीं नोटिफिकेशन यह भी एक रीजन रह गया होगा लगता है फटाफट से सॉल्व करके बताओ चौथा
क्वेश्चन तुरंत प्रभाव से आंसर चाहिए समय नहीं लगाना है शुरू हो जाओ तुरंत
तुरंत प्रभाव से आंसर चाहिए सभी बच्चों की तरफ से आंसर चाहिए बताइए क्या आएगा
एक बच्चा कहा सर एक बार क्वार्टरली एग्जाम का सिलेबस अपलोड करवा दीजिए बेटा क्वार्टरली एग्जाम का सिलेबस नहीं होता
कोई कोई स्कूल देती है अपने यहां से नहीं जाता देखो नीचे जो भी लिखा हुआ है मोटी मोटी बात यह है उसका स्क्वायर तो करना ही
है और वही चीज एक बार एज इट इज भी रखनी है न 3 एक प्व फिर हम लोग डिफरेंशिएबल
प्व का ठीक है बीच में है माइनस का साइन सा 2x प्व एज इट इज और फिर हम लोग
डिफरेंशियल से कोई दिक्कत नहीं होनी चाहिए मैंने सिंपल सूत्र लगाया है नीचे वाले का स्क्वायर वो चीज ए इट इ ऊपर वाले का डिफें
माइनस ऊपर वाला ए इट इज नीचे वाले का डिफें क्या बनेगा थोड़ा यहां ध्यान देना पड़ेगा
न 3x प्व तो एज इट है साइन का डिफर होता है कस लेकिन मामला शांत नहीं हुआ अंदर एक्स
नहीं है कुछ और है तो चेन रूल के हिसाब से उसका डिफरेंस भी लिखा जाएगा य चेन रूल लगेगा ध्यान देना पड़ेगा सेम ऐसे यहां सा
2x प्व तो चलो एज इट इज है हमें पता है न का होता है सेक स्क्वायर के अंदर लेकिन अंदर अर वाली चीज का डिफरेंस भी लिखना
पड़ेगा चेन रूल के हिसाब से काम करना पड़ेगा अंदर वाली चीज मतलब 3x प्व का डिफरेंशियल एक स्क्वायर तो अपन यहां लिख
सकते हैं ऐसे कोई दिक्कत है नहीं इसके बाद नेक्स्ट आगे तो कुछ खास नहीं है t 3x प्व और साथ में क 2x प्
1 और इनटू में यहां से ट बचेगा 2x प्व से 2 एज इट इज x का ववन का जीरो तो डायरेक्ट मैंने टू लिख दिया और यहां पर सा 2x
प्व से स्क्वा 3x प्व और इनटू में यहां पर 3 आ जाएगा और डिवाइड में यहां पर न
स्क्वायर 3x प्व आ जाएगा तो फाइनल आंसर क्या आया हमारे पास बस ट और थ को आगे लिख लो और कुछ नहीं है
सेम आंसर है यही आ गया आंसर ऊपर ही आ गया आंसर तो तो बस मैं एक बार और अपने मन की तसल्ली के लिए लिख रहा हूं सुंदर दिखाने
के लिए बाकी हो चुका है माइनस में यहां तीन गुना हो जाएगा साइन दो एक् प् एक और से स्क्वा में
3 एक प् और बटे में हमारे पास आएगा t स्क्वा 3x प्लस में 1 ठीक है तो ये
हमारा फाइनल आंसर है बड़ा आंसर है कोई दिक्कत नहीं है जैसा भी है वैसा है यार उसमें क्या कर सकते
हैं जैसा भी है वैसा है चलो तो मेरे ख्याल से अब दिक्कत नहीं होनी चाहिए u अप v हमने ढंग से सीख लिया
अब अब हम लोग क्वेश्चन शुरू कर रहे हैं एक्सरसाइज के विद एग्जांपल्स तो पहले मैं एग्जांपल्स लिखूंगा सामने इजी इजी
एग्जांपल्स है आप लोगों को तुरंत आ जाएंगे बल्कि आप लोग खुद से सॉल्व करने की कोशिश करो मेरे लिखते ही आपका आंसर आना चाहिए इस
तरह के हैं एग्जांपल्स बहुत सिंपल है मतलब तो मैं सामने लिखना शुरू कर रहा हूं आप लोग भी फटाफट से आंसर देना शुरू कर
दीजिए नीरज कुमार ने कहा कि सर प्लीज बता दीजिए कि क्वेश्चन में x स्क को ऊपर ले जाकर के x की घात माइनस दो करके यन लगा
सकते हां लगा सकते हैं सेम आंसर आएगा बिल्कुल लगा सकते हैं नीरज कुमार सेम आंसर आएगा लेकिन वो जबरदस्ती कॉम्प्लिकेटेड हो
जाएगा लंबा जाएगा आपका बेहतर है य अपन से कर लो ज्यादा ठीक रहता है उसम माइनस व माइनस पावर ले जा कर के करने से तो यह
ज्यादा ठीक तरीका रहता है बाकी आपकी चॉइस है कर सकते हैं करने में कुछ गलत नहीं होगा आंसर सेम ही आएगा आंसर में कोई फर्क
नहीं आएगा यह बात दिमाग में बिठा लो आप चलिए जी उदाहरण नंबर 21 देखते हैं उससे पहले 20 वा एग्जांपल था क्या देख
उदाहरण एक ही है क्या नहीं या बात करते एक मिनट चलो बुक के एग्जांपल शुरू कर रहे हैं
है ना तो बुक के एग्जांपल्स में थोड़ एग्जांपल्स बुक में ज्यादा है अपने नई
वाली एनसीआरटी में तो कम दे रखे हैं लेकिन पूरे एप करेंगे अपन तो 21 नंबर से शुरू कर रहे उदाहरण नंबर 21 देखो आप बुक के
एग्जांपल दे रहे देख रहे हैं ना हमारे को दे रखा है f एक बराबर सा सा एक्स स्क्वा इसका हमारे को
डिफरेंस करना है फटाफट से शुरू हो जाओ एड एक्स बोल दो यावा बाडी एक बोल दो एक ही बात होती है तो जो एड एक्स आएगा वो होगा
सबसे पहले साइन का डिफर हो जाएगा साइन का होता है कस उसके बाद अंदर वाली चीज का डिफरेंस किया
जाएगा तो हमारे पास आंसर बनेगा यहां से कॉस एक् स्क्वा ये अलग इनटू में एक्स स्क्वा का 2 एक्स अलग तो फाइनल आंसर आया 2
एक इन क एक्स स् ठीक है नेक्स्ट उदाहरण नंबर 22 अगर अपन देखें तो यह है डिफरेंस हमारे को करना है किसका न 2x प् 3 का इसका
डिफर करना है देखिए भाई न का डिफर क्या होता है इसको नीचे कर लेता हं जग हो
जाएगा का डिफर क्या होता है फटाफट से करो इसको जब तक मैं अगला क्वेन लिख देता हूं य उदाहरण नंबर 23 एक क्वेन लिख करके
करूंगा मैं आज सारे के सारे हमें डिफरेंस करके दिखाना है साइन और कॉस एक्स
स् ठीक चलिए शुरू करते हैं कार्यक्रम यहां से न का सबसे पहले हो जाएगा से स्क्वा न का
डिफें यन ही दिख रहा है पहले का से स्क्वा लिख देंगे हम लोग न का तो हो गया लेकिन अंदर वाली चीज का डिफर अभी करना पड़ेगा
चेन रूल से 2 एक प् 3 लेकर के और इससे बनेगा हमारे पास सेक स्क्वा 2 एक् प् 3 तो चलो ए इट चलता रहेगा कांस्टेंट है एक् का
व होता है कांस्टेंट अकेला है लेकिन इसलिए जीरो हो जाएगा तो फाइनल आंसर आएगा 2से स् 2x +
3 23 एग्जांपल रेडी है आंसर बताइए सबसे पहले नजर आ रहा है सा सान का डिफरेंस होता है
क तो हमने सा का क कर दिया अंदर जो भी था वो रहा साथ में अब डिफरेंस करेंगे अंदर वाली चीज
का ये हो गया कॉस कॉस एकस स्क्वा यहां दिख रहा है कॉस कॉस का डिफरेंस करेंगे तो माइनस साइन
आता है और फिर डिफरेंस होगा अंदर वाली चीज का माइनस आप इधर ले लो कॉस कॉस एकस
स्क्वा और साइन एक्स स्क्वा और एक्स स्क्वा का 2x 2 एक आप इस तरफ ले लो तो माइनस का 2x सा एक
स्क्वा और यह हो जाएगा कॉस और कस एक स्क्वा ठीक है य तक
चलिए तो यहां से मैं एक बार इसका कलर चेंज कर देता हूं यह हमारा उदाहरण है बुक का एग्जांपल करवाया है मैंने बार बुक के
एग्जांपल्स खत्म हो गए हैं तीन एग्जांपल्स थे अपनी बुक में उसके बाद सीधे एक्सरसाइज के क्वेश्चंस है हालांकि मैंने होमवर्क
में दिए थे मुझे एक बार नीचे बताओ चैट में लिख कर के किस-किस बच्चे ने होमवर्क किए एक बार नीचे चैट में लिख कर के जवाब
दीजिए मुझे किस-किस बच्चे ने होमवर्क किया था बताइए फटाफट से हां हां भाई 12थ के आसान लगेंगे एनडीए
के क्वेश्चन करोगे तो टेम राजा पढ़ लो आप यार चलो उदाहरण नंबर 23 के बाद में प्रश्न करेंगे 5.2 प्रश्नावली का
5.2 का पहला प्रश्न है हमें डिफरेंस करना है डिफरेंस करना है साइन एक्स स्क्वा प्स
5 शुरू हो जाओ दूसरा क्वेश्चन है हमें डिफरेंशिएबल
बी का करना स्टार्ट कर देना चाहिए इतनी देर में तो
आपको डिले करने का कोई रीजन ही नहीं होना चाहिए इसको थोड़ा किसका लेते हैं ऐसा करते अभी
ठीक तीन ही लेते लान फिर बाकी के तीन लेंगे ऐसे करते
हा इसको थोड़ा सा ओके कलर य ले ठीक है जी पहला वाला शुरू कर रहा हूं मैं सब लोग ध्यान से
देखेंगे खुद से करेंगे तो बहुत अच्छी बात नहीं तो सामने देखेंगे साइन का डिफें होता है और फिर हमें अंदर वाली चीज का डिफरेंस
कर देना है यह हो गया हमारे पास कॉस एक्स स्क्वा प्स
5 एक्स स्क्वा का डिफरेंस 2 एक्स है पा का जीरो है यह बनेगा 2 एक् और इनटू में कॉस एक्स
स्क्वा प्लस में 5 ठीक है य सेम अगर मैं इसकी बात करूं कस साइन एक्स की क साइन एकस की अगर मैं बात करूं तो यह
बनेगा हमारे पास कॉस का डिफरेंस माइनस का साइन होता है और फिर हमें अंदर वाली चीज का
[संगीत] डिफरेंशिया और सान एक् का डिफें क एक हो गया खत्म इतना ही है क्वेन सिंपल एकदम
एकदम सिंपल क्वेश्चन है जगह है तो यही ले लो क्यों फालतू एक्स्ट्रा जगह वेस्ट
करें ठीक है एकदम सिंपल मामला थर्ड वाले को ध्यान से देखो थर्ड वाले में इसने कहा सा a एक् प् बी सिंपल एकदम ये भी सा a एक
प् बी का मतलब यह है कि आप लोगों ने लाइक नहीं किया है बेशर्म हो लाइक कर दो एक तो आज तुम लोग टाइम पर नहीं थे मैं
टाइम पर था और ऊपर से लाइक और नहीं कर रहे हो शर्म भी नहीं आ रही तुम लोगों को कतई शर्म नहीं है आंखों में शर्म दिख ही नहीं
रही बिल्कुल ही साइन का डिफरेंस हो जाएगा हमारे पास कॉस उसके बाद अंदर वाली चीज का डिफरेंस
करना है यह हमारे पास क ए एक् प् बी तो ठीक है एक एज इट इज एक् का डिफरेंशियल वन होता है
बी का डिफरेंशियल जीरो होता है तो फाइनल हमारे पास बना a कॉस a एक् प् बी यह हमारा थर्ड वाले का आंसर आ गया एकदम सिंपल था
मतलब कोई खास बात नहीं चौथा देखिए चौथा है डिफरेंशिएबल सबसे पहले कौन नजर आ रहा
है सबसे पहले तो सर सेक नजर आ रहा है तो से का करो पहले से का होता है से एक इनन एक् तो से
एक इनन एक अंदर वाली चीज एकस है एक तरीके से से एक का होगा से एक इनन एक और अब अंदर
वाली चीज का डिफर तो डिफरेंस आप करेंगे किसका न अंडर रट एक्स न का डिफरेंस तो आपको पता है से
स्क्वायर होता है यह तो सब एज इट इज चलने वाली चीजें हैं न का डिफरेंस हो जाएगा से स्क्वा तो से स्क्वा र एक हो गया और फिर
हम अंदर वाली चीज का डिफरेंस और लिख देंगे तो फाइनल आंसर आपके पास क्या बनेगा यह चीज तो एज इट इज होगी ही होगी साथ में रट एक
का डिफरेंशिएबल जाएगा यह हमारा चौथा क्वेश्चन कंप्लीट हुआ मुझे उम्मीद है कि यहां तक तो सबको अच्छे
से क्लियर हो रहा होगा कहीं दिक्कत नहीं आनी चाहिए यहां तक तो खास तौर पर ठीक है आगे बढ़े हम लोग चौथे के बाद जो
पांचवा है वह थोड़ा सा लंबा हो सकता है लैंगी है हल्का सा वह हम लोग देख लेते हैं एक बार कि कैसे करना है पांचवे वाले को
खैर आप लोग भी कर सकते हो अब तो य अपन v का क्वेश्चन है हालांकि वो लेकिन इतना मुश्किल नहीं है इजी है क्वेश्चन पांचवा
वाला जो अपन करेंगे इजी है मैं शुरू करता हूं आप लोग देखिए ध्यान से फिफ्थ नंबर
क्वेश्चन डिफरेंशिएबल कस सी एक्स प् कस सी एक् प् इसका करना है
डिफर डिफरेंस में कुछ खास नहीं नीचे जो लिखा हुआ है उसका स्क्वायर हो जाएगा कॉस सी एक् प्स का हो जाएगा
स्क्वायर और वही चीज हो जाएगी यहां पर एज इट दूसरे वाले का कर लो आप डिफरेंस sinx-cosx
चलिए बस अब इसको सॉल्व करलो आ जाएगा कुछ नहीं और कस सी एक् प् तो ऊपर है ही है साइन का होता है कॉस लेकिन अंदर वाली चीज
का डिफरेंस भी करना पड़ेगा जो कि है ए एक्स प् बी माइनस साइन ए एक्स प् बी तो चलो एज इट
है यहां है कॉस कॉस का होगा माइनस का सान सी एक प् क का माइनस साइन होता है उसके बाद अंदर वाली चीज का डिफरेंस भी करना है
जो कि है cx1 का साइन और नीचे तो सिंपल वही क c x + d का
स्क्वा चल रहा है तो क स् चलेगा इसको तो छेड़ना है नहीं अपने को अपने को यहां ax3 का डिफरेंट करना है x
का व हो जाएगा b का 0 है a कांस्टेंट है b कांस्टेंट है तो य लिखा जाएगा सेम ऐसे ही यहां से माइनस और माइनस हो जाएगा प्लस और
यह हो जाएगा sinx-cosx अगर मैं डिवाइड में देखूं तो डिवाइड में तो ये पूरा एज इट इज ही चलेगा इसमें कोई
चेंज करने की आवश्यकता है नहीं डिवाइड में य पूरा एज इट चल रहा है लास्ट लाइन है उसके बाद आंसर आ जाएगा यह ए बस इधर लिख लो
और कुछ नहीं करना ए और साथ में यह दोनों चल रहे हैं जो चल रहे हैं उसमें कोई सोचने की बात
नहीं ठीक है बीच में आ जाएगा प्लस आपके यहां से सी और ये दोनों आपके पास यहां पर आ ही जाएंगे
कोई चिंता की बात है नहीं ठीक है और डिवाइड में आपके पास यहां से हम लोग इसको ले लेते
हैं यह चीज आ गई हमारे पास डिवाइड में चलिए जी तो यहां से हम लोग आगे बढ़ते हैं
और फाइनल आंसर यही है भाई और क्या बस इतना ही करना है और कुछ नहीं करना यही हमारा फाइनल आंसर है
[संगीत] क्लियर है सारे बच्चों को कोई दिक्कत है क्या किसी को यहां तक किसी को कोई आपत्ति
तकलीफ परेशानी है तो आप शेयर कीजिए मेरे ख्याल से तो वैसे कोई दिक्कत आनी नहीं चाहिए एकदम सिंपल ही किया है काम इजी है
क्वेश्चन तो काफी ठीक है दिखने में बड़ा है वरना एक दो तीन चार चार
लाइनों में आंसर आया है क्या ही बड़ा है दिखने में बड़ा है ये फैला हुआ है बस बाकी आया तो चार लाइनों में आंसर है बाकी कुछ
ऐसी दम वाली बात नहीं है सिर्फ चार लाइने करी है अगर आप ध्यान से देखोगे तो दिखने में बस है बाकी कुछ नहीं
है अभी हो गया निहारिका अब तो हो गया ना चलो
पायल बेटा आप सपोर्ट नंबर पर डाल के चेक करवा लो अपना आंसर जो अलग आ रहा है कि वो सेम है कि अलग है नेक्स्ट वाले क्वेश्चन
को देखते हैं छठा नंबर देखिए छ भी बहुत अच्छा क्वेश्चन है बहुत प्यारा क्वेश्चन है सिक्सथ वाला
भी सिक्सथ वाला क्वेश्चन है डिफरेंस एक्स क्यूब इनटू में साइन स्क्वायर एक्स की पावर
कस एक्स क इन साइन स्क्वा एक्स की पावर फ ठीक है यहां हमारे को डिफर करना है
इसका चलिए शुरू करते हैं तो भाई काम वही करना है फर्स्ट य इनवी है दिख रहा है तो साफ साफ लेकिन य इनवी में थोड़ा सा ताकत
है इसमें य तगड़े चेन रूल लगेंगे बहुत शानदार क्वेश्चन है बहुत बढ़िया क्वेश्चन दिया हुआ है मतलब थोड़ा ध्यान से करना
पड़ेगा यह क्वेश्चन इतना सिंपल नहीं है मामला यह एक्चुअल में अच्छा क्वे करने लायक क्वे ठीक है शुरू करते हैं
फर्स्ट वाला ए इट सेकंड का कर लेंगे डिफरेंस प्लस में सेकंड वाला एस इट
फर्स्ट का कर लेंगे डिफरेंस ठीक है चलिए तो यह कॉस एक्स क्यूब तो एज इट ही है साइन स्क्वायर को क्या हम
ऐसा लिख सकते हैं सॉल्व करने से पहले आप इसको ऐसा लिख लो तो शायद इजी पड़े साइन एक्स की पावर 5 का बेसिकली य होल स्क्वायर
है स्क्वायर यहां है य एक्स की पावर ए से सॉल्व होगा अगर आप डायरेक्ट कर पा रहे हो तो यहां से डायरेक्ट सॉल्व कर दो नहीं तो
पहले इसको स्क्वायर लिख के अगली लाइन में सॉल्व कर लेना ज्यादा जल्दी करने की जरूरत नहीं है गलत नहीं करना है बस यह हो जाएगा
साइन स्क्वायर एक्स की पावर 5 एज इट इज है कॉस का माइनस साइन होता है डिफरेंस और फिर चेन रूल के हिसाब से अंदर
वाली चीज का डिफरेंस और करना है एक्स क्यूब का भी डिफर करना है यहां से क एक्स क तो चल रहा है सा स्क्वा का मतलब x की
पावर n का n एक की पावर n - 1 हो जाएगा मतलब 2 - 1 1 हो जाएगा फिर डिफरेंशियली चीज का मतलब sinx-cosx
तो क्या बन रहा है यहां से ट यहां पर ले लो और कस x क ये आ जाएगा और साइ एक की पावर 5 ये आ
जाएगा साइन के बाद कॉस x की पावर 5 आ जाएगा इनटू में साइन का डिफरेंस कस हो गया अंदर वाली चीज का और करना है अभी तो चेन
रूल खत्म ही नहीं हो रहा है अंदर वाली चीज बची है x की पावर 5 का डिफरेंशियल माइनस 3x स् अपनी जगह पर और
यही चीज एज इट इज ठीक है बस कुछ नहीं ये ये तो चलो एज इट इज चलेगा ही चलेगा इसमें तो कोई छेड़ने की
जरूरत है नहीं और यहां x की पावर पा का पा एक की घात च आ जाएगा बाकी का सेम है माइनस में भी सेम चल
रहा है मतलब माइनस वाले को भी छेड़ने की जरूरत नहीं है सिर्फ इस लाइन में इसका डिफरेंशियल लिखा है कुछ नहीं किया और अगली
लाइन में ये हो जाएगा दो से गुणा हो कर के 10x की घात बाकी चीज एज इट इज है कोई छेड़ने की
आवश्यकता नहीं माइनस वाली भी चीज को छेड़ने की आवश्यकता नहीं है माइनस वाला भी ए इट है यह हमारा लास्ट लाइन में आ गया
फाइनल आंसर यह क्वेश्चन भी इतना लल्लू पंजू गंजू क्वेश्चन था नहीं अच्छा क्वेश्चन था छ नंबर काफी बढ़िया
क्वे नोट डाउन करो इसको फटाफट से फिर आगे बढ़ते हैं सातवा क्वेश्चन भी अच्छा है मतलब करने में इजी है लेकिन अगर मान लो
प्रूव करने को आ गया तो थोड़ा सा दिमाग एक्स्ट्रा लगाना पड़ता है दो ही क्वेश्चन बचे हैं सातवा और आठवा
फटाफट से नोट करो आठवा देख लो आप पहले छोटा है डिफरेंस करना है कस अंडर रट x का सिंपल है मामला ज्यादा
कुछ है नहीं इसमें पहले आठवा कर लेते हैं सातवा उसके बाद देख लेंगे क अंडर रूट x का डिफरेंस करना है दो ही क्वेश्चन बचे हैं
सातवा आठवा नवा दवा तो अपन ने पहले ही कर लिया था वो अलग फॉर्मेट के थे केवल दो क्वेश्चन है सातवा और आठवा बस खत्म बाकी
सब कुछ तो cosx-sinx
* में 1/2 √ x इसका डिफरेंशियल 1/2 √ x होता है तो फाइनल आंसर आ जाएगा माइनस का सा √ x अप में 2 √ x बस इतना ही करना है
और कुछ नहीं सिंपल है मामला एकदम उम्मीद है यहां तक आप समझ गए होंगे और यह हम
लोग यह हम लोग हटा देते हैं कलर चेंज कर देते हैं यहां एक लाइन डाल देते हैं आठवा क्वेश्चन भी समाप्त हो गया अब
बात दरअसल सिर्फ इतनी सी है कि मुझे कुछ अर्जेंट काम से निकलना है कहीं पर तो एक सातवा क्वेश्चन है जो मैं नेक्स्ट क्लास
में करवाऊंगी और साथ में उसके अलावा जो हमारे पास पाच प्रश्नावली है वो भी मैं शुरू कर दूंगा और
कोशिश करूंगा मैक्सिमम क्वेश्चंस 5.3 के हो ही जाए ज्यादा दम नहीं है 5.3 कल की क्लास में पूरी कंप्लीट ही कर दूंगा मैं
नेक्स्ट वाली क्लास में एक क्वेश्चन जरूर यहां पर सातवा है जिसको करने में अपने को 10 मिनट का समय और चाहिए होगा वो मैं
नेक्स्ट क्लास में बताऊंगा अभी मैं मुझे कहीं जल्दी निकलना है इसलिए मैं क्लास को फ्री कर रहा हूं बाकी समय तो है सातवा
क्वेश्चन आराम से कर सकते हैं 15 मिनट अभी क्लास में बचे हुए हैं अपने और बाकी जिस बच्चे ने अग्नी बैच जवाइन नहीं किया है
फटाफट से जवाइन कर लो बच्चों 12थ क्लास बार-बार नहीं देनी है अपने को एक बार में अच्छे नंबर से पास होना है ठीक है चलिए
मिलते हैं नेक्स्ट वीडियो में वीडियो के लास्ट में कमेंट करके मुझे बताना किन-किन बच्चों ने होमवर्क किया था कौन-कौन कल
वाला रिपीट करके आए थे किस-किस को आज के क्वेश्चंस में दिक्कत नहीं आई नीचे कमेंट करके मेरे को बताना चलिए ऑल द बेस्ट बा
बाय सी यू कल की क्लास में मतलब नेक्स्ट क्लास में मिलते हैं
u/v सूत्र का उपयोग दो फलनों के भागफल का अवकलन करने के लिए किया जाता है। सूत्र है: d/dx (u/v) = (v du/dx - u dv/dx) / v²। सबसे पहले u (अंश) और v (हर) को पहचानें, फिर u और v का अलग-अलग अवकलन करें, फिर सूत्र में v du/dx और u dv/dx के मान रखकर v² से विभाजित करें।
भागफल नियम में ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहले पद v·u′ (हर को स्थिर रखकर अंश का अवकलन) में से दूसरा पद u·v′ (अंश को स्थिर रखकर हर का अवकलन) घटाया जाता है। यह गुणनफल नियम से भिन्न है, जहाँ चिह्न धन (+) होता है। इस ऋण चिह्न को भूलने से गलत उत्तर मिलता है, इसलिए इसे हमेशा ध्यान में रखना चाहिए।
इस प्रश्न में u = sin(ax+b) और v = cos(cx+d) है। v² = cos²(cx+d) होगा। पहले पद v·u′ = cos(cx+d)·a·cos(ax+b) और दूसरे पद u·v′ = sin(ax+b)·(−c·sin(cx+d)) = −c·sin(ax+b)·sin(cx+d) होगा। सूत्र लगाने पर, dy/dx = [a·cos(cx+d)·cos(ax+b) + c·sin(ax+b)·sin(cx+d)] / cos²(cx+d) प्राप्त होता है।
चेन रूल का उपयोग संयुक्त फलनों के अवकलन के लिए किया जाता है। इसमें बाहरी फलन का अवकलन करते हैं और फिर आंतरिक फलन के अवकलन से गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, sin(x²+5) के लिए, पहले sin का अवकलन cos(x²+5) होगा, फिर इसे आंतरिक फलन x²+5 के अवकलन 2x से गुणा करें, जिससे उत्तर 2x·cos(x²+5) मिलता है।
दोनों सूत्रों में मुख्य अंतर चिह्न और हर का है। गुणनफल सूत्र d/dx (uv) = u dv/dx + v du/dx है, जिसमें धन चिह्न होता है और कोई हर नहीं होता। भागफल सूत्र d/dx (u/v) = (v du/dx - u dv/dx) / v² है, जिसमें ऋण चिह्न होता है और हर v² होता है। इसलिए दोनों को भ्रमित नहीं करना चाहिए।
यह प्रश्न दो फलनों cos(x³) और sin²(x⁵) के गुणनफल के रूप में है, इसलिए यहाँ गुणनफल नियम (u·v सूत्र) का उपयोग किया गया है। पहले u′ = −3x²·sin(x³) और v′ = 10x⁴·sin(x⁵)·cos(x⁵) प्राप्त किया गया, फिर सूत्र dy/dx = u·v′ + v·u′ लगाकर उत्तर प्राप्त किया गया।
इस प्रश्न में तीन फलनों की श्रृंखला है, इसलिए चेन रूल का उपयोग तीन बार किया गया है। पहले sec का अवकलन sec(tan√x)·tan(tan√x) होता है, फिर इसे tan√x के अवकलन sec²(√x) से गुणा किया जाता है, और अंत में √x के अवकलन (1/(2√x)) से गुणा करके पूर्ण उत्तर प्राप्त किया जाता है: sec(tan√x)·tan(tan√x)·sec²(√x)·(1/(2√x))।
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