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u/v सूत्र से अवकलन और प्रश्नावली 5.2 का संपूर्ण हल

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इस वीडियो में हम u/v सूत्र (भागफल नियम) के कुछ उदाहरणों और प्रश्नावली 5.2 के सभी प्रश्नों को हल करेंगे। इसे पूरी तरह समझने के लिए, चलिए चरण दर चरण देखते हैं कि कैसे u/v सूत्र लागू किया जाता है और फिर 5.2 के प्रश्नों को कैसे हल किया जाए।

u/v (भागफल नियम) का सूत्र

u/v का अवकलन करने के लिए सूत्र है: (d/dx) (u/v) = [v · (du/dx) − u · (dv/dx)] / v²

याद रखने योग्य: इस सूत्र में बीच में माइनस का चिह्न आता है, जो u·v सूत्र (जो प्लस होता है) से भिन्न है।

उदाहरण 1: (2x + 1) / (x² − 2)

  1. v² लिखें: (x² − 2)²
  2. पहला भाग: v · (du/dx) = (x² − 2) · (2)
  3. दूसरा भाग: u · (dv/dx) = (2x + 1) · (2x)
  4. पूर्ण व्यंजक: [(x² − 2) · 2 − (2x + 1) · (2x)] / (x² − 2)²
  5. सरलीकरण: (2x² − 4 − 4x² − 2x) / (x² − 2)² = (−2x² − 2x − 4) / (x² − 2)²

उदाहरण 2: (sin x − cos x) / x²

  1. v² लिखें: (x²)² = x⁴
  2. पहला भाग: v · (du/dx) = x² · (cos x + sin x)
  3. दूसरा भाग: u · (dv/dx) = (sin x − cos x) · (2x)
  4. पूर्ण व्यंजक: [x²(cos x + sin x) − 2x(sin x − cos x)] / x⁴
  5. सरलीकरण: [x(cos x + sin x) − 2(sin x − cos x)] / x³

उदाहरण 3: (sin 2x + 1) / (tan 3x + 1)

  1. v² लिखें: (tan 3x + 1)²
  2. पहला भाग: (tan 3x + 1) · (2 cos 2x)
  3. दूसरा भाग: (sin 2x + 1) · (3 sec² 3x)
  4. पूर्ण व्यंजक: [(tan 3x + 1) · 2 cos 2x − (sin 2x + 1) · 3 sec² 3x] / (tan 3x + 1)²

प्रश्नावली 5.2 का हल

प्रश्न 1: sin (x² + 5) का अवकलन

  • ज्यामितीय श्रृंखला (Chain Rule): पहले sin का अवकलन, फिर (x² + 5) का अवकलन।
  • हल: cos (x² + 5) · (2x) = 2x cos (x² + 5)

प्रश्न 2: cos (sin x) का अवकलन

  • चरण 1: cos का अवकलन = −sin (sin x)
  • चरण 2: sin x का अवकलन = cos x
  • हल: −sin (sin x) · cos x = −cos x · sin (sin x)

प्रश्न 3: sin (ax + b) का अवकलन

  • चरण 1: sin का अवकलन = cos (ax + b)
  • चरण 2: (ax + b) का अवकलन = a
  • हल: a · cos (ax + b)

प्रश्न 4: sec (tan √x) का अवकलन

  • चरण 1: sec का अवकलन = sec (tan √x) · tan (tan √x)
  • चरण 2: tan √x का अवकलन = sec² √x
  • चरण 3: √x का अवकलन = 1/(2√x)
  • हल: sec (tan √x) · tan (tan √x) · sec² √x · 1/(2√x)

प्रश्न 5: (sin (ax + b)) / (cos (cx + d)) का अवकलन

  • u/v सूत्र का प्रयोग:
    • v² = cos² (cx + d)
    • v · (du/dx) = cos (cx + d) · a · cos (ax + b)
    • u · (dv/dx) = sin (ax + b) · [−c · sin (cx + d)]
  • हल: [a cos (cx + d) · cos (ax + b) + c sin (ax + b) · sin (cx + d)] / cos² (cx + d)

प्रश्न 6: cos x³ · sin² (x⁵) का अवकलन

  • u · v सूत्र का प्रयोग:
    • पहला भाग (u): cos x³, दूसरा (v): sin² (x⁵)
    • u' = −sin x³ · 3x²
    • v' = 2 sin (x⁵) · cos (x⁵) · 5x⁴ = 10x⁴ sin (x⁵) cos (x⁵)
  • हल: cos x³ · [10x⁴ sin (x⁵) cos (x⁵)] + sin² (x⁵) · [−3x² sin x³]

प्रश्न 7: को अगली कक्षा में हल किया जाएगा

प्रश्न 8: cos (√x) का अवकलन

  • चरण 1: cos का अवकलन = −sin (√x)
  • चरण 2: √x का अवकलन = 1/(2√x)
  • हल: −sin (√x) / (2√x)

निष्कर्ष

इस वीडियो में u/v सूत्र का उपयोग करके अवकलन करने की विधि और प्रश्नावली 5.2 के अधिकांश प्रश्नों का हल विस्तार से समझाया गया है। अभ्यास के लिए इन प्रश्नों को स्वयं हल करें। प्रश्न 7 अगली कक्षा में हल किया जाएगा। अवकलन के मूल सिद्धांतों को और गहराई से समझने के लिए, आप कक्षा 12वीं अवकल समीकरण: कोटि, घात, और हल करने की सम्पूर्ण गाइड का भी अध्ययन कर सकते हैं।

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