प्रायिकता वितरण: 10 नंबर पक्के करने की वन-शॉट मैराथन

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प्रायिकता वितरण (Probability Distribution)

मूल अवधारणा

यादृच्छिक चर (Random Variable): एक वास्तविक संख्या जिसका मान प्रतिदर्श समष्टि के परिणामों पर निर्भर करता है। इसे कैपिटल अक्षर X से दर्शाया जाता है।
प्रायिकता वितरण: यह एक सारणी है जो यादृच्छिक चर के विभिन्न मानों और उनकी संगत प्रायिकताओं को दर्शाती है।
- उदाहरण: एक सिक्के को दो बार उछालने पर X = शीर्षों की संख्या मानें।
  - X = 0 की प्रायिकता = 1/4
  - X = 1 की प्रायिकता = 2/4
  - X = 2 की प्रायिकता = 1/4
महत्वपूर्ण शर्त: सभी प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होता है।

Σ P(x) = 1

महत्वपूर्ण सूत्र (Key Formulas)

अपेक्षित मान (Expectation / माध्य Mean)

यादृच्छिक चर X के माध्य या अपेक्षित मान को E(X) से दर्शाते हैं।

E(X) = Σ [x · P(x)]

प्रसरण (Variance)

प्रसरण को Var(X) से दर्शाते हैं। यह आंकड़ों के फैलाव को मापता है।

Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

जहाँ,

E(X²) = Σ [x² · P(x)]

मानक विचलन (Standard Deviation)

मानक विचलन, प्रसरण का वर्गमूल होता है।

मानक विचलन = √Var(X)
(ध्यान दें: मानक विचलन हमेशा धनात्मक होता है, यह ±2 नहीं होता)

महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

कोई भी प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
प्रायिकता का मान हमेशा 0 और 1 के बीच में रहता है (0 ≤ P(x) ≤ 1).
माध्य (Mean) धनात्मक या ऋणात्मक दोनों हो सकता है। ऐसा केवल प्रायिकता वितरण में होता है। द्विपद, पॉइज़न और सामान्य वितरण में माध्य ऋणात्मक नहीं हो सकता।

अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

प्रश्न 1 (2025, CBSE): एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता वितरण निम्न प्रकार से दिया गया है।

| X | 0 | 1 | 2 | |---|---|---|---| | P(X) | K | 2K | 2K |

K का मान ज्ञात कीजिए।

हल: Σ P(x) = 1 ⇒ K + 2K + 2K = 1 ⇒ 5K = 1 ⇒ K = 1/5

प्रश्न 2 (2024, Compartment): एक यादृच्छिक चर X के मान -1, 0 और 1 हैं। इसका माध्य 0.6 है और P(X=0) = 0.2 है। P(X=1) ज्ञात कीजिए।

हल:

माना P(X = -1) = x और P(X = 1) = y
Σ P(x) = 1 ⇒ x + 0.2 + y = 1 ⇒ x + y = 0.8 ...(i)
माध्य E(X) = Σ [x · P(x)] = (-1)·x + 0·(0.2) + 1·y = -x + y = 0.6 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर: 2y = 1.4 ⇒ y = 0.7

प्रश्न 3 (विषयगत): एक पासे को दो बार उछाला गया। सफलता को 4 से बड़ी संख्या आने के रूप में परिभाषित किया गया है। सफलताओं की संख्या का प्रायिकता वितरण ज्ञात कीजिए।

हल:

सफलता की प्रायिकता (p) = P(संख्या > 4) = 2/6 = 1/3
असफलता की प्रायिकता (q) = 1 - p = 2/3
यह एक द्विपद प्रयोग है। इस प्रकार के प्रयोगों के बारे में विस्तार से जानने के लिए ईएमआई यूनिट 4: करंट और पोटेंशियल ट्रांसफॉर्मर का संपूर्ण परिचय पढ़ें, हालांकि यह एक अलग विषय है, यह प्रायिकता वितरण में सहायक अवधारणाओं को सुदृढ़ करता है।
X = 0, 1, 2
P(X=0) = ²C₀ · (1/3)⁰ · (2/3)² = 1 · 1 · 4/9 = 4/9
P(X=1) = ²C₁ · (1/3)¹ · (2/3)¹ = 2 · 1/3 · 2/3 = 4/9
P(X=2) = ²C₂ · (1/3)² · (2/3)⁰ = 1 · 1/9 · 1 = 1/9

| X | 0 | 1 | 2 | |---|---|---|---| | P(X) | 4/9 | 4/9 | 1/9 |

(ध्यान दें: कुल प्रायिकता 4/9 + 4/9 + 1/9 = 1 है)

प्रश्न 4 (2025, CBSE - केस स्टडी): एक छात्र का न्यूनतम तीन सप्ताह पहले आवेदन करने पर कॉलेज में प्रवेश मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (यह प्रश्न पूर्ण हल के लिए पाठ्यक्रम में दिए गए प्रायिकता वितरण फलन का उपयोग करके घर पर करें।)

हल (दिशानिर्देश):

सर्वप्रथम दिए गए फलन का उपयोग करके सभी प्रायिकताएं ज्ञात करें।
प्रश्न में पूछे गए 'एट लीस्ट थ्री वीक्स' का अर्थ है X ≥ 3. इसलिए, P(X = 3) + P(X = 4) ज्ञात करें.

प्रश्न 5 (नमूना प्रश्न पत्र): एक खिलाड़ी एक पासा फेंकता है। यदि विषम संख्या आती है, तो वह पासे पर आने वाली संख्या के बराबर रुपये जीतता है। यदि सम संख्या आती है, तो वह पासे पर आने वाली संख्या का आधा रुपये हार जाता है। उसके जीतने की अपेक्षित राशि ज्ञात कीजिए।

हल:

माना Y = जीतने/हारने की राशि है।
Y का प्रायिकता वितरण:

| पासा संख्या | राशि (Y) | प्रायिकता P(Y) | |:------------:|:---------:|:---------------:| | 1 | +1 | 1/6 | | 2 | -1 | 1/6 | | 3 | +3 | 1/6 | | 4 | -2 | 1/6 | | 5 | +5 | 1/6 | | 6 | -3 | 1/6 |

अपेक्षित राशि E(Y) = Σ [y · P(y)]
E(Y) = (1)·(1/6) + (-1)·(1/6) + (3)·(1/6) + (-2)·(1/6) + (5)·(1/6) + (-3)·(1/6)
E(Y) = (1 - 1 + 3 - 2 + 5 - 3) / 6 = (9 - 6) / 6 = 3/6 = 1/2

गृहकार्य (Homework)

निम्नलिखित प्रश्नों को हल कीजिए:

प्रश्न 6: एक प्रायिकता वितरण सारणी दी गई है जिसमें X का मान 1, 2, 3, 4 और संगत प्रायिकताएँ a, 2a, 3a, b हैं। यदि माध्य 2.8 है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7: प्रथम छह धनात्मक पूर्णांकों में से बिना प्रतिस्थापन के दो संख्याएँ यादृच्छया चुनी जाती हैं। माना X प्राप्त संख्याओं में से छोटी संख्या को दर्शाता है। X का माध्य ज्ञात कीजिए।

अगले सत्र में द्विपद वितरण (Binomial Distribution) की पूरी तैयारी की जाएगी।

इस विषय से जुड़ी अधिक प्रैक्टिस के लिए, आप UPESSC ICT मैराथन: TGT/PGT/असिस्टेंट प्रोफेसर के लिए कंप्यूटर टॉप MCQs भी देख सकते हैं, जहां आंकड़ों और प्रायिकता पर आधारित प्रश्न शामिल हो सकते हैं।

हेलो गुड इवनिंग नमस्ते राधे-राधे एमियंस क्या हालचाल है आप सभी का गुड इवनिंग एवरीवन कैसे हो आप सब एक बार जल्दी से

बताइए क्या हालचाल है बच्चों लोगों का गुड इवनिंग गुड इवनिंग। गुड इवनिंग एवरीवन। आ जाओ आ जाओ जल्दी से आ जाओ।

सारे एमएस भाई जल्दी से आ जाओ जल्दी-जल्दी। और आज हमारा है डे थ्री जिसमें हम लोग

अपने 10 नंबर और पक्के कर रहे हैं। और एक सिंगल यूनिट है हमारी। और बड़ी इंपॉर्टेंट और मजेदार यूनिट है प्रोबेबिलिटी

डिस्ट्रीब्यूशन की जो काफी स्कोरिंग है। आप चाहे तो इसमें 10 में से 10 नंबर आराम से पक्के कर सकते हैं। क्योंकि इसके अंदर

डायरेक्ट फार्मूला बेस्ड क्वेश्चन है। कई-कई जगह पे थोड़ी-थोड़ी सी दिमाग लगाने की जरूरत पड़ती है। बट वो सारी वैरायटी

अगर हम पहले से करके चलेंगे और इन बोर्ड्स के क्वेश्चन के थ्रू हमें पता भी लग जाएगा कि हमें कहां पर कैसी मेहनत करनी है। तो

यार ये 10 नंबर भी आप लोग अपने पक्के समझ सकते हो। तो इस सेशन में भी आपको कांसेप्ट के साथ-साथ फार्मूलेस के साथ-साथ बड़े सारे

पीवाईक्यूस कराने का इरादा है। अब आपका क्या इरादा है साथ में अंत तक रुकने का या ब्रेक में 9 2 11 होने का? कि जैसे लास्ट

टाइम पे ब्रेक में 9 2 11 हो गए थे। गुड इवनिंग। गुड इवनिंग एवरीवन। जल्दी-जल्दी आओ यार सारे फटाफट से आ जाओ।

कोई बात नहीं सुानी बेटा आज आपकी कंफ्यूजन को दूर करने की पूरी पूरी कोशिश रहेगी।

पूरी-पूरी तगड़ी वाली कोशिश रहेगी बेटा। हां भाई हां ब्रेक देना ही नहीं है इसलिए बड़ा अच्छी बात ये बोली है ना सौम्या ने कि

सर इसलिए ब्रेक देना ही मत मेरा भी इरादा यही है आज आराम से पढ़ते रहेंगे बीच में जब लगेगा तो बातें कर लेंगे मैंने भी चायवा

मंगवा के रखी हुई है लेकिन मेरा भी इरादा यही है कि ब्रेक नहीं मिलेगा मैं हूं बढ़िया यार एकदम सब ठीक-ठाक हूं आप लोग

कैसे हो है ना सभी को राधे-राधे दोबारा से जिन्होंने लेट जाइन करा है। सब बढ़िया हो, फिट एंड फाइन हो। है ना? अब तो यार बस समझ

लो कुछ ही दिन रह गए हैं गिनती के। साला बिल्कुल बिल्कुल बेटा संभाल लेंगे मेधा।

चिंता मत करो बेटा। चलो भाई तो आज स्टार्ट करते हैं हमारे पास प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन से। अब इसके अंदर हमने चार

टॉपिक देखने हैं बेटा। एक तो खुद यही प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन का जो टॉपिक है। फिर हमारे पास एक बायनॉमियल

डिस्ट्रीब्यूशन आती है। और फिर हमारे पास एक पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन और आखिरी हमारी रहेगी नॉर्मल

डिस्ट्रीब्यूशन। तो इन चार टॉपिक्स के थ्रू ये आपके 10 नंबर आज के आज पक्के हो जाएंगे। ठीक है? आज चार टॉपिक के थ्रू

पांच के अपना 10 के 10 नंबर आपके पक्के हो जाएंगे। ठीक है? सो गेट सेट गो बेटा। गेट सेट गो। स्टार्ट करते हैं हम लोग

प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन से। अरे यार मेरी अभी जस्ट इससे पहले सीए की क्लास खत्म हुई है और मैं आपके पास आया हूं। तो

जैकेट चेंज करने का समय नहीं मिल पाया। बीच में ब्रेक लेंगे तो चेंज कर लेंगे। ठीक है? तो देखो प्रोबेबिलिटी

डिस्ट्रीब्यूशन है ना? वैसे वन शॉट में मैंने बहुत डिटेल में इसको समझाया है। आई होप कि आपने वो पढ़ लिया होगा। अगर नहीं

करा है वन शॉट से कवर अप वो वाला तो आज इस लेक्चर के बाद जब भी आपको टाइम मिले बेटा जरूर कर लेना। इंटीग्रेशन की बेटा मैं फिर

बोल रहा हूं टेंशन नहीं लेनी है क्योंकि संडे को आने वाला है कैलकुलस डे। तो 8 तारीख को जबरदस्त तरीके से कैलकुलस

करवाऊंगा। जितना करवाऊंगा उतना ही करके जाना है। बस ठीक है? तो इसलिए उसकी टेंशन मत करो। आज कितनी देर चलाएंगे क्लास? बेटा

बेटा वही जब सारे क्वेश्चंस खत्म हो जाएंगे। ठीक है? चलो। तो प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन की बात अगर मैं करूं कि

यहां पर हमारे पास क्या है? देखो नाम में समझ में आ रहा है कि डिस्ट्रीब्यूशन होगा। बट डिस्ट्रीब्यूशन किसका होगा और कैसे

होगा? ये बड़ी इंपॉर्टेंट बात है। तो हमारे पास प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन में क्या रहेगा?

डिस्ट्रीब्यूशन तो होगा। किसका डिस्ट्रीब्यूशन होगा? डिस्ट्रीब्यूशन होगा प्रोबेबिलिटीज़ का।

सर कौन सी प्रोबेबिलिटीज? डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ प्रोबेबिलिटीज। सर वो तो नाम से ही पता लग रहा है। अरे

डिस्ट्रीब्यूशन होगा मेरे भाई प्रोबेबिलिटीज़ का ओवर डिफरेंट वैल्यूज़ ऑफ ओवर डिफरेंट वैल्यूज़ ऑफ़ अ रेंडम वेरिएबल।

अब बात आती है कि सर एक ये रेंडम वेरिएबल क्या होता है? तो रेंडम वेरिएबल एक ऐसा रियल नंबर रहता है हमारे पास। ध्यान से

सुनना बेटा। बहुत ईजी है। बहुत ही ईजी है। और जिस फ्लो से कराऊंगा आप भी उस फ्लो से पढ़ना। ठीक है? कि रैंडम वेरिएबल एक ऐसा

रियल नंबर है जिसके जो आउटकम्स हैं जिसके जो वैल्यूज़ हैं वो डिपेंड करती है आउटकम्स ऑफ अ सैंपल स्पेस। तो रैंडम वेरिएबल क्या

है मेरे पास? एक ऐसा रियल नंबर अ रियल नंबर हुस वैल्यू अ रियल नंबर हुस वैल्यू डिपेंड्स ऑन

आउटकम्स ऑफ अ सैंपल स्पेस। देखो बड़ा छोटे से एग्जांपल से इस टॉपिक की

शुरुआत करते हैं। फिर क्वेश्चंस पर आते हैं और देखते हैं बोर्ड में कैसे क्वेश्चन आते हैं बेटा हमारे पास। ठीक है?

एक एग्जांपल समझो। मैंने बोला कि एक डाई है फिर अ कॉइन पहले करते हैं। अ कॉइन इज टॉस्ड

ट्वाइस। तो क्या आप मुझे बता सकते हैं बेटा इसके क्या-क्या सैंपल स्पेस बनेंगे? अगर मैं एक

कॉइन को दो बारी टॉस कर रहा हूं तो उसमें सैंपल स्पेस क्या बनेंगे? भाई एक तो देखो खतरनाक बच्चा आया है। नया चैप्टर लेकर आया

है। मास्टर को भी हार्ट अटैक आ जाए। स्टैटिस्टिकल डिफरेंशिएशन भाई ये कौन सा चैप्टर है? ये तो मैंने ही

ना पढ़ा आज तक स्टैटिस्टिकल डिफरेंशिएशन डिफरेंशिएशन में भी स्टैटिस्टिकल खतरनाक है भाई खतरनाक

हम बहुत सही भाई बहुत सही हमारे पास चार इसके सैंपल स्पेस बनेंगे हेड हेड हेड टेल टेल हेड और टेल टेल हेड हेड हेड टेल टेल

हेड और टेल टेल के ये हमारा हमारे पास चार सैंपल स्पेस बनेंगे इसके। अब हमारे पास अगर मैं एक रैंडम वेरिएबल जो है x है ना?

रेंडम वेरिएबल को हम हमेशा किससे डिनोट करते हैं? कैपिटल x में। इट इज़ डिनोटेड बाय कैपिटल x। अब एक रैंडम

वेरिएबल है मेरे पास कैपिटल x। सपोज़ करो ये डिनोट करता है इट डिनोट्स नंबर ऑफ़ हेड्स। कि हेड्स कितनी बार आ रहा है? बेटा

यहां पर अभी तक कहीं पर भी प्रोबेबिलिटी की बात नहीं हो रही। समझने वाली बात ये है। कहीं पर भी प्रोबेबिलिटी की बात नहीं

हो रही। यहां बात हो रही है कि हेड कितनी बार आ रहा है? तो अगर मैं आपसे पूछूं कि मेरी x की अलग-अलग पॉसिबल जो वैल्यूज़ हैं

वो क्या हो सकती हैं? तो पॉसिबल वैल्यूज़ ऑफ़ x क्या हो सकती हैं? आपने एक-एक आउटकम को देखना है। अगर मैं H को देख रहा हूं तो

इसका मतलब मेरे पास हेड कितनी बार आया है? सर हेड आ गया है दो बार। क्योंकि यहां पर हम नंबर ऑफ आउटकम्स की

बात कर रहे हैं। है ना? डिपेंड्स ऑन क्योंकि रैंडम वेरिएबल क्या है? एक रियल नंबर है। ठीक है? तो नंबर की फॉर्म में हम

बताएंगे। अब अगर हेड टेल या टेल हेड इन दोनों में से कोई भी आउटकम्स आए हैं तो उसमें हेड कितनी-कितनी बार आ रहा है?

इसमें भी एक बार, इसमें भी एक बार। तो यानी कि मेरे पास जो हेड है या तो वो दो बार ही आएगा या तो एक बार ही आएगा। बेटा

मेरे ख्याल में आज नहीं तो कल अपलोड हो जाएगा। जा चुका है हमारी तरफ से और फिर अगर टेल टेल है तो मतलब एक भी बार

हेड नहीं आया। तो यहां पर रैंडम वेरिएबल की जो वैल्यूज़ बनी है 0 1 2 क्या वो रियल नंबर है? यस सर। और ये जो वैल्यूज़ बनी है

रियल नंबर की फॉर्म में वो मिली कहां से है? सर जो आउटकम्स थे सैंपल स्पेस के उससे। तो रैंडम वेरिएबल एक ऐसा रियल नंबर

है जिसकी वैल्यू किसके ऊपर डिपेंड करती है कि मेरे आउटकम्स क्या होंगे सैंपल स्पेस के। अब ये जो हमारी अलग-अलग पॉसिबल

वैल्यू्यूज हैं रैंडम वेरिएबल की अगर मैं उसी के लिए प्रोबेबिलिटी कैलकुलेट करूं तो देखो

अगर मैं लिख रहा हूं p ऑफ़ x = 0 इसका मतलब मैं बात कर रहा हूं कि प्रोबेबिलिटी ऑफ़ गेटिंग

ज़ीरो हेड्स। कि एक भी बार हेड नहीं आया। बेटा आउटकम्स आपके सामने अगर मैं आपसे पूछ रहा हूं कि एक भी बार हेड ना आने की

प्रोबेबिलिटी क्या है? तो आपका आंसर क्या होना चाहिए? सर फेवरेबल हमारा एक है कि टेल टेल कि भैया एक भी बार हेड नहीं आया।

टोटल चार आउटकम है। तो सर इसकी प्रोबेबिलिटी 1/4 होगी। फिर अगर मैं आपसे पूछूं कि जो मेरे अगला रैंडम वेरिएबल रियल

नंबर ले रहा है वन उस रैंडम वेरिएबल की वैल्यू के लिए प्रोबेबिलिटी क्या होगी? तो अगर मैं p ऑफ़ x = 1 बोल रहा हूं तो मतलब

जो मेरा रैंडम वेरिएबल है उसकी वन वैल्यू के लिए प्रोबेबिलिटी क्या होगी? व्हिच मींस इन दिस क्वेश्चन कि प्रोबेबिलिटी ऑफ़

गेटिंग वन हेड। अब बेटा एक हेड आने के दो आउटकम्स हैं। या तो ये या तो ये और टोटल चार आउटकम है। तो इसकी प्रोबेबिलिटी मेरी

2/4 हो गई। एंड p ऑफ़ x = 2 कि अगर मुझे दोनों ही हेड्स चाहिए तो उसकी प्रोबेबिलिटी

1/4 तो मैंने क्या करा जो मेरी डिफरेंट पॉसिबल वैल्यूज़ बन सकती थी एक रैंडम वेरिएबल की उसके बेसिस पर अलग-अलग

प्रोबेबिलिटीज़ निकाल ली। तो मैं बोल सकता हूं यहां पर ध्यान से सुनने वाली बात है बेटा कि जो रैंडम वेरिएबल्स की वैल्यू थी

जो रेंडम वेरिएबल की वैल्यू थी वहां पर पूरी प्रोबेबिलिटी का डिस्ट्रीब्यूशन हुआ है। पूरी प्रोबेबिलिटी का डिस्ट्रीब्यूशन

कैसे हुआ बेटा? टोटल प्रोबेबिलिटी कितनी होती है? अब जैसे मैं हेड वाले एक्सपेरिमेंट की बात कर रहा हूं कि मुझे

हेड चाहिए तो उसकी टोटल प्रोबेबिलिटी हमेशा कितनी होती है? ये भी बताओ जरा मुझे। टोटल प्रोबेबिलिटी हमेशा कितनी होती

है? टोटल प्रोबेबिलिटी हमेशा कितनी होती है? वन होती है। तो अगर आप ध्यान से देखोगे कि

इनका अगर मैं सम करूंगा 1/4 + 2 / 4 + 1 / 4 यानी 4 / 4 करूंगा तो वो मुझे वन ही मिलेगा। तो मैं ये बोल सकता

हूं कि जो मेरी टोटल प्रोबेबिलिटी वन थी वो डिफरेंट-डिफरेंट रेंडम वेरिएबल्स की वैल्यू के लिए डिस्ट्रीब्यूट हो गई। और

इसी को अगर मैं एक टेबल की फॉर्म में रिप्रेजेंट कर दूंगा तो उसी को मैं क्या बोलूंगा? मेरा

प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन। उसी को बेटा मैं क्या बोलूंगा? मेरा

प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन। तो बेटा मैं एक टेबल बनाऊंगा जिसमें दो रोज़ होंगी। एक जो मेरा रैंडम वेरिएबल x है उनकी

क्या-क्या वैल्यू आई है और एक उस रैंडम वेरिएबल के लिए जो जो मुझे प्रोबेबिलिटीज मिली है। तो अगर x की वैल्यू ज़ीरो है तो

प्रोबेबिलिटी सर 1/4 वन है तो 2/4 टू है तो फिर से 1/4 तो ये मेरी

प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन कंप्लीट हो गई। तो प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन का मतलब क्या है? प्रोबेबिलिटी का

डिस्ट्रीब्यूशन ओवर डिफरेंट वैल्यूज़ ऑफ़ रेंडम वेरिएबल। और यहां पर यह जो प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूट हो रही है वो

हमेशा किसके बराबर बनेगी सर? एक यानी वन के। तो यहां पर मैं बोलता हूं कि समेशन px हमेशा किसके इक्वल आता है?

वन के। तो हम इन जनरल क्या बोल सकते हैं बेटा? इन जनरल हम बोल सकते हैं कि प्रोबेबिलिटी

डिस्ट्रीब्यूशन एक टेबल की फॉर्म में है जिसके अंदर दो रोज़ हैं। है ना? और जो मेन हमारे कॉलम है एक है x यानी रेंडम वेरिएबल

की वैल्यू के लिए और एक उन्हीं की प्रोबेबिलिटीज़ के लिए। अब रेंडम वेरिएबल की वैल्यू x1 हो सकती है। x2 कुछ भी मतलब

अलग-अलग वैल्यूज़ हो सकती हैं। एंड सो ऑन टिल xn तक और यहां पर इनकी रिस्पेक्टिव प्रोबेबिलिटीज़ हो सकती हैं अलग-अलग टिल

PN। जब हमने बोला कि समेशन px = 1 है। इसका मतलब क्या है? कि ये जो इंडिविजुअल हमारी प्रोबेबिलिटीज हैं इनका सम हमेशा

कितना रहेगा बेटा? वन रहेगा। इनका सम हमेशा कितना रहेगा बेटा? ऑलवेज इक्वल टू वन। ऑलवेज इक्वल टू वन।

ठीक है? और इसमें एक चीज और आती है एक्सपेक्टेशन ऑफ x। एक्सपेक्टेशन ऑफ x

जिसको हम डिनोट करते हैं e ऑफ़ x से। आप इसको एक्सपेक्टेड वैल्यू ऑफ़ x भी बोल सकते हो।

आप इसको मीन ऑफ़ x भी बोल सकते हो। और इसको कैलकुलेट करने का बड़ा ही सीधा साधा फार्मूला है। अगर आप ध्यान से देखोगे

बेटा तो ये आपके पास क्या बन चुका है? ये हमारे पास एक डिस्ट्रीब्यूशन बन चुका है। जैसे स्टैटिस्टिक्स में फ्रीक्वेंसी

डिस्ट्रीब्यूशन होती थी ना वैसे ही यहां पर ये हमारे पास क्या है? प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन है। एक xi और fi होता था।

यहां पर xi और pi है। फ्रीक्वेंसी की जगह बस वो प्रोबेबिलिटी है। ठीक है? हां। अब होंगे तुषार बेटा जो साथ-साथ मैं बनवा

रहा हूं। बेटा आप इसको तब तक यूज़ कर लो ना। ऐसे हर एक चैप्टर को हम लोग यूज़ कर रहे हैं। मैं उसमें भी लिखवा रहा हूं।

इकट्ठे कंबाइन भी आएंगे बेटा। है ना? उसका फार्मूला है समेशन ऑफ़ x * px जिसका मतलब हुआ कि पहले इसको मल्टीप्लाई करो

इससे। ब्रॉडली बोला कि इसको इससे मल्टीप्लाई करो। जिसका मतलब क्या है भाई? x की जो वैल्यूस हैं उसको जो p की वैल्यू

है उससे मल्टीप्लाई करो और ऐड करते जाओ। x1p1 x2p2 x3p3

एंड सो ऑन टिल xn pn। टिल xn pn। ठीक है? इसी में एक चीज और आती

है जिसको हम क्या बोलते हैं? वेरियंस ऑफ x और इसको डिनोट करते हैं वेयर x से। अब

बेटा इसको ना लिखने के तरीके हैं। इसको ना लिखने के क्या है? तरीके नहीं बेटा ज्यादा लेट नहीं हुआ। बस अभी शुरू ही करा है। है

ना? 15 मिनट हुए हैं। बस शुरू ही हुआ है बेटा टॉपिक। इसको या तो आप ऐसे लिखोगे कि e ऑफ़ x²

- eल स्क्वायर या इसको आप ऐसे भी लिखोगे समेशन x² * p ऑफ़ x माइनस में समेशन ऑफ़ x * px है

ना जो हमारा मीन है उसका होल स्क्वायर जिसका मतलब ये हुआ कि पहले आप x1 का स्क्वायर करोगे फिर p1 भाई देखो x1 p xpx

में क्या था कि इसका इससे मल्टीप्लाई इसका इससे मल्टीप्लाई इसका इससे मल्टीप्लाई और ऐड करते जाओ और ऐड करते जाओ। हां बेटा p /

q ही करेंगे अनुष्का बस थोड़ा सा समझा दिया है। अब मैं pyq के थ्रू ही आगे लेके जाऊंगा बेटा क्योंकि इस सीरीज का पर्पस

यही है कि हर एक चैप्टर से आपके पीवाईक्यूस क्या करें? करवा दें बेटा। अब वंशु बेटा देखो एज सच सिलेबस में मेंशन

नहीं है। बट मैंने लाइव क्लास में क्वेश्चन जरूर कराएं और जो अभी गैप डज़ में हमारे कुछ सेशन होंगे उसमें भी करवाऊंगा

एएमजीएम के। है ना? x2² * में p2 x3² * में p3 एंड सो ऑन टिल xn² * में pn

फिर माइनस में ये तो अपना मीन ही है। वही x1p1 x2p2

x3p3 एंड सो ऑन टिल xn pn बेटा ये बात समझ में आती है सबको? यस और नो

बेटा यहां तक क्लियर है फ़ूले तो फ़ूले वाइज़ कांसेप्ट वाइज़ प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन में इतना ही है। अब मैं

आपको एक एग्जांपल दे रहा हूं। उसके थ्रू आपने काम करना है। है ना? मैं आपको एक एग्जांपल दे रहा हूं। उसके थ्रू आपने काम

करना है। अनुष्का बेटा पूछो क्या पूछ रहे हो? सपोज़ करो कि मेरे पास एक प्रोबेबिलिटी

डिस्ट्रीब्यूशन है। सपोज़ करो मेरे पास एक ये प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन है। ये X की वैल्यू है। ये p ऑफ़ X की वैल्यू है। ये

है 0 1 2 3 यहां पर है K, यहां पर है 2k, यहां है 3k, यहां है 4k. मेरा पहला प्रश्न आपसे

है कि मुझे K की वैल्यू बताओ कितनी आएगी? मेरा पहला ही क्वेश्चन आपसे कि मुझे K की वैल्यू बताओ बेटा कितनी आएगी? हां बेटा p

/ q ही करेंगे बेटा। अभी तो बताया मैंने p / q बिना तो काम ही नहीं बनेगा ना। p/q बिना तो काम ही नहीं बनेगा।

हां। तो यहां पर हमने क्या यूज़ करा? समेशन px की सभी प्रोबेबिलिटीज का जो सम होगा वो

हमेशा किसके बराबर होगा? वन के बराबर होगा। तो मैंने सबको ऐड कर दिया k + 2k + 3k + 4k ये इक्वल है 1 के। 2 और 1 3 3 6 6

4 10 तो 10k आ गया 1 के बराबर तो k क्या मेरा? 1 / 10 आ रहा है भाई। आ रहा है क्या? अरे बहुत खूबसूरत यार। सही आंसर आ

रहा है सबका। अब चलो मैंने इसी में ही आपसे पहले पहले डायरेक्ट क्वेश्चंस पूछूंगा। इसी में आपसे पूछ लिया। मुझे

बताइए एक्सपेक्टेशन ऑफ़ x कितनी आएगी? अब k आ चुका है मेरे पास। तो बताइए मेरे पास एक्सपेक्टेशन ऑफ़ x

कितनी आएगी? हो गया अनुष्का बेटा पीवाईक्यू तो होंगे होंगे। अध्यक्ष कौन सा? सिस्टम गेमर वो

वाला अध्यक्ष है हमारा पुराने वाला। तो यार इसका फार्मूला समेशन x * px निकालना है हमारे को मतलब दिस * दिस तो 0

* k + 1 * 2k + 2 * 3k + 3 * 4k 0 + 2k + 6k + 12k 6 और 2 8 और 12 20k तो क्या अपने पास टू आ रहा है क्या? अरे क्या

बात है भाई बड़े इंटेलिजेंट हो रहे हो यार तुम लोग हैं भाई इतने इंटेलिजेंट हो जाओगे तुम

चलो अब तुम्हारी इंटेलिजेंस चेक करते हैं कि e ऑफ़ x² कितना आ रहा है तुम्हारी तुम्हें फंसाने वाला काम कर रहा हूं मैं

अब देख लो कहीं तुम्हारे को नजर ना लगे इसीलिए कुछ कुछ गड़बड़ कर रहे हैं हम लोग कौन है कह रहा है

टीम राइडर प्राइ रुद्रा कह रहा है वेरियंस का फार्मूला गलत लिख अबे कैसे गलत लिख दिया भाई

ना भाई ठीक है अच्छा यहां पर होल स्क्वायर नहीं लगाया क्या अरे वो हां लगाया हुआ है ना समझ जा यहां पर भी है वहां लगाया तो

समझ जा यार वहां पर भी है ही अब देखो यहां पर बच्चे गलती करते हैं कि वेरियंस निकाल के आ जाते हैं

वेरियंस निकाल भाई वेरियस नहीं निकालना। e ऑफ़ x² निकालना है। मतलब समेशन x² * p ऑफ़ x निकालना है बस। तो 0² * k 1² * k 2² * 3k

1² * 2k सॉरी। फिर 2 स्क्वायर * में 3k और 3² * में 4k तो 0 + 2k 4 * 3 = 12 12 के 9 और 4 36 के

12 और 2 14 36 और 14 50 के तो आंसर आ गया फाइव। वेरियंस नहीं निकालना था। अब अगर मैं आपसे पूछूं मुझे

बताइए कि वेरियंस क्या होगा? तो आप उसमें फ़ूला लगा देंगे। अब अगर मैं आपसे पूछूं बताइए मुझे कि

वेरियंस क्या होगा? तो आप फार्मूला लगा देंगे e ऑफ़ x² - e ऑफ़ x होल स्क्वायर e ऑफ़ x² - में e ऑफ़ x होल स्क्वायर तो e ऑफ़ x²

कितना आया अभी मेरे पास? 5 माइनस में 5 - 4 वेरियंस आ गया मेरे पास वन। और

वेरियंस से ही मुझे क्या मिलता है? स्टैंडर्ड डेविएशन। स्टैंडर्ड डेविएशन क्या होता है?

स्टैंडर्ड डेविएशन क्या होता है? स्टैंडर्ड डेविएशन इज़ अंडर रूट ऑफ़ वेरियंस।

अंडर रूट ऑफ़ वेरियंस। है ना? ये तो हो गई बेटा सीधा-सीधा पूछने वाली चीज़। अब इसी में कई बार क्वेश्चन कैसे बना देगा आपसे?

आपसे बोलेगा बताओ व्हाट इज प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x > = 2? आपसे ये पूछ लिया प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x > = 2

है ना? तो p ऑफ़ x > = 2 का मतलब भाई जो x की वैल्यू है वो दो या दो से ज्यादा होगी। बेटा अभी तक तो मेरे पास जो शेड्यूल आया

है वो सिर्फ मैराथन का ही आया है बेटा। px = 2 अगर और भी कुछ अपडेट होगी तो जब मुझे पता चलेगी तो आपको भी तभी पता चलेगी।

ठीक है? हां अनुष्का बेटा e² बात नहीं समझा बेटा। ये बेटा फार्मूला है। e ऑफ़ x² - में e ऑफ़

x² हम बेटा हैदर भाई स्टैंडर्ड डेविएशन कभी

नेगेटिव नहीं होती क्योंकि अंडर रूट में 4 है। अगर 4 हमेशा टू ही होता है। +-2 नहीं होता

मेरे भाई। ये गलत पढ़ाया जाता है तुमको कि 4 आपका + - 2 होता है। गलत। 4 हमेशा से टू ही था। वो क्वाड्रेटिक

इक्वेशन सॉल्व करते टाइम अगर आप ऐसे लिखते थे कि x² = में 4 है तो आप x को + - 2 लिखते थे या प्लस माइनस

4 लिखते थे। है ना? क्योंकि वो क्वाड्रेटिक इक्वेशन है। 4 तो यार हमेशा से टू ही होता है। तो p ऑफ़

x = 2 है 3k ये है 4k यानी 7k यानी 7 /10 यानी कि 0.7 ठीक है बेटा? सारे के सारे चारों टॉपिक

इंपॉर्टेंट है। बिकॉज़ हर एक टॉपिक से क्वेश्चन हर साल आया है। ऐसा कभी नहीं हुआ इस चैप्टर के अंदर कि चार में से किसी तीन

पे आया हो, एक से ना आया हो। हर बार आ ही रहे हैं बेटा हर टॉपिक से क्वेश्चन। तो इसलिए चाहे वो एमसीक्यू में आए, चाहे वो

आपके पास जिस मर्जी से आए। तो इस वाले चैप्टर में आपको थोड़ा सा ध्यान रखना है। अब कुछ बातें और बेटा कि क्या हमारी किसी

भी प्रोबेबिलिटी की वैल्यू नेगेटिव हो सकती है? क्या हमारी किसी भी प्रोबेबिलिटी की वैल्यू नेगेटिव हो सकती है? से यस और

नो। हम जल्दी से बताओ। फिर हम लोग पीवाईक्यू

स्टार्ट करते हैं। अब कुछ टेक्निकल बातें जो आपको पेपर में फसेंगी। अब कुछ टेक्निकल बातें जो आपको पेपर में

समझाएंगी। कभी नहीं हो सकती। है ना? कभी नहीं हो सकती।

बेटा e ऑफ़ x² कैसे निकालते हैं? पहले x1 का स्क्वायर करना है इनू में p1 x² करना है इनू में p x² * b x² * p

बट अगर मैं आपसे पूछूं कि हमारे पास क्या कभी मीन नेगेटिव हो सकता है? क्या मीन कभी नेगेटिव हो सकता है? यस और

नो कि सर नहीं हो सकता कभी भी नेगेटिव। है ना? तो किस कभी नहीं हो सकता। क्या मीन कभी नेगेटिव हो सकता है? यस और नो।

मीन हमारे पास कैन बी पॉजिटिव और नेगेटिव। ध्यान रखना। मीन कैन बी एक्सपेक्टेशन ऑफ़ x है जो हमारी प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन

के अंदर। प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन के अंदर की बात हो रही है। इट कैन बी पॉजिटिव और नेगेटिव। हमने क्लास में क्वेश्चन करा

हुआ है। वो जो डाई फेंक के पैसे वाला क्वेश्चन था उसमें मीन नेगेटिव ही आता है। है ना? क्योंकि x तो हमारे पास पॉजिटिव

नेगेटिव कुछ भी हो सकता है। है ना? x हमारे पास क्या हो सकता है? कैन बी पॉजिटिव

और नेगेटिव कुछ भी हो सकता है। ज़ीरो भी हो सकता है। ये प्रोबेबिलिटी हमेशा क्या होती है? ऑलवेज पॉजिटिव। और हमेशा किसी भी

प्रोबेबिलिटी की वैल्यू ज़ीरो से लेकर वन के बीच में ही रहेगी। ये बात आपको याद रखनी है। है ना? ये बात आपको याद रखनी है।

ठीक है? हां बेटा वो हम बायनॉमियल में भी नहीं हो सकता। है ना? रणबीर बेटा आप नॉर्मल का बोल रहे हो। इवन बाइनोमियल

डिस्ट्रीब्यूशन में भी नेगेटिव नहीं हो सकता। हमने इसमें यहां पर सिर्फ e ऑफ़ x की बात करी है। है ना? ना बायनॉमियल में हो

सकता है, ना पोइजन में हो सकता है, ना नॉर्मल में हो सकता है। यहां ये एमसीक्यू बन सकता है कि इन व्हिच डिस्ट्रीब्यूशन

मीन कैन बी नेगेटिव। तो ना बाइनॉमियल में हो सकता है ना ही आपके पास नॉर्मल में ना ही पोइजन में। सिर्फ प्रोबेबिलिटी

डिस्ट्रीब्यूशन में ही आपके पास वो नेगेटिव हो सकता है। ठीक है? ये बात भी ध्यान रखनी है। हां।

अब बेटा देखो मैं टफ से क्वेश्चन नहीं बोलूंगा। जो बोर्ड के क्वेश्चन है वो बोलूंगा। अब अगर बोर्ड के क्वेश्चन भैया

तुम्हें आसान लग रहे हैं तो इसमें भैया मेरा जलवा है। थोड़ी सी तारीफ खुद ही कर लो और तो कोई करता नहीं है। अब ये जो

बोर्ड के क्वेश्चन है मैं उसको तो टफ नहीं बना सकता क्योंकि वो आ चुके हैं। हां। अगर वो तुम्हें हलवा लगते हैं तो दैट

मींस इट्स अ प्राउड मोमेंट फॉर ऑल ऑफ अस। कि अपनी तैयारी इतनी जबरदस्त है। हां। बट जो गैप सेशन होगा उसमें मैं आपके लिए कुछ

एक्स्ट्रा ला सकता हूं। अभी मेरा टारगेट है सिर्फ पीवाईक्यूस कराने का। चलो भाई शुरुआत करें मेरे भाई बहन। लो बेटा 2025

का बिल्कुल तरारा तरारा तरारा करारा तंदूर से निकला हुआ गरमा गरम तंदूरी मोमोज़ की तरह ये क्वेश्चन आया था।

कह रहा है एक रैंडम वेरिएबल x है। है ना? हैज़ द प्रोबेबिलिटी। मैं अपना पोल भी साथ-साथ चलाता रहूंगा। ओह यार सॉरी माय

मिस्टेक। सब फटाफट ए मार्क कर दो। अभी अभी मुझे नहीं पता क्या आंसर है। ए मार्क कर दो। ने गलती से 30 सेकंड वाला चला दिया।

आप सब अभी के लिए ए मार्क कर दो ताकि पोल खराब ना हो जाए। मयंक भाई ऐसा नहीं कह सकते किसके चांस है।

ऐसा कभी भी नहीं होता। यही आएगा। वो पता लगे मैं लास्ट में जाके बता देता हूं।

बट अभी के लिए सब करके जाएंगे। वह जो एग्जाम डे से पहले बात होगी वह तब करेंगे। अभी के लिए यह मार्क कर दो। ठीक है? मैं

पोल दोबारा चला रहा हूं। चलो तो अब हमारे को ना इस तरह से जो है टेबल

ना देके एक फंक्शन की फॉर्म में दे दिया। टेबल ना देके हमारे को फंक्शन की फॉर्म में दे दिया। कोई टेंशन नहीं है। अपने को

घबराने का नहीं है। हमारे को इसको पहले टेबल में कन्वर्ट करना है। कि हम काम टेबल से ही करेंगे।

ये अपना x ये p ऑफ़ x x की वैल्यू क्या हो सकती है? ज़ीरो हो सकती है, वन हो सकती है, टू हो सकती है। उसके बाद जब वो अदरवाइज़

बोल दे तो मतलब बस खत्म हो जाओ। रुक जाओ। आगे नहीं बढ़ना। अगर ज़ीरो है तो प्रोबेबिलिटी की वैल्यू K

दे रखी है। वन है या टू है तो दोनों में सेम दे रखी है 2K। अब बेटा इसके बाद ऐसा कुछ बचता नहीं है कि जो आप में से कोई भी

बच्चा ना कर पाए। सिर्फ वही बच्चा नहीं कर पाएगा जिसने मन में पूरा दृढ़ निश्चय करा है। इस बार दुनिया इधर से उधर हो जाए। मैं

पास नहीं होना चाहता क्योंकि मैं पास होऊंगा तो पापा मेरे को दुकान पर बिठा देंगे।

इससे अच्छा मैं पढ़ता रहूं ताकि घर से बाहर निकलता रहूं। तो k की वैल्यू आ गई है मेरे पास 1/5।

अब तुम बोलोगे कि सर ये हलवा क्वेश्चन है तो भैया मेरे से मत बोलो। इन भाई साहब से बोलो और बोल मत देना

कि कहीं इस बार बदला ले लिया तुम्हारे से। जो है जी जी यस सर यस सर यस सर यस सर वाह वाह वाह वाह वाह यस सर यस सर यस सर देखो

अब इसमें भी गड़बड़ कर रहे हो तो क्या करूं तुम्हारा मैं चलो

ले बेटा देख ये 2025 का क्वेश्चन था तो ये 2025 कंपार्टमेंट का क्वेश्चन है मतलब और रीसेंट क्वेश्चन अभी-अभी थोड़े दिनों पहले

वाला क्वेश्चन क्योंकि अगस्त सितंबर के अराउंड होते हैं कंपार्टमेंट के पेपर हम

भाई सीधा वेरियंस पूछ लिया है माय डियर माय डियर अभी तो करके आए हैं तो मेरे माय डियर्स को किसी को कोई दिक्कत तो नहीं है

ना भाई इसमें बताओ तुमसे मेहनत मेहनत ही नहीं करवाना चाहता वो। सब कुछ ही दे रखा है। तुमसे

मेहनत करवाने की इच्छा ही नहीं थी। तुमसे मेहनत करवाने की इच्छा ही नहीं है। आगे जाके हो जाएगी। अभी नहीं है।

तब भी तुम 100% नहीं ला रहे हो। हैं? एक और बढ़िया क्वेश्चन है। यह बढ़िया क्वेश्चन लगा था। 2024 ही कंपार्टमेंट

वाला है ना इसको पहले समझाऊंगा बेटा फिर पोल चालू करूंगा इसको पहले थोड़ा सा समझाऊंगा फिर पोल चालू करूंगा कह रहा है

रेंडम वेरिएबल x टेक्स द वैल्यूस -1 0 और वन ठीक है जी तीन वैल्यू बताई है उसने रेंडम वेरिएबल x

की ये x है ये p ऑफ़ x है। कौन-कौन सी वैल्यू बताई है? -1, 0 और 1 हमने बात कर ली है

बेटा रेंडम वेरिएबल पॉजिटिव नेगेटिव कुछ भी हो सकता है। इफ इट्स मीन इज़ 0.6 ठीक है जी। हमें एक्सपेक्टेशन ऑफ़ x दे रखी है 0.6

और साथ में p ऑफ़ x = 0 दे रखा है 0.2 तो यानी ये दे रखा है 0.2 मुझसे p ऑफ़ x = 1 पूछ लिए। मैं आपको इसको सब्जेक्टिव की तरह

समझाऊंगा क्योंकि ऐसा क्वेश्चन सब्जेक्टिव में भी आ सकता है। तो उसके लिए मैंने क्या करा? मैंने इसको एक्स लेट कर लिया। इसको

वलेट कर लिया। कोई प्रॉब्लम इसमें? एक को एक्स लेट कर लिया। एक को वाय लेट कर लिया। बेटा मुझे पता है मुझे पता है कि समेशन

कितना होना चाहिए हमेशा? वन। बेटा देखो पोल में आंसर तभी दो जब मैं आपसे पोल चालू करवा दूं तब। है ना? वरना फिर वो आपका

काउंट नहीं होगा। ठीक है? आप लोग करके रख लो। जैसे ही मैं पोल चालू करूं आप तब मार्क करना।

x + 0.2 + y = 1 तो x + y एक इक्वेशन आ गई 0.8 की। मैं

सब्जेक्टिव के अकॉर्डिंग आपको सॉल्व करके दिखा रहा हूं पूरा। फिर बोला गया है आपको कि एक्सपेक्टेशन।

एक्सपेक्टेशन पता है ना कि -1 * x + 0 * 0.2 + 1 * y ये दे रखा है 0.6

तो - x + y = 0.6 क्योंकि ये तो ज़ीरो हो गया। अब क्या करेंगे इसमें? एलिमिनेशन लगाएंगे और हमारे को क्या चाहिए? हमारे को

क्वेश्चन में y पूछा है। अब मैं पोल चालू कर रहा हूं। दो इक्वेशन बना देंगे और उसको सॉल्व कर देंगे। यह थोड़ा सा बढ़िया

क्वेश्चन है। दो मार्कर के लेवल का क्वेश्चन वन मार्कर में पूछा हुआ। बढ़िया क्वेश्चन है।

इसको हम गोइंग बाय ऑप्शन से भी कर सकते थे। बट वहां पर थोड़ा सा रिस्क हो जाता है।

तो चलिए जी इनको सॉल्व करें। तो x + y 0.8 -x + y 0.6 ये उड़ गया। ये आ गया 1.4 तो y

आ गया 0.7 और यही तो है राइट चॉइस। डन।

अरे वाह 100% क्या बात है। बट 27 बच्चों का ही नाम काउंट हुआ। हां। ठीक है।

अब कुछ सब्जेक्टिव क्वेश्चन देखते हैं। कह रहा है कि फाइंड द प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ अ नंबर ऑफ़ सक्सेस इन टू

टॉसेस ऑफ अ डाई। एक डाई को दो बारी फेंका गया है। वेयर अ सक्सेस इज़ डिफाइंड ऐज़ गेटिंग अ नंबर ग्रेटर दैन फोर। नंबर

ग्रेटर दैन फोर चाहिए। तो देखो लिखने के तरीके के साथ शुरुआत करेंगे। तो लेट कैपिटल x बी अ

लेट कैपिटल x बी अ रेंडम वेरिएबल बेटा जो इस बार किसके नंबर डिनोट कर रहा है व्हिच डिनोट्स

व्हिच डिनोट्स नंबर ऑफ जो किसके नंबर डिनोट कर रहा है गेटिंग नंबर ग्रेटर देन 4 क्या चाहिए गेटिंग अ नंबर

ग्रेटर देन 4 क्या चाहिए हमें? नंबर ग्रेटर देन 4 चाहिए। तो आप में से कोई मुझे बता सकता है

कि हमारे पास x की पॉसिबल वैल्यू क्या बनेगी? अरे हमारे द्विवेदी भैया आए हैं क्लास में। यार तुम्हारे Hulk ऑफ बिनेस

स्टडीज आए हैं क्लास में। एक बार स्वागत कर दो यार सारे बच्चे। और आजकल सर ने बड़ा ट्रेंडिंग चला रखा है 14 - 10 क्लास 11th

वालों के लिए। मुझे सब पता है सर। मुझे सब पता है ये 14 - 10 क्या है? ये 14th फब को क्या है और 10th फब को क्या है? बीच के

गैप में आप क्या कर रहे हो? तब खबर है हमारे को। हां बेटा 11th की के लिए प्लान के लिए

बेटा मैंने अपनी तरफ से बोला भी हुआ है। एंड जो भी बेटा टीम सजेस्ट करेगी जो भी टीम जैसे बोलेगी हम वैसे कर लेंगे बेटा।

हम बहुत बढ़िया कि सर जो पॉसिबल वैल्यू होगी x की वो होगी 5 एंड सिक्स भैया नंबर ग्रेटर दैन

फोर चाहिए नंबर क्या चाहिए ग्रेटर दैन फोर चाहिए था है ना

बेटा पीवाई क्यू मैं यहां पर लेकर ही तो आया हुआ हूं मेरे भाई राघव भाई ये क्या पीआई क्यों है मेरे भाई क्या चाहते हो

मेरे तो अब मुझे बनानी है इसकी प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन। तो पहले p ऑफ़ x = 5

प्रोबेबिलिटी दैट ग्रेटर नंबर इज़

या फिर प्रोबेबिलिटी दैट नंबर ऑन डाई इज़ फाइव। बेटा फाइव की प्रोबेबिलिटी बताओ जल्दी से। क्या बनेगी?

हां बेटा इसको बाइनॉमीयल से भी कर सकते हैं क्योंकि विद रिप्लेसमेंट है बहुत शानदार

कि जब दो टॉस फेंके गए हैं दाई के तो क्या प्रोबेबिलिटी है कि जो नंबर है वो ग्रेटर दैन फोर आ रहा है। मतलब दोनों बार क्या आ

रहा है? फाइव आ रहा है। दोनों बार क्या आ रहा है? नंबर फाइव आ रहा है। भाई दो बार डाई को फेंका है ना। क्वेश्चन

में क्या बोला है? टू टॉसेस ऑफ अ डाई कि नंबर ग्रेटर देन फोर आ रहा है। सम फोर नहीं बोला उसने नंबर ग्रेटर देन 4

बोला है अ नंबर > 4 एक नंबर हमारे पास क्या है ग्रेटर>न फोर है तो भैया प्रोबेबिलिटी दैट हमारे पास

नंबर ऑफ़ डाई इज़ फाइव कि भैया एक नंबर जो है हमारे पास ग्रेटर दैन 4 है। है ना? यानी वो फाइव है। तो कितनी प्रोबेबिलिटी

होगी? 2 / 12 की होगी मेरे भाई। 2/12 की होगी मेरे भाई। अब देखो यहां पर ना अलग-अलग केस है हमारे

पास। अगर आपको सैंपल स्पेस याद है। 1 2

1 3 1 4 1 6 फिर 2 1 2 है ना बना ही देता हूं मैं। एक

बार 2 3 2 4 क्योंकि इसको अगर मैं बायनॉमियल से नहीं कर रहा यहां पर तो मुझे इसमें इसकी जरूरत पड़ेगी। अगर बायनॉमियल

से करूंगा सेम क्वेश्चन मैं मेरे ख्याल में बाइनोमियल में ही आना चाहिए था। बट यहां पर हो सकता है टाइपिंग में आगे पीछे

हो गया हो। 41 42 43 44 45 46 क्लियर है बेटा? हां।

अब देखो यहां पर हमारे को क्या लेके चलना चाहिए? इसको ध्यान से समझो। मैं दोबारा से इसको एक्सप्लेन करता हूं। हमने क्वेश्चन

ध्यान से नहीं पढ़ा होगा। फाइंड द प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ़ नंबर सक्सेस इन टू टॉसेस ऑफ़ अ डाई वेयर अ

सक्सेस अह सक्सेस इज़ डिपेंड ऐज़ गेटिंग अ नंबर ग्रेटर दैन फोर। कि जो सक्सेस है वो नंबर ग्रेटर दैन फोर है। बेटा मैंने दो

डाई फेंकी है। तो हमारे पास क्या होगा? या तो एक डाई पर नंबर > 4 आए भाई या तो दो आपने दो डाई फेंकी है ना अब

उन दोनों में से किसी एक डाई पर हमारे पास क्या हो नंबर ग्रेटर दैन फोर आए या फिर क्या होगा कि दोनों पर हमारे पास क्या आए

नंबर ग्रेटर दैन 4 बात समझ में आई यस और नो तो यहां पर थोड़ा सा हमारे को चेंज करना पड़ेगा सबसे पहले

कि प्रोबेबिलिटी दैट ऑन वन डाई नंबर इज ग्रेटर देन 4

कि एक डाई के ऊपर जो है है ना हमारे पास नंबर क्या है वो ग्रेटर दैन फोर आ रहा है। ठीक है? एक डाई पर हमारे पास क्या होगा कि

नंबर जो है वह ग्रेटर देन फोर आ रहा है। तो एक डाई पर नंबर > 4 कौन-कौन से हो जाएंगे?

नंबर > 4 कहां गया? तो भैया इसमें कौन-कौन से केस आ जाएंगे मेरे पास? 4 5 4 6 है ना? इसमें एक बार नंबर > 4 आ रहा है। 51 52 53

इस पर दोनों ग्रेटर है। ये नहीं आएगा। इसमें तो सारे ग्रेटर हो जाएंगे हमारे पास। नहीं 61 62 63 वैसे 64 भी आ जाएगा

यहां पर। नंबर > 4 बोला है। तो एक डाई पर है ना? एक डाई पर हमारे पास क्या आ रहा है? नंबर ग्रेटर दैन फोर। तो एक पर फोर से

बड़ा होना चाहिए। एक पर फोर से या फोर से छोटा होना चाहिए। फोर या फिर फोर से छोटा। तो काउंट करो कितने केसेस बन रहे हैं? 1 2

भाई एक पर ही बड़ा होना चाहिए। 2 3 4 5 6 7 8 9 10 तो क्या मेरा आंसर 10 / 36 आ रहा है? सही यस और नो।

बायनॉमियल से भी कर लेंगे सुहानी इसको। फिर प्रोबेबिलिटी दैट ऑन बोथ डाई

नंबर इज़ ग्रेटर दन 4 कि दोनों डाई पर नंबर जो है वो ग्रेटर दैन फोर है। उसको काउंट करो।

दोनों पे नंबर ग्रेटर दैन फोर है। तो एक कलर्स याद रखना बेटा अलग-अलग। 1 2 3 4 तो चार केसेस ऐसे हैं जिस पर दोनों पर हमारे

पास क्या है? नंबर ग्रेटर देन 4 है। तो ये आ जाएगा 4 / 36 और इसमें क्या बनेगा कि प्रोबेबिलिटी दैट ऑन बोथ डाई

नंबर इज़ नॉट ग्रेटर देन फोर। क्योंकि हमारे को जब जैसे हमने बोला कि प्रोबेबिलिटी जिसको नहीं समझ में आया वो

ध्यान से समझ लिए। है ना? बड़े ध्यान से समझ लीजिए। हां सर हमने केस मिस कर दिए क्या? अच्छा यार ये वाले केस तो हमने पिंक

वाले में मिस ही कर दिए भाई। 1 2 3 4 5 6 छह केस ये भी तो मिस कर दिए। तो ये 16 / 36 होना चाहिए। हां। नाउ इट्स

करेक्ट। अब जो बाकी बच गए जिसमें दोनों पे नंबर > 4 नहीं है वो काउंट कर लो। 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

चेक करो कि क्या सबका सम वन आ रहा है? यस और नो। क्या सबका सम हमारे पास वन आ रहा है या

नहीं? तो ये क्या रिप्रेजेंट कर रहा है मुझको? ये रिप्रेजेंट कर रहा है कि एक डाई वाला यानी p ऑफ़ x = 1 ये दोनों डाई वाला p

ऑफ़ x = 2 तो यहां पर ये 0 1 2 आना था। कि हमारे को सक्सेस जो मिलेगी वो 5 और फोर पर मिलेगी।

सक्सेस जो मिलेगी वह फाइव और फोर पर मिलेगी। बट प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन में हमें सारी पॉसिबिलिटीज का बताना है कि

दोनों डाई पर क्या-क्या आ सकता है। तो अब इसको उठा के एक टेबल में लिख देंगे। e हो गया x, e हो गया p ऑफ़x. यह हो जाएगा

हमारे पास ज़ीरो के लिए कितना था? 16 / 36 एक के लिए भी 16 / 36 और दो के लिए 4/36

डन है बेटा चलो हम नहीं बेटा टीम राइडर रुद्रा भाई तू बार-बार यही लिख रहा है दोबारा चेक कर

बेटा हम तो क्वेश्चन भी कर लिए चलो ये 2023 कंपार्टमेंट का क्वेश्चन देखिए पहले ध्यान से

यह 2023 कंपार्टमेंट का क्वेश्चन देखिए आपको एक फंक्शन दे रखा है आपको इसका मतलब पता है जल्दी से मुझे फर्स्ट पार्ट का

आंसर दे दो कमेंट में टाइप कर दो व्हाट इज द आंसर फॉर फर्स्ट पार्ट पेपर में भी बेटा इस तरह से

क्या करेंगे पेपर में भी इस तरह से क्या करेंगे है ना हम

कान्हा कह रहे हैं कि सर जब एक बेटा नंबर आपके देखो जैसे मैंने बोला कि प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ़ गेटिंग

हेड्स अब जब मुझे बोल दिया गेटिंग हेड हेड्स तो इसका मतलब कि मैं सारी पॉसिबिलिटी देखूंगा हेड आने की।

मैं सारी पॉसिबिलिटी देखूंगा हेड आने की। अब हमारे पास बोला गया है कि नंबर > 4 तो मैं सारी पॉसिबिलिटी देखूंगा कि नंबर > 4

कब-कब आ सकता है। या तो एक बार आएगा या तो दोनों बार आएगा या एक भी बार नहीं आएगा। बात समझ में आई कहान आपको?

हां। इस पर अभी अच्छा 0 मैं शायद बोला जीरो है लिख थ्री दिया होता

रहता है यार ऐसे इसकी टेंशन ना लिया करो 0 1 2 और थ्री पे रुक जाएंगे ज़ीरो के लिए 0.2

है। वन और टू के लिए k xi है। मतलब अगर xi 1 है तो प्रोबेबिलिटी हो जाएगी k * 1 अगर xi 2 है तो प्रोबेबिलिटी क्या हो जाएगी k

* 2 और xi 3 है तो प्रोबेबिलिटी हो जाएगी k * में 5 - 3 ये बात समझ में आई सबको बेटा

है ना बात समझ में आई? ये 0.2 ये k ये 2k और ये भी 2k हमारे को पता है कि सभी का सम हमेशा कितना आता है वन तो

0.2 प्लस में इसको मैं डायरेक्टली लिख रहा हूं। ये 5k इक्वल आ गया 1 तो 5k आ गया 0.8 इसको उधर भेजा तो ये 0.8

आ गया। तो यानी कि प्रोबेबिलिटी कितनी आ गई? 0.8 / 5 8 / 50

2 * 4 = 225 तो K की वैल्यू 4 / 25 आ रही है क्या? चेक करो। 8/50 बोल लो या 4/25 बोल लो। बात समझ में आई सबको? यस और नो।

हां। अब इसमें सेकंड पार्ट में हमसे पूछा है प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x = 2। तो यार x = 2

किसके बराबर है? 2k के। तो यानी कि 2 * में 4/ 25 आंसर आ गया 8/ 25

बोल भाई क्या क्वेश्चन है सर एक क्वेश्चन है फिर प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x > = 2 तो इसमें दो

आ जाएंगे एक तो p ऑफ़ x = 2 और एक आ जाएगा p ऑफ x = 3 तो ये आ गया 2k + में 2k बेटा जिस-जिस का आंसर मैच करते जाए वो

बताता जाए। तो ये आ गया 16 / 25 ठीक है? फिर एक आ जाएगा प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x < = 2

तो इसमें कौन-कौन आएगा? टू वाला आएगा और टू से कम वाले आ जाएंगे। और कम वाले कहां तक जाएंगे बेटा?

0 तक जाएंगे सबको कर दो तो ये आ जाएगा 2k + k + 0.2 तो 3k + 0.2 तो 3k मतलब कि 12 / 25

और ये 2/10 यानी कि 1/5 एलसीएम आ गया 25 तो क्या अपना आंसर 17/25 आ रहा है। बेटा लास्ट पार्ट का आंसर बताओ। 17/25 आ

रहा है क्या? 3k बन गया। तो 3K का मतलब क्या हो गया हमारे पास भाई? ये 2k +k 3k और साथ में

0.2 भी है। लास्ट वाले का आंसर 17/ 25 आ रहा है। यस और नो?

बहुत शानदार। तो यार इस तरह से क्वेश्चन आया। देखो ये क्वेश्चन आया 2023 की कंपार्टमेंट में।

और ये क्वेश्चन आया 2025 में। ये क्वेश्चन आया 2025 में। सेम वैसे ही फंक्शन दे रखा है आपको। सेम वैसे ही

फंक्शन दे रखा है। इसमें सबसे पहले आप मुझे k की वैल्यू बता दो ताकि हमारी ना कमांड आ जाए इस तरह के क्वेश्चन पर कि अगर

इस तरह के क्वेश्चन आ रहे हैं तो हमें क्या करना है? x p ऑफ़ x जल्दी से k की वैल्यू बता दो।

अगर x ज़ीरो है तो प्रोबेबिलिटी कितनी हो जाएगी हमारे पास? k / 6 * 0 यानी कि ज़ीरो। है मैं नीचे

लिखते जा रहा हूं जो आएगा। फिर अगर x1 है तो प्रोबेबिलिटी हो जाएगी k / 6 * 1 यानी k / 6 फिर अगर x2 है तो प्रोबेबिलिटी

कितनी हो जाएगी? k / 6 * 2 यानी कि 2k / 6 एलसीएम रखने के लिए आप कैंसिल आउट मत करा करो।

एलसीएम रखने के लिए आप कैंसिल आउट मत करा करो। ठीक है? अगर थ्री आएगी तो प्रोबेबिलिटी 1 - में k

/ 6 * x अब देखो यहां पर आपके पास ये 1 - k आ रहा है तो उससे घबराना नहीं है तो x कितना है अपने पास थ्री तो ये क्या

बन जाएगा मेरे पास 1 - k / 6 * में 3 और लास्ट अगर फोर है तो k / 2 * x यानी कि k / 2 * में 4 तो यानी

कि ये तो मेरे पास 2k ही बच गए क्योंकि इसमें डिनोमिनेटर चेंज हो गया। इसमें डिनोमिनेटर चेंज हो गया।

ठीक है? अब मुझे बस k की वैल्यू बता दो। बाकी मैं आपको होमवर्क दूंगा। है ना? मैं आपको बाकी होमवर्क दूंगा। तो k / 6 + 2k /

6 ये कितना आ जाएगा? थ्राइस ऑफ 1 - k/ 6 और लास्ट में बचा है वो 2k ये = 1 होगा। k की वैल्यू कितनी आ

रही है? 3/4 सिस्टम गेमर। सो k + 2k + 3 - में 3k और ये 12k इक्वल टू 1 आ गया।

2 और एक 3k और ये - 3k कैंसिल आउट हो गया। ये बचा 12k + 3 = 6 12k आ गया 3 k आ गया 3 /1 क्या

मेरे पास k की वैल्यू 1/4 आ रही है से यस और नो क्या k की वैल्यू 1/4 आ रही है हम

बहुत बढ़िया अब देखो इसमें ना आगे ये केस स्टडी आई थी हमारे पास फर्स्ट पार्ट में तो था कि डिटरमाइन द वैल्यू ऑफ़ K. यह तो

हमारे पास हो चुका है 1/4। व्हाट इज़ द प्रोबेबिलिटी दैट महेश विल गेट एडमिशन इन द कॉलेज गिवन दैट ही अप्लाइड

एटलीस्ट थ्री वीक्स अहेड ऑफ एप्लीकेशन डेडलाइन। तो क्वेश्चन में हमारे को ये दे ही क्या रखा है? अकॉर्डिंग टू एन एजुकेशनल

बोर्ड सर्वे इट वाज़ ऑब्ज़र्व दैट क्लास 12 स्टूडेंट्स अप्लाई एटलीस्ट वन टू फोर वीक अहेड ऑफ़ कॉलेज एप्लीकेशन। तो यानी ये जो 0

1 और 2 3 4 दे रखा है ये एटलीस्ट नंबर ऑफ़ वीक्स बता रखे हैं कि जिससे में उन्होंने उससे पहले क्या करा है? अप्लाई करा है।

महेश बाबू की जो एप्लीकेशन है वो एटलीस्ट थ्री वीक्स। तो इसमें मुझे फाइंड आउट क्या करना है? आंसर क्या आएगा? वो आप घर पे

करेंगे। बट मुझे फाइंड आउट क्या करना है? p ऑफ़ x = 3 निकालना है। x < 3 निकालना है। लेस < = 3 निकालना है। > 3 निकालना है।

क्या निकालना है मुझे? फाइंड आउट क्या करना है? मेन बात ये है हम

फाइंड आउट क्या करना है एट लीस्ट थ्री वीक्स हम यहां पर क्या है क्वेश्चन में देखो अप्लाई

एटलीस्ट वन टू फोर वीक्स अहेड ऑफ कॉलेज एप्लीकेशन डेडलाइंस अब मुझे यह बताओ कि x = 3 निकालना है या >

= 3 कि एटलीस्ट 3 वीक्स पहले निकालना है या फिर उसी तरह से कैलकुलेट द मैथमेटिकल

एक्सपेक्टेशन मतलब कि मुझे e ऑफ़ x निकालना है। ठीक है?

टू प्रमोट अर्ली एडमिशन द कॉलेज इज इसके ऑप्शन में या तो आप यह करते या तो आप यह करते टू प्रमोट अर्ली एडमिशन द कॉलेज इज़

ऑफरिंग स्कॉलरशिप्स टू द स्टूडेंट्स फॉर अप्लाइंग अहेड ऑफ़ डेडलाइन एज़ फॉलोज़ 50,000 मिलते हैं अगर आप चार हफ्ते पहले निकालते

हो 20,000 अगर आप तीन हफ्ते पहले निकालते हो ये सब सारे दे रखे हैं। तो एक्सपेक्टेड स्कॉलरशिप

तो एक्सपेक्टेड स्कॉलरशिप आपको बतानी है कितनी होगी। बिल्कुल ठीक है ना कि एटलीस्ट थ्री वीक्स

बोला है तो या तो 3 हफ्ते पहले या तीन से चार हफ्ते पहले हां तीन से या तो तीन हफ्ते के पहले करेगा या चार हफ्ते से पहले

करेगा एटलीस्ट बोला है अब इधर देखो ध्यान से वो वाला पार्ट तो ठीक है मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन ऑफ़ नंबर ऑफ़ वीक्स है ये नंबर

ऑफ़ वीक्स की मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन है तो यानी कि x में मेरा तो वही रहेगा 0 1 2 3 4 और यहां पर उसकी जो प्रोबेबिलिटी हमने

निकाली हुई है k की वैल्यू वैल्यू से बहुत बढ़िया बेटा इस वाले पार्ट में जो मुझे एक्सपेक्टेड स्कॉलरशिप निकालनी है तो अब

मुझे एक्सपेक्टेड स्कॉलरशिप निकालनी है तो प्रोबेबिलिटी तो वही रहेगी बट कोई मुझे बताएगा कि x की वैल्यू कितनी होगी

यहां पर खतरनाक है ये वाला पार्ट ये वाला पार्ट खतरनाक है भाई कि यहां पर जो मेरा प्रोबेबिलिटी

डिस्ट्रीब्यूशन टेबल बनेगा जिसकी मुझे एक्सपेक्टेशन निकालनी है मीन निकालना है उसमें p ऑफ़ x तो देखो देखो यही रहेगा। P

ऑफ़ X में तो कोई चेंज नहीं आएगा। p ऑफ़ X में तो कोई चेंज नहीं आएगा। यहां पर क्या होगा? p ऑफ़X क्या है? 0 k /

6 है। फिर क्या है? 2k / 6 1 - K इंटू में 3 / 6 और ये 2k बट ऊपर अब x क्या हो जाएगा?

वैद ही कह रही है अकॉर्डिंग टू क्वेश्चन। अब देखो सुहानी ने बोला सर 500 2000 12000 9600

आधा सही है आधा गलत है आधा सही है बेटा 1 2 3 4 तो तुम्हारे पास नहीं रहेगा ना बेटा इसमें रहेगा 1 2 3 4

तो इसमें क्या रहेगा बेटा यहां पर आपको एक्सपेक्टेड वैल्यू निकालनी है सैलरी की

और स्कॉलरशिप की एक्सपेक्टेड वैल्यू किसकी निकालनी है स्कॉलरशिप की और स्कॉलरशिप का अमाउंट यह है। अमाउंट यह है। अमाउंट ही

है। तो यार हमारे पास रैंडम वेरिएबल की वैल्यू चेंज नहीं हो जाएगी। अब बस ध्यान क्या रखना है? ध्यान क्या रखना है? यह 500

है फोर वीक्स वाले की। तो यहां पर 500 आएगा। ये 20,000 है थ्री वीक्स पहले की। तो यहां

पर 20,000 आएगा। यह टू वीक्स की 12,000 है। तो यहां पर 120,000 आएगा। यहां पर 9600 आएगा और यहां पर कुछ नहीं आएगा।

आई बात समझ में सबको? बस यह ध्यान रखना था कि यह चार हफ्तों के लिए आप 50, 20, 12, 96 ऐसे नहीं लिखोगे।

आपको उल्टा लिखना था और ज़ीरो वाला तो खाली है। बस इस चीज का ध्यान रखना था। ठीक है भाई?

यह एक सैंपल पेपर का क्वेश्चन है। कह रहा है अ प्लेयर है ना ये सीबीएसई सैंपल पेपर का क्वेश्चन है।

सैंपल क्वेश्चन पेपर मेरे ख्याल में ये 2026 का ही है। है ना? ये सैंपल क्वेश्चन पेपर बेटा 2026 का ही है। कह रहा है कि अ

प्लेयर रोल्स वन फेयर डाई। इफ द डाई शोज़ एन ऑड नंबर द प्लेयर विंस द वैल्यू दैट अपीयरर्स ऑन द डाई। एल्स लूज हाफ द वैल्यू

दैट अपीयरर्स ऑन इट। तो यानी बेटा अपने को क्या बनाना है? टेबल। बेटा डाई की बात हो रही है। डाई पर अपनी

वैल्यूज़ क्या हो सकती हैं? 1 2 3 4 5 और सिक्स। बट यहां पर प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन मुझे क्या नहीं है?

पैसों की नहीं है। अपना सॉरी नंबर्स की नहीं है। किसकी है? पैसों की है। एक्सपेक्टेड गेन पूछा है

क्वेश्चन में। तो पहले अमाउंट डिसाइड करते हैं। अगर डाई पर वन आएगा तो अमाउंट कितना बनेगा?

डाई पर अगर वन आया तो अमाउंट कितना बनेगा? कह रहा है कि अगर ओड नंबर आया तो जितनी वैल्यू उतने वो जीत गया। ढाई पर एक आया तो

₹1 जीत गया। बट जैसे ही ढाई पर दो आया यानी कि इवन नवर आया तो लूज दिस हाफ द वैल्यू। आधी वैल्यू हार जाता है। तो यानी

दो आया तो आधी वैल्यू हार गया। यानी पैसा नेगेटिव चला गया। फिर तीन आया तो ₹3 जीत गया। बट चार आ गया। इवन नंबर आ गया तो आधी

वैल्यू हार गया। पांच आया तो ₹5 जीत गया। बट छ आते ही ₹3 हार गया। यह बात समझ में आई सबको? बोलो यस और नो बेटा। यह वाली बात

समझ में आई बेटा? बोलो यस और नो। अब मैं इसके बेसिस पर बनाऊंगा कि अमाउंट वन कि डाई पर वन आना। प्रोबेबिलिटी 1 / 6

अमाउंट -1 मतलब डाई पर टू आना। प्रोबेबिलिटी 1 / 6 अमाउंट थ्री। यहां पर अब x क्या है मेरा? x इज़ माय अमाउंट।

तो उसकी प्रोबेबिलिटी 1/6 x क्या है? -2 तो प्रोबेबिलिटी 1/6 अमाउंट फाइव डाई पर फाइव आना। अमाउंट -3

डाई पर सिक्स आना। प्रोबेबिलिटी तो सबकी 1/6 ही रहेगी मेरे भाई। अब निकाल दो उसका एक्सपेक्टेड गेन। छोटा

सा पोल चालू कर रहा हूं बेटा। अब जल्दी से इसका एक्सपेक्टेड गेन बता दो कितना आएगा? इसका एक्सपेक्टेड गेन बता दो

तो समेशन x * px हो गया। 1 * में 1/6 - 1 * 1 / 6 3 * 1 / 6 - 2 * 1 / 6 5 * 1 / 6 - 3 * 1 / 6 तो एलसीएम तो आ गया

सबका सिक्स। ये 1 -1 +3 -2 +5 -3 पहले पॉजिटिव वाले कर लें। 3 और 1 4 4 और 5 9 अब माइनस वाले कर लेते हैं। -1 -2 -3 ये

-6 / 3 तो 3 / 3 क्या अपना आंसर वन आ रहा है? क्या अपना आंसर वन वन आ रहा है? कितना आ

रहा है? भाई मेरा आंसर तो वन आ रहा है। तुम सबका सी क्यों आ रहा है?

1 * 1/6 -1 * 1 / 6 + 3/6 - 2 / 6 + 5 / 6 और - 3/6 1 और 3 4 और 5 9

अच्छा यार मैंने यहां पे तीन क्यों लिख दिया? हे भग अभी गड़बड़ हो जाती।

तुम सही हो भाई। मैंने एलसीएम सिक्स लिख के यहां थ्री लिख दिया। मैं कहूं ये क्या हो रहा है?

बढ़िया भाई। बहुत बढ़िया। है ना? बढ़िया। बढ़िया बढ़िया बढ़िया। चलो।

अब एक क्वेश्चन और केस स्टडी की फॉर्म में है। ये मैं आपको होमवर्क दूंगा। इतना बड़ी कहानी बनाई गई इस चीज की एन

ऑक्टागन प्रिज्म प्रिज्म करके यह बड़ी सी कहानी बनाई गई। करना क्या था?

इनको ऐड करना है और काम खत्म करना है। तो वैल्यू ऑफ़ P आ जाएगी। फाइंड द मीन आ जाएगा। तो, यह आज का आपका होमवर्क

क्वेश्चन वन हो गया। सिंपल है। इसमें ज्यादा कुछ करना नहीं, प्रैक्टिस करनी है। यह थोड़ा सा अलग क्वेश्चन लगा मुझे। चलो

इसको ट्राई करते हैं। हालांकि हम लोग इस तरह का भी करे हुए हैं। अभी-अभी करा है हमने कि हमारे पास एक प्रोबेबिलिटी

डिस्ट्रीब्यूशन टेबल दे रखा है। हमारे को एक प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन टेबल दे रखा है। ये x है। ये p ऑफ़ x है। x

की वैल्यू 1 2 3 4 है। 1 2 3 4 अगर वन है x की वैल्यू तो प्रोबेबिलिटी कितनी है? a * 1 यानी कि a टू है वैल्यू तो a * 2 यानी

कि 2a थ्री है तो a * 3 यानी कि 3a और अगर x की वैल्यू फोर है तो b है। तो बेटा प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन टेबल ठीक है?

प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन टेबल ठीक है ना? हां बिल्कुल सौम्या ये जो ऐसे क्रॉप वाले हैं ना वो सैंपल क्वेश्चन पेपर हैं।

भाई कुछ 25 के हैं, कुछ 26 के हैं। बाकी बोर्ड वाले तो मैंने लिखे ही हुए हैं। कौन से ईयर के हैं?

कह रहा है a और b निकालने गिवन है कि जो मीन है वह 2.8 है। बिल्कुल सेम क्वेश्चन हमने करा। वो एमसीक्यू में था। यह

डायरेक्ट पूछा हुआ है। याद करो। अभी करा था ना एक x और y वाला एमसीक्यू किया था। सेम वही है। नहीं अनुष्का बेटा वो तो 11th

में थी। तो a + 2a + 3a + b = 1 आएगा। 3 और 3 6a + b = 1 इक्वेशन ये बन गई।

एक इक्वेशन ये बन गई हमारे पास। दूसरी मीन है हमारे पास 2.8 तो चलो जी मीन निकाल

लेते हैं। दिस इंटू दिस a दिस इंटू दिस 4a दिस इंटू दिस 9a दिस इंटू दिस 4b यह आ गया 2.8 के बराबर

ठीक है? तो 4 और एक 5 और 9 14a + 4b = 2.8 इसको इंटू में 4 कर दो तो 24a + 4b = 4

एलिमिनेशन लगा दो जल्दी से मुझे। a और b की वैल्यू बताओ आप लोग। ये -10a आ गया। ये -1.6 आ गया। क्या a की वैल्यू 0.16 आ

रही है बेटा एक बार कैलकुलेशन क्रॉस चेक करो। आई एम टेकिंग योर टेस्ट। ओ सॉरी 1.2 होगा ना? सिक्स क्यों होगा?

1.2 0.12 आ रहा है। बहुत बढ़िया। अब इसको उठा के किसी भी इक्वेशन में यहां पर फेंक दो।

तो 6 * 0.12 + b = 1 12 * 6 = 72 तो 0.72 आ गया। तो क्या ये 0.28 आ रहा है?

क्या B हमारे पास 0.28 आ रहा है? जल्दी से बताओ। हां

बेटा वो सैंपल पेपर में कई बार वो गड़बड़ करते हैं। बट जो टॉपिक 11th के हैं उसका अपन कुछ नहीं कर सकते। जैसे जो

डिलीटेड टॉपिक है वो तो पिछले पहले वो सैंपल पेपर में भी दे देते थे। बट वो बोर्ड में नहीं आते। तो उसकी टेंशन मत लो।

जो अपना सिलेबस है हम उसी के अकॉर्डिंग चल रहे हैं बेटा। अब इसमें प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन का

एक क्वेश्चन रह गया है। बहुत तगड़ा क्वेश्चन है। यह भी सीबीएसई 2025 का क्वेश्चन है। और ये सेम क्वेश्चन मैंने

एग्जाम से एक दिन पहले जो मैराथन ली थी उसमें करवाया था। कह रहा है कि दो नंबर सेलेक्ट करे गए हैं एट रेंडम विदाउट

रिप्लेसमेंट फ्रॉम फर्स्ट सिक्स पॉजिटिव इंटीजर। भाई फर्स्ट सिक्स पॉजिटिव इंटीजर का मतलब 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 में से कोई आपने दो नंबर सेलेक्ट करें बट विदाउट रिप्लेसमेंट। तो इस क्वेश्चन को करने के ना दो तरीके होते

हैं। इस क्वेश्चन को करने के दो तरीके होते हैं। एक सैंपल स्पेस बना के और दूसरा कॉम्बिनेशन यूज़ करके क्योंकि विदाउट

रिप्लेसमेंट है। मैं आपको दोनों तरीके बताऊंगा। ठीक है? मैं आपको दोनों तरीके बताऊंगा। सबसे पहले मैं सैंपल स्पेस बना

रहा हूं। बेटा विदाउट रिप्लेसमेंट है तो वन वन नहीं आएगा। डाई में 1 2 आ जाएगा। 1 3 1 4

1 5 और 1 6 फिर 2 1 2 नहीं आएगा। 2 3 2 4 2 5 2 6 फिर ऐसे ही 3 1 3 2 3 नहीं आएगा। 3 4 35 ये आसान तरीका है। बट अगर

इसमें नंबर्स बढ़ जाएंगे या दो की जगह पर तीन आपके पास चूज़ करे जाएंगे तो वहां पर ये वाला काम मुश्किल हो जाएगा। इसलिए आपको

कॉम्बिनेशन वाला भी ध्यान रखना है। जिसको जो याद रह जाए बेटा वो कर लेना। बस एग्जाम में क्वेश्चन छोड़ना नहीं है आपने।

यह बेटा 5 1 5 2 5 3 5 4 और 5 6 है ना मतलब कि डबलेट्स नहीं आ

रहे अगर मैं मोटा-मोटा इसको क्रक्स में बोलूं कि जो हमारे पास डाई के अंदर डबलेट्स होते हैं वो नहीं आएंगे क्योंकि

भैया वही छह नंबर्स हैं वन से लेकर सिक्स तक उन्हीं में दो-दो के आपकी कॉम्बिनेशन बनाई गई है।

x क्या डिनोट कर रहा है मेरे पास? x डिनोट कर रहा है स्मॉलर ऑफ़ टू नंबर्स ऑब्टेंड। स्मॉलर ऑफ़

टू नंबर्स ऑब्टेंड। कि जो नंबर ऑब्टेन करे हैं मतलब जो पेयर बनाए हैं आपने उसमें से स्मॉलर नंबर क्या होगा? तो मुझे सबसे पहले

बताओ बेटा कि पॉसिबल वैल्यूज़ ऑफ़ x क्या-क्या आएंगी? फिर मैं इनकी प्रोबेबिलिटी निकालना शुरू

करूंगा। पहले मुझे यह पता होना चाहिए कि x की पॉसिबल वैल्यू्यूज क्या-क्या हो सकती हैं। अब तुम अगर इधर देखोगे ध्यान से बेटा

यहां पर रुद्रा सैंपल स्पेस क्यों नहीं समझ में आया मेरे भाई? अगर मेरे पास एक से लेकर छह

तक नंबर्स हैं। मुझे कोई दो नंबर चूज़ करने हैं बट विदाउट रिप्लेसमेंट। मतलब सेम नंबर मैं दो बार नहीं चूज़ कर सकता। तो पहले या

तो वन चूज़ करूंगा फिर अगला टू या पहले वन दूसरा थ्री। पहले वन फिर चार। मतलब डाई की तरह ही हो गया। बस सेम सेम नहीं आ सकते

क्योंकि विदाउट रिप्लेसमेंट है। बात खत्म बेटा। ऑब्वियस सी बात है बेटा देखो स्मॉलर नंबर

बोले तो छोटा नंबर वन हो सकता है, टू हो सकता है, थ्री हो सकता है, फोर हो सकता है, फाइव हो सकता है। क्या कभी सिक्स छोटा

नंबर हो सकता है पेयर में? नहीं सर, सिक्स इज़ द बिगेस्ट नंबर। यही क्वेश्चन अगर मेरे पास क्या होता?

लार्जर ऑफ़ टू नंबर्स ऑब्टेंड, तो मेरा सैंपल स्पेस क्या बनता? 2 3 4 5 6 तब वन नहीं आ सकता था क्योंकि किसी भी पेयर में

वन कभी भी लार्जेस्ट नंबर नहीं हो सकता। आपके पास पेयर में दो नंबर्स हैं। उसी को ही क्या करना है? कंपेयर करना है।

अब बनाते हैं प्रोबेबिलिटी। मैं तो सीधा टेबल बना रहा हूं बेटा। आप प्रोबेबिलिटी उसमें अलग से भी निकाल के दिखा सकते हैं।

मैं सीधा यहां पर टेबल बना रहा हूं कि हमने सैंपल स्पेस बना दिया। तो स्मॉलर नंबर वन कब कब आया है? 1 2 मैं

ना इसको ऐसे काउंट कर देता हूं। 1 2 3 4 5 पांच केसेस में हमारे पास स्मॉलर नंबर है वन। फिर छ 7 8 9 10 तो बेटा 10 हमारे पास

आउटकम्स ऐसे हैं जिसमें वन जो है वो स्मॉलर नंबर है। और रुद्र यार बता तो दे एक ही कमेंट कितनी-कितनी बार करेगा। कमेंट

करने पे ज्यादा फोकस दे रहे तभी तो नहीं समझ में आ रही ईजी चीज तेरे को। एक बार बता देता बेटा कब पढ़ा जाता है

बेटा और टोटल आउटकम्स कितने हैं? 30 क्योंकि वैसे 36 होते हैं। 1 2 33 4 5 66 नहीं आ

सकते क्योंकि विदाउट रिप्लेसमेंट है। जो नंबर एक बार आ गया है उसको आप नहीं चूज़ कर सकते। भैया सपोज़ करो वो बचपन में खेलते थे

ना राजा मंत्री चोर सिपाही पर्ची डाल के तो जो पर्ची आ गई बेटा वो दोबारा तो नहीं आ सकती। सेम वही वाली बात है। जो नंबर आ

गया वह दोबारा नहीं आ सकता। इसलिए डबलेट नहीं बनी। फिर बेटा टू छोटा नंबर कब आएगा? अब 2 1

में आएगा। 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 तो नौ केसेस में आ रहा है हमारे पास। तो ये 9 / ये 9 / 30 हो गया। यस और नो बोलो बेटा। ये

9/30 हो गया। यहां तक चल रहा है सही-सही। जल्दी-जल्दी बताओ। फिर कि थ्री हमारे पास छोटा नंबर है। थ्री

छोटा नंबर कब कब होगा? हमारे पास कौन-कौन से केसेस में सर? 1 2 3 4 5 फिर 6 7 8 आठ केसेस में होगा छोटा नंबर हमारे पास। तो

ये 8 / 36 सॉरी 8 / 30 8 / 30 फिर चार हमारे पास छोटा नंबर कब होगा? एक सॉरी

चार हमारे पास छोटा नंबर स्मॉलर नंबर कब होगा? इस पर आ जाओ। अह कहां गया? हम मैंने कुछ गड़बड़ करी है ना? एक मिनट रुको

बेटा। मैंने काउंटिंग गड़बड़ करी है। रुको रुको रुको। मुझे अभी-अभी रियलाइज़ हुआ। मुझे अभी-अभी रियलाइज़ हुआ कि मैंने

काउंटिंग गलत कर दी। कि भैया वन के लिए तो 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 इसके लिए तो ठीक है। टू कब होगा हमारे

पास? दो लार्जर अपना स्मालर नंबर तो 1 2 3 4 5 6 7 8 हां अब ठीक आ रहा है। ये 8 / 30 और ये हमारे पास कब होगा?

तीन तो यह नहीं आएगा। यह नहीं आएगा। इसमें से कोई नहीं आएगा। इसमें भी यहां से आएगा। 1 2 3 4 5 6

तो ये आएगा 6 / 30 फिर चार आ जाएगा। चार लार्जर नंबर कब होगा? ये सब नहीं आएंगे। 1 2 3 4

ये 4 / 30 फिर पांच कब होगा? तो पांच लार्जर नंबर होगा एक स्मॉलर नंबर एक और दो

तो ये 2/ 30 और इसी में ही छह हमारे पास स्मॉलर नंबर वो तो सर कभी हो ही नहीं सकता। तो आप लिखना चाहो तो ज़ीरो लिख सकते

हो। है ना? लिखना चाहो तो ज़ीरो कर सकते हो। हां। अगर देखो बेटा अगर आप कॉम्बिनेशन नहीं कर रहे हो सिस्टम गेमर तो आपके पास

सैंपल स्पेस दिखाना जरूरी है। ठीक है? अब इसकी मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन निकालनी है। e ऑफ़ X बता दो। तो 1 * में 10/ मैं

डायरेक्टली कर रहा हूं बेटा। आपको फार्मूला पता है। तो ये 10 / 30 8 * 2 = 16 / 30 6 * 3 = 18 / 30 4 * 4 = 16 / 30

और 5 * 2 = 10 / 30 एलसीएम आ गया बेटा 30 10 और 16 इसको टोटल करके बताओ कितना आ रहा है? एक बार 10 और 10 कितना हो गया हमारे

पास? 20 20 और 18 38 38 और 32 3 2 70 / 10 30 7 / 3 आ रहा है क्या? एक बार कैलकुलेशन क्रॉस चेक करो। 7/3 आ रहा है क्या?

हम् कृष्णा कह रहे हैं सर 2 / 30 होगी चार की प्रोबेबिलिटी। बेटा देख चार छोटा कब है? 1 2 3 4 चार केसेस ऐसे हैं जिसमें चार

जो है वह छोटा नंबर है। तो बेटा 4 / 30 होगी ना? 2 / 30 नहीं होगी। अब इसी को देखो

और करके लिख रहा हूं कि वीर फ्रॉम कॉम्बिनेशन। फ्रॉम कॉम्बिनेशन। ध्यान से समझना इस चीज

को। तो इसमें हम सीधा लिखेंगे कि px = 1 कि प्रोबेबिलिटी दैट

आउट ऑफ टू नंबर्स वन इज़ स्मॉलर। कि जो वन है, है ना? वो जो दो नंबर हमने चूज़ करे हैं, उसमें वन छोटा

नंबर है। बड़े ध्यान से समझना। बेटा ध्यान से समझना कि मैंने दो नंबर्स चूज़ करें। अब मुझे पता है कि उसमें एक स्मॉलर नंबर

वन है। तो बेटा इसका मतलब ये तो समझ में आ गया कि एक नंबर तो वन होगा दो में से। तभी उसको

हम बोल रहे हैं कि वन स्मॉलर है। और यानी कि जो दूसरा नंबर है वो 2 3 4 5 6 इनमें से कुछ भी हो सकता है। बोलो यस और नो। भाई

अगर मैंने बोला है कि जो दो नंबर मैंने चूज करे हैं उसमें से स्मॉलर नंबर वन है तो मतलब वन तो आएगा ही आएगा। अब जो दूसरा

नंबर है पेयर में वो इनमें से कुछ भी हो सकता है। तो इसके लिए मेरे पास कितने तरीके हो गए अरेंज करने के? 1C1 कि भैया

एक ही ऑप्शन है कि वन आए और वही चूज़ करना है। इसमें से किसी एक को चूज़ करना है। तो इसके लिए कितने ऑप्शन हो गए? 5C1

ओवरऑल क्या हुआ? छह में से कोई दो नंबर चूज़ करेगा। यस बोल यस और नो? अरे जल्दी बता बेटा यस और नो

ये आ जाएगा 1 * 5 6 - 2 4 * 2 तो ये ऊपर आ गया 5 * 2 और ये आ जाएगा 6 * में 5 तो ये आ गया 10 / 30 देख

बेटा यही प्रोबेबिलिटी आई थी 10 / 30 यह देख बेटा 10 / 30 आई थी बिलकुल आई थी अब आ जाओ उसी तरह से p ऑफx = टू कि

प्रोबेबिलिटी दैट आउट ऑफ टू नंबर टू इज़ स्मॉलर। अब बेटा हमने बोला कि टू इज़ स्मॉलर। तो

मतलब टू तो आएगा ही आएगा भाई। टू तो आएगा ही आएगा ना। अब जो दूसरा नंबर है वो क्या हो सकता है? अगर दो को सबसे छोटा नंबर

होना है। तो बाकी ये क्या हो सकते हैं सर? ये 3 4 5 6 मतलब ऑब्वियस सी बात है इससे बड़े वाले आ जाएंगे। तो यहां पर क्या

प्रोबेबिलिटी हुई? टू चूज़ करने का एक ही तरीका है। बट 3 4 5 6 में से चार में से कोई एक चूज़ करना है। ओवरऑल क्या हुआ है?

6C2 है। ये बनेगा 1 * 4 सेम बेटा ये क्या बनेगा? 6 * 5 / 2 है ना? कैंसिल आउट हो के ये बचेगा। दो ऊपर जाएगा तो ये 8 / 30 आ

गया। देख वही आया ना? वही आया ना? अब ऐसे में ही अगर x = 3 बोल रहा है तो

मतलब जो दो नंबर मैंने चूज करें हैं उसमें से कंपलसरी एक नंबर थ्री होना ही पड़ेगा। भाई एक नंबर को तो थ्री होना ही पड़ेगा

ना। हैदर भाई ध्यान से सुन। अगर मैंने बोला कि भैया जो दो नंबर मैंने चूज़ करे हैं उसमें से थ्री छोटा नंबर है। ये तो

आएगा ही आएगा ना। तो इसको चूज़ करने का एक ही तरीका कि तीन में से तीन चूज़ करो। प्रति तीन एक नंबर है उसी को चूज़ करो। पर

दूसरा नंबर तो इससे बड़ा 4 5 6 कोई भी हो सकता है। तभी तो मैं बोलूंगा कि तीन छोटा है।

तो यानी कि 3C1 और ओवरऑल क्या हुआ है? छह में से कोई दो नंबर चूज़ करें। यही हो सकता है ना मेरे भाई? तो ये आ

जाएगा 6 / 30 करके देख लेना। है ना? ऐसे ही आगे कर लोगे। Px = 4 ये आ जाएगा 1C1 और वो हो जाएगा 2C1 / 6C2 ये

4/30 आ जाएगा। P ऑफ़ X = 5 1C1 / 6C2 तो ये 2 / 30

क्लियर है बेटा सबको? क्लियर है बेटा सबको? चलो।

तो यहां पर अपनी प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन खत्म होती है। अच्छा इसी में ही चलो मैं अब डिस्कस कर ही रहे हैं

हम लोग बायनॉमियल में आने से पहले। इसी में ही चलो अगर हमारे पास क्वेश्चन ऐसा होता इसी में ही चलो। क्वेश्चन ऐसा होता

कि थ्री नंबर्स आर सिलेक्टेड फ्रॉम 1 2 3 4 5 6

विदाउट रिप्लेसमेंट। एक बच्चा इसमें वेदर रिप्लेसमेंट वाला पूछ रहा था तो उसमें तो बेटा फिर हम लोग क्या करेंगे? बर्नोली जो

बाइनॉमियल डिस्ट्रीब्यूशन है वह लगाएंगे। है ना? हां। ठीक है? अब अगर मान लो इसमें तीन आ गया तो

वही तरीका है ना? सपोज़ करो कि मैं कह रहा हूं कि अ प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन निकालनी है इस बार स्मॉलर नंबर की।

फिर इसी में ही तुम्हें कराऊंगा। इसको मैं कॉपी कर रहा हूं कि अगर क्वेश्चन में लार्जर नंबर बोल देता तो क्या कर लेते

तुम? क्वेश्चन में लार्जर नंबर बोल देता तब बोल देते अब तक। ठीक है? अब हमारे पास देखो

दो नंबर चूज़ तीन नंबर्स चूज़ करे गए। उसमें से सबसे स्मॉलर नंबर कौन हो सकता है? वन। तो यानी बाकी कौन-कौन से हो सकते हैं?

दो इससे बड़े वाले। अब इनमें से मुझे कितने सेलेक्ट करने हैं? कोई दो सेलेक्ट करने हैं। इनमें से मुझे कितने सेलेक्ट करने

हैं? दो सेलेक्ट करने हैं। तो प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ़ स्मॉलर नंबर क्या होगी भैया? वन तो आएगा ही आएगा।

1C1 और यानी कि बाकी इन पांचों में से कोई दो ले सकता हूं मैं अब क्योंकि मुझे अब तीन

नंबर सेलेक्ट करने हैं। एक तो ये आ ही गया। बाकी अब इनमें से कितने आएंगे? कोई दो।

तो 1C1 * 5C2 अब यह कितना आ जाएगा हमारे पास टोटल? 6C3 अरे जो कौन है गधा जो हैंड रिटन नोट्स

मांग रहा है। अबे इतनी खूबसूरत नोट्स यहां पर लिख के दे रहा हूं वो नहीं पढ़ने तुम्हारे को। ये नहीं कि उन सबको भैया खुद

अपने हाथ से एक बार नोट कर लें। इतने इंपॉर्टेंट इंपोर्टेंट पॉइंट यहां लिखवा दिए सुंदर-संदर अक्षरों में तुम्हें।

गधे- गधे ही रहते हैं। है ना? तो ये ओ सॉरी। ये किसकी प्रोबेबिलिटी है हमारे पास? की

प्रोबेबिलिटी ये p ऑफ़ x = 1 कि x एक स्मॉलर नंबर है। ऐसे ही p ऑफ़ x = 2 क्या हो जाएगा? अब सर टू आएगा और यहां पर 3 4 5

6 में से कोई दो आएंगे। तो यानी कि ये तो वही 1C1 और फिर 4C2 / 6C3 क्योंकि टोटल तीन नंबर सेलेक्ट करें। बात समझ में आई

बेटा? फिर कि थ्री स्मॉलर नंबर है तो थ्री आएगा या आएगा? यहां पर थ्री हो जाएगा। अब इनमें

से कोई दो सेलेक्ट करेंगे फिर कि सर फोर स्मॉलर नंबर है तो ये अब फोर हो जाएगा। यहां पर कोई दो बचेंगे। तो

1C1C1 * में 2C2 / 6C3 फिर एक केस बनेगा कि सर क्या फाइव हो सकता है? खुद सोच बेटा। अगर

एक फाइव स्मॉलर नंबर है तो यानी यहां पर तो सिर्फ छह बचा। बट मुझे टोटल तीन नंबर चूज़ करने थे। मैं तो सिर्फ एक ये और एक

यही चूज़ कर सकता हूं। इसीलिए ये p ऑफ़x = 5 का केस बनेगा ही नहीं। बात समझ में आई?

बात समझ में आई बेटा? बात समझ में आई? कि p x = 5 आ ही नहीं पाएगा क्योंकि टोटल

तीन नंबर सेट करने हैं ना। अगर पांच स्मॉलर नंबर है तो बाद में दो बचेंगे ही नहीं।

बेटा पेपर का लेवल तुम्हारी प्रिपरेशन के अकॉर्डिंग आएगा। पेपर का लेवल कभी ईजी और हार्ड नहीं होता। तुम्हारी प्रिपरेशन ईजी

और हार्ड होती है। ठीक है? चलो।

अच्छा इसी में अगर मेरे पास क्वेश्चन आता प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ लार्जर नंबर

दो नंबर चूज़ करने हैं कि लार्जर नंबर कौन सा होगा? तो बेटा टू थ्री नंबर की बात हो रही है।

अब लार्जर नंबर सबसे पहले सिक्स हो सकता है कि सबसे बड़ा नंबर तो सिक्स है। अगर सिक्स एक लार्जर नंबर है तो बाकी उससे

स्मॉलर होंगे। यानी कि 5 4 3 2 1 इनमें से कोई भी दो हो सकते हैं। एनी टू तो अब यहां पर सिक्स से स्टार्ट होती कि सिक्स लार्जर

नंबर है। तो सिक्स तो आएगा ही आएगा। बाकी उन पांच में से कोई दो आएंगे अपॉन में 6C3। क्या ये बात समझ में आई? जल्दी से

बताओ। क्या ये बात समझ में आई? यस और नो? बेटा अगर कॉन्फिडेंस फील नहीं हो रहा तो रिवीजन सेशन अटेंड करो। और जितने ज्यादा

अनसॉल्वड क्वेश्चंस कर सकते हो सैंपल पेपर के कोई भी सैंपल पेपर उठाओ उसे या पुराने पेपर्स उठाओ या सैंपल पेपर्स उठाओ जो

सीबीएसई वाले हैं। फिर कि जो आपके पास बड़ा नंबर है लार्जर नंबर है वो फाइव है। तो मतलब फाइव तो आएगा

ही आएगा। उसके लिए 1C1 अब अगर फाइव सबसे बड़ा नंबर है तो बाकी जो दो हैं वो उनसे छोटे होंगे। यानी इन्हीं चारों में से कोई

दो होंगे। तो 4C2 / 6C3 बात समझ में आई बेटा? फिर ऐसे ही p ऑफ़ x = 4 के लिए 1C1 * 3C2 /

6C3 P ऑफ़ X = 3 के लिए 1C1 और ये 2C2 / 6C3 इसमें टू वाला केस नहीं आएगा। क्योंकि अगर टू को मैं बोल रहा हूं बड़ा नंबर है।

तो भैया बाकी सिर्फ एक ही बचा। मेरे को तो दो चाहिए चूज़ करने के लिए। यहां तो एक ही बचा। इसलिए यानी कि यहां पर सिर्फ थ्री तक

जाएगा। क्लियर बेटा? वंश कह रहा है कि सर मैं 11 का हूं। बहुत बढ़िया बेटा। आपने तो बड़ी

राज की बात बता दी। तो अब हमारा प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन की सारी वैरायटी खत्म हो गई है। अब मुझे

रिलैक्स है कि थोड़ा सा टाइम ज्यादा लग गया। है ना? हां। हां बेटा अब एमसीक्यू का सेशन भी एग्जाम

डे में प्लान कर रखा है। है ना? हां। हां यूज़ कर सकते हो जसनून। बट उसमें बहुत सारी चीजें ना केवी सपोर्ट मटेरियल में

आउट ऑफ सिलेबस वाली भी इंक्लूड करी गई हैं। बस वो स्किप करते रहना। बाकी उसके क्वेश्चंस भी आप करोगे तो आपको मजा आएगा

कि हां यार लेवल अच्छा प्रिपरेशन का हमारी है। फिर आते हैं बायनॉमियल डिस्ट्रीब्यूशन।

बायनॉमियल डिस्ट्रीब्यूशन हमारी किससे बनी है? मैं फटाफट करवाऊंगा बेटा क्योंकि वन शॉट में इसकी थ्योरी मैंने बहुत डिटेल में

ही करवा रखी है। बर्नोलीस ट्रायल से बना है। बर्नोली किसी भी बेटा एक्सपेरिमेंट को

किसी भी ट्रायल को बर्नोली ट्रायल बनने के लिए मैं थ्योरी है लिखवा नहीं रहा। बोल के समझा रहा हूं बेटा। ध्यान से सुनना सबने।

कुछ कंडीशन फॉलो करनी पड़ती है। पहली कंडीशन क्या होती है हमारी? कि आपके पास सारे जो आपके पास ट्रायल्स हैं आपस में

इंडिपेंडेंट होने चाहिए। इंडिपेंडेंट का मतलब विद रिप्लेसमेंट। कोई भी आपके पास ट्रायल एक दूसरे से

इफेक्ट नहीं होना चाहिए। इसका मतलब इंडिपेंडेंट होना चाहिए। दूसरा है ना? दूसरा हमारे पास हर एक ट्रायल में जो

प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस है और जो फेलियर है वो सेम रहेगी। जैसे कॉइन है। मैंने एक बार टॉस करा। ये एक ट्रायल हुआ। हेड आने

की प्रोबेबिलिटी 1/2। टेल आने की प्रोबेबिलिटी 1/2। मैंने कॉइन को दूसरी बार टॉस करा। ये दूसरा ट्रायल है। हेड आने

की प्रोबेबिलिटी सेम 1/2 q आने की प्रोबेबिलिटी जो पहले थी वही हर एक ट्रायल में प्रोबेबिलिटी सेम रहेगी। ठीक है?

तीसरी बात जो हमारे नंबर ऑफ ट्रायल्स हैं ये छोटे होने चाहिए और फाइनाइट। फाइनाइट एंड स्मॉल होने चाहिए। ये नहीं कि आपने

100 बार कॉइन फेंक दिया पांच बारी या 10 बारी। ठीक है? और आपके पास कि हर एक बारी में जो

प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस है और जो फेलियर है, बस किसी भी ट्रायल के साथ वही होना चाहिए। भाई जैसे मैं कॉइन फेंकूंगा तो या

तो हेड आएगा या तो नहीं आएगा। है ना? ये नहीं हुआ कि भैया अब जैसे एक्सीडेंट हुई

तो या तो कोई बंदा अगर मैं बोलूं कि भ या तो मर जाएगा या तो जी जाएगा। नहीं भाई ऐसा हो सकता है कि अधमरा हो गया। तो वो हमारे

फिर बिज़नेस रिप्लेसमेंट में नहीं आएगा। हमारे बर्नोली ट्रायल में नहीं आएगा। ठीक है? अब बर्नोली ट्रायल क्या कहता है कि

आपके पास p ऑफ़ x = r सक्सेस का जो फार्मूला है इट इज़ गिवन बाय ncr q रे टू दी पहले फार्मूला लिखवा देता हूं फिर

एक्सप्लेन करता हूं। आई होप बेटा सबको फार्मूला तो याद होगा। है ना? हम यहां पर उतनी डिटेल में नहीं कर पाएंगे। ऑब्वियसली

टाइम की हमारे पास रेस्ट्रिक्शन है। बट मैं फार्मूला रिप्लाई करवा रहा हूं आपको। यहां पर स्मॉल p क्या है? प्रोबेबिलिटी ऑफ़

सक्सेस। ये कौन सी सक्सेस है बेटा? जो हम सिंगल ट्रायल की बात कर रहे हैं इन ईच ट्रायल हर एक इंडिविजुअल ट्रायल के

अंदर जो सक्सेस है यानी कि जो चीज होने की प्रोबेबिलिटी है वो क्या है हमारे पास

प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस है। अरे वंश भाई मजाक कर रहा हूं यार ये सीरियस ही हो गया लड़का। अरे भाई अपनी क्लास में मजाक ही

चलता है और हर एक ट्रायल में फेल है। जैसे मैंने बोला कि मैंने पहली बार डाई फेंकी उसमें

फाइव आने की प्रोबेबिलिटी मेरी सक्सेस है। फाइव आना मेरी सक्सेस है। तो जब मैंने पहली बार डाई फेंकी तो उसमें मेरे पास

फाइव आने की प्रोबेबिलिटी यानी फाइव आने की सक्सेस क्या होगी? यानी स्मॉल p क्या होगा? 1/6 और क्यों? कि फाइव नहीं आया

उसकी प्रोबेबिलिटी 5 / 6 सेकंड टाइम जब डाईफाई की बेटा सेम P और Q वही रहेंगे 1/6 और 5/6 इस तरह से जितना जल्दी हो सके

जितना हमारे पास होगा हर जगह हम यही करेंगे ठीक है हां बेटा वो सारी बातें कि पेपर में रीडिंग

टाइम कैसे पढ़ना है वो हम एग्जाम डे में बात करेंगे। अभी जो करवा रहा हूं बेटा उसको करो। है ना?

और n हमारे पास क्या होगा? नंबर ऑफ ट्रायल्स। एक चीज आपको जो हमेशा याद रखनी है बेटा कि आपके पास हमेशा जो पहले आएगा

वो q आएगा और q की पावर ही आप n - r रखोगे। इसमें आप लोग आगे पीछे कर देते हो। फिर बेटा यहां पर हमारे पास मीन ऑफ

बायनॉमियल डिस्ट्रीब्यूशन का एक अलग फार्मूला है। इसको डिनोट करते हैं μ से और इसका

फार्मूला क्या होता है? n * p बायनॉमियल डिस्ट्रीब्यूशन में मीन कभी नेगेटिव नहीं हो सकता। ठीक है?

फिर वेरियंस ऑफ बायनॉमियल डिस्ट्रीब्यूशन वेरियंस को हम डिनोट करते हैं σ² से जिसका

फार्मूला npq होता है। फिर आ जाओ स्टैंडर्ड डेविएशन। स्टैंडर्ड डेविएशन बेटा हमेशा ही क्या

होती है? वेरियंस का अंडर रूट। तो वो अंडर रूट npq हो जाएगा। यही फ़ूले बेटा हमने पढ़े हुए हैं। है ना?

और एक चीज और आपको याद रखनी है कि जो आपका मीन होता है बाइनोमियल डिस्ट्रीब्यूशन में वो हमेशा पॉजिटिव होता है। यानी > इक्वल

टू 0 होता है। है ना? सॉरी जो वैरियंस होता है हमारे पास वो पॉजिटिव ही होगा क्योंकि स्क्वायर होता है। और वो हमेशा

क्या होगा? मीन से छोटा होगा। ये बात याद रखना। वेरियंस हमेशा क्या होता है? मीन से छोटा होता है।

0 इज़ < इक्वल टू में ये एक ना रिलेशन याद रखना। हालांकि ये रिलेशन हम सीए में पढ़ते हैं। बट स्टिल मुझे एक क्वेश्चन मिला था

जो एमसीक्यू फॉर्म में पूछा गया था। है ना? जो हमसे पूछा गया था। जो हमसे पूछा गया था। ठीक है बच्चे? ये जरूर याद रखना।

एक एमसीक्यू मैंने देखा था किसी स्कूल में आया हुआ था। तो मैंने लेके भी आया हूं आज। चलो अब बेटा सीधा-सीधा क्वेश्चन से

स्टार्ट करते हैं। सीधा-सीधा क्वेश्चन से स्टार्ट करते हैं। किथे गया किथे गया जी स क्वेश्चन? हां जी चलो इसी से स्टार्ट कर

देते हैं। ये हमारे 2025 की कंपार्टमेंट का क्वेश्चन है बेटा। पहले समझाता हूं फिर पोल चालू करूंगा। ठीक है? कह रहा है कि

मीन और स्टैंडर्ड डेविएशन दे रखी है 12 और दो। मीन दे रखा है 12। स्टैंडर्ड डेविएशन यानी सिग्मा दे रखा है टू। आपको स्मॉल p

बताना है कितना है? एक बार समझा रहा हूं बेटा। फिर पोल चालू करता हूं। फिर आप कमेंट करना। मीन का

फार्मूला क्या होता है? np वो कितना है? 12 इसका फार्मूला अंडर रूट में npq वो कितना

है? स्क्वायर कर दूंगा। तो npq कितना आ जाएगा? अब हिंट दे रहा हूं बेटा। np की वैल्यू

उठा के इधर पटको। पहले q निकाल लेंगे। और यहां पर एक जो है हमने सबसे इंपॉर्टेंट कंडीशन यहां पर मिस कर दी वो क्या है

कि प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस एंड प्रोबेबिलिटी ऑफ़ फेलियर इन ईच ट्रायल इज़ ऑलवेज इक्वल टू वन।

इट इज़ ऑलवेज इक्वल टू वन। चलो अब मैं पोल स्टार्ट कर रहा हूं बेटा। अब मैं पोल स्टार्ट कर रहा हूं। हॉर्स

वाला क्वेश्चन आया था एग्जाम में। सिंह बेटा बोलो मुझे एक बार क्वेश्चन याद दिलाओ। मुझे याद नहीं आ रहा।

तो मैंने यार यहां से वैल्यू उठाई। यहां पटकी। 12q आ गया 4, q आ गया 4/1 यानी कि 1/3 हमें पता है कि p + q 1 होता है।

तो p आ गया 1 - 4 / सॉरी 1 - में 1 / 3 यानी कि आंसर आ रहा है 2 / 3 यानी कि ऑप्शन डी इज करेक्ट।

ऑप्शन अरे वाह सबका ही डी आ रहा है भाई। यहां तो क्या बात है। बहुत ही बढ़िया। चलो फिर यह 2025 का क्वेश्चन है बेटा।

कह रहा पेयर ऑफ डाइस इज थ्रोन टू टाइम्स। डाई को दो बारी फेंका है। बट याद रखना पेयर को फेंका है। तो नंबर ऑफ ट्रायल्स तो

मेरे पास दो हैं। बट दो डाई फेंकी है। है ना? दो डाई फेंकी है। हम

इफ x रिप्रेजेंट नंबर ऑफ़ डबलेट्स। x क्या है? नंबर ऑफ़ डबलेट्स। मैं चलो यहां पर पोल शुरू करने से पहले

आपसे एक चीज़ पूछना चाहता हूं। बेटा अगर मेरे को X रिप्रेजेंट कर रहा है नंबर ऑफ़ डबलेट्स तो क्या मुझे स्मॉल P बता सकता है

कि कितना होगा कोई? स्मॉल P का मतलब कि अगर एक बार पेयर फेंका गया तो डबलेट आने की प्रोबेबिलिटी। याद रखना स्मॉल p स्मॉल

q सिंगल ट्रायल की बात है ईच ट्रायल कि अगर मैं एक बार कोई काम कर रहा हूं तो उसमें प्रोबेबिलिटी आने की क्या वैल्यू

है? बहुत बढ़िया बेटा डबलेट आने की प्रोबेबिलिटी 6 आउट ऑफ 36 है। यानी कि 1/6 है। ना आने की प्रोबेबिलिटी हमेशा कैसे

निकलेगी? 1 - p से। ये बात याद रखना कि q हमेशा क्या होगा? 1 - p। अब आपसे एक्सपेक्टेशन ऑफ x पूछ लिया।

अब आपसे एक्सपेक्टेशन एक्सपेक्टेशन मतलब मीन। एक्सपेक्टेशन मतलब मीन। एक्सपेक्टेशन मतलब मीन। तो मीन का

फार्मूला सर np नंबर ऑफ ट्रायल्स कितने हैं? दो। P कितनी है? 1/6 तो आंसर आ गया 1/ 3 तो

ऑप्शन सी मेरा करेक्ट आ रहा है। बहुत शानदार जा रहे हो भाई। बहुत बहुत शानदार कर रहे हो। चलो। अब देखो ये 2024

की कंपार्टमेंट का क्वेश्चन है। अब आप ऑब्जर्व कर रहे हो कि यार 2025 कंपार्टमेंट में बायनॉमियल का क्वेश्चन

आया। 25 में आया, 24 कंपार्टमेंट में आ गया। अब मैं इसमें डायरेक्टली पोल चालू कर रहा

हूं। कह रहा है कि यूएसए बहुत तगड़ा क्वेश्चन लगा मुझे। बस समझने वाली बात है इसमें।

100 आइडेंटिकल कॉइंस ईच विद प्रोबेबिलिटी P। तो स्मॉल P हमें नहीं पता क्या है। शोइंग अप हेड्स आर टॉस्ड वंस। ठीक है जी।

अब हेड आने की प्रोबेबिलिटी की बात करी है। बट प्रोबेबिलिटी कितनी है ये नहीं बताया बेटा हमारे को। अच्छा हां समझ गया

वो एनसीआरटी का क्वेश्चन नंबर सिक्स था शायद। पुरानी एनसीआरटी जो थी कोर वालों की उसके राइट हैंड साइड पर सबसे ऊपर वाला

क्वेश्चन होता था शायद। एंड द प्रोबेबिलिटी ऑफ़ हेड्स ऑन 50 कॉइंस। तो अगर मैं x बोलूं गेटिंग हेड डिनोट कर रहा

है। शोइंग अप हेड का मतलब क्या हुआ? गेटिंग हेड। तो कह रहा है कि प्रोबेबिलिटी ऑफ हेड्स ऑन 50 कॉइंस कि भैया 50 कॉइन पर

हेड आया वो किसके बराबर है? हेड ऑन 51 कॉइंस। पहले बताओ सबको ये बात समझ में आती है जो

हमने स्टेटमेंट लिखी है। अभी तो चलो आप पोल चला रखे हैं फिर मत जवाब देना वरना आपको पोल काउंट नहीं होगा। क्वेश्चन में

बोला है कि जो है 50 कॉइन पर हेड आने की प्रोबेबिलिटी है वही 51 कॉइंस पर हेड आने की प्रोबेबिलिटी है। अब हेड की

प्रोबेबिलिटी 1/2 नहीं है भाई। उसने कुछ चेंज कर रखी है। तो करें भाई काम शुरू। तो p ऑफ़ x = 50 का

मतलब क्या हो गया हमारे पास? p ऑफ़ x = 50 का मतलब क्या हो गया हमारे पास? इसको वैसे हम लोग पोइजन से भी कर सकते

हैं। पता है? बट चलो मैं इससे करा देता हूं। n हमारे पास 100 है क्योंकि 100 कॉइंस को

क्या करा है? टॉस्ड वन। 100 कॉइन है। उसको एक बार टॉस करा गया तो n 100 हो गया। तो 100C50

q की पावर इन दोनों का डिफरेंस p की पावर इसका डिफरेंस 100c 51 q की पावर 49 और p की पावर 51

ये बना 100ोरियल 100 - 50 और 50

यह कैंसिल आउट कर दो यह q बचेगा और यह 100 यह 49 और 51 ये बचेगा p

सबसे पहले 100ोरियल से 100ोरियल उड़ा दो इसको उधर भेज दो 49ियल 51ोरियल को ओपन कर दो

नीचे 50ोरियल एक ठीक है दूसरे वाले 50ोरियल को ओपन कर दो आपको p की वैल्यू मिल जाएगी है 49 से 49 गया 50 से 50 गया

तो यानी कि 51 / 50 q आ गया है p या q आ गया है 50 / 51p हमें पता है कि p + q होता है वन

q की वैल्यू डाल दी हमने एलसीएम लिया तो मेरे पास P की वैल्यू आ रही है 51 /

101 क्या आपका भी आंसर यही आ रहा है डी 51 / 101 ठीक है तो ये आ गया मेरे पास D

बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया। अरे नहीं बेटा बेटा अब देखो ये देखो एक

ऐश्वर्या नाम की बच्ची आई। कह रही है सर ये वही क्वेश्चन है जो आपने पिछले साल की मैराथन में करवाए थे। अरे बेटा जो

पीवाईक्यूस का मतलब क्या होता है? पीवाईक्यू सीरीज का मतलब क्या होता है? नहीं कराऊं? तो तुम मत देखो बेटा। बाकी

बच्चों को जरूरत है। उनको रिवीजन करनी है। वो इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है। ये करेंगे। तुम स्किप कर दो सेशन। जो एग्जाम डेज में

गैप में क्वेश्चंस होंगे वो वाले नए क्वेश्चंस होंगे। आप वो कर लेना। ये क्या बात हुई?

कि जो प्रीवियस पिछले साल में हम कराए वो अब इस साल करा ही ना। वाह वाह वाह दीदी वाह वाह दीदी वाह।

ये 2024 कंपार्टमेंट का क्वेश्चन। कह रहा है द प्रोबेबिलिटी एट अ बॉम्ब ड्रॉन फ्रॉम अ प्लेन स्ट्र्राइक्स द

टारगेट इज़ 4/5। P आ गया है 4/5। अगर मेरे कराए हुए क्वेश्चन चाहे वह

रिपीटेड ही हो तुम्हारे को पेपर में अगर देखने को मिल रहे हैं तो चुपचाप पढ़ाई करो।

Q आ जाएगा 1 - में P यानी कि 1 / 5. व्हाट इज़ द प्रोबेबिलिटी आउट ऑफ़ सिक्स बॉम्ब्स स्ट्रोंग। यानी कि n

मेरे पास सिक्स है। एग्जैक्टली टू बॉम्ब स्ट्राइक द टारगेट। तो यानी क्या निकालना है? p ऑफ़ x = 2 डायरेक्ट क्वेश्चन 6C2 q

की ^ 4 p की ^ 2 6 फैक्टोरियल 6 - 2 4 2 q आ गया है मेरे पास 1 / 5 ^ 4 और p आ गया है 4 / 5²

काम खत्म। 6 * 5 / 2 अब देखो आंसर हमारे पास पावर्स में ही

छोड़ा हो गया है। तो ये 1/5 की पावर 4 * में 16 / 25 2 * 1 = 2 2 * 8 = 16 5 * 1 = 5 5 * 5 =

25 तो क्या बन रहा है अपने पास यहां पर कुछ बन रहा है? 8 * 6 = 48 और नीचे 5 की पावर 5 बन रही है। तो ऑप्शन सी हमारे पास

बिल्कुल सटीक आंसर दे रहा है। डायरेक्ट क्वेश्चन बोर्ड क्वेश्चन 100% पोल रिजल्ट के साथ 100% पोल रिजल्ट के साथ। बहुत

बढ़िया। अब देखो बेटा ये क्वेश्चन है ना? ये कब आया? 2000 क्यों करवा रहा हूं मैं ना? मैं

भी कोई पागल नहीं हूं तुम्हारी तरह। है ना मैं? मजाक करता हूं। मेरी बातों का बुरा मत मानना और मान भी जाता हूं। मान जा भाई।

क्या करें? इसलिए करवा रहा हूं PY Q ये 2023 में आया। बोल यस और नो। क्वेश्चन पढ़ फटाफट।

क्वेश्चन पढ़ बेटा जल्दी से। अब ये देख 2024 में आया। क्वेश्चन पढ़ फटाफट जल्दी से।

हर एक चैप्टर से अगर एक-ए क्वेश्चन भी तुम्हें ऐसा रिपीट मिल गया। आधे सिलेबस में से मिल गया।

सेम क्वेश्चन एन अनबायस डाई इज़ थ्रोन अगेन एंड अगेन अंटिल थ्री सिक्सेस आर ऑब्टेंड।

फाइंड द प्रोबेबिलिटी ऑब्टेनिंग अ थर्ड सिक्स इन सिक्स्थ थ्रो। एक डाई को छह बार कह रहा है। एक डाई को छह बार फेंका गया।

एक डाई को छह बार फेंका गया। आपसे बोला कि बताओ कि क्या प्रोबेबिलिटी है कि जो थर्ड सिक्स है वो छठी थ्रो में आया।

मतलब पहली बार फेंका, दूसरी बार फेंका, तीसरी बार फेंका, चौथी बार फेंका, पांचवी बार फेंका, छठी बार फेंका। छठी बार जो

फेंका उस पर आपको थर्ड बारी सिक्स मिला है। तो इस बात का बाय डिफॉल्ट मतलब ये है कि पहले पांच में से किनहीं दो थ्रो पर दो

बारी छह या मैं दो बारी बोल सकता हूं सिक्स आ चुका है। बिल्कुल देसी भाषा में बिल्कुल देसी भाषा में

कि पहली पांच में से कोई दो बारी छह आ चुका है। इसका मतलब यही है सीधा-सीधा। तो यहां पर हम इसमें क्या करेंगे कि इसमें ना

लिखने का बात चलेगी कि प्रोबेबिलिटी ऑफ गेटिंग प्रोबेबिलिटी ऑफ गेटिंग थर्ड सिक्स

इन सिक्स्थ थ्रो प्रोबेबिलिटी ऑफ़ गेटिंग थर्ड सिक्स इन सिक्स्थ थ्रो यह किसके बराबर होगी?

कि प्रोबेबिलिटी ऑफ गेटिंग टू सिक्स इन फर्स्ट फाइव थ्रोस

एंड प्रोबेबिलिटी ऑफ़ गेटिंग अ सिक्स। कि एक सिक्स चाहिए मुझे

इन सिक्स्थ थ्रो। क्योंकि पहले दो तो आ चुके हैं। तीसरी सिक्स के लिए मुझे छठी थ्रो में एक बार सिक्स चाहिए। ठीक है?

पहली पांच थ्रो में से दो में सिक्स आ जाना मतलब 5C2 q की पावर 3 p की पावर 2 एंड का मतलब प्रोबेबिलिटी में इंटू 11 से

पढ़ते आ रहे हैं। मुझे कोई इसका वैल्यू बताएगा कि छठी थ्रो में छठी थ्रो में एक सिक्स आने की प्रोबेबिलिटी। यहां पर बच्चे

ने बहुत गड़बड़ करते हैं। कि छठी थ्रो में छठी थ्रो में थर्ड सिक्स आने की प्रोबेबिलिटी बताओ जरा। हां मैंने क्लास

में भी करवाया हुआ है। आप लोगों को आंसर भी याद है। बहुत ही शानदार। और देख रहे हो यार सेम दो बार आया हुआ है।

अरे शौर्य यार मुझे मुझे पता है यार बट मेरा ना पर्पस है यार एक करवाने का कि इनमें से तुम्हें क्वेश्चंस मिलेंगे

एग्जाम में। नहीं मिले सेम वैल्यू के साथ तो सेम टाइप के मिलेंगे। मेरा पपस यह है। नए क्वेश्चंस के लिए एग्जाम डेज में गैप

रखा हुआ है ना दीदी? क्यों टेंशन लग रही है यार? भरोसा रख मुझ पे बस अंत तक कुछ दिन की बात

और है। 8 मार्च तक का भरोसा रख लो। 9 मार्च के बाद मुझे चाहे पहचानने से इंकार कर देना। मुझे चलेगा।

प्रोबेबिलिटी ऑफ़ गेटिंग अ सिक्स इन सिक्स्थ थ्रो का मतलब कि भैया छठी थ्रो में एक सिक्स चाहिए। तो मतलब एक सिंगल

थ्रो में एक सिक्स चाहिए। तो 1/6 क्या खूबसूरत आंसर दे रहे हो बेटा? कैलकुलेशन वाला पार्ट छोड़ दूं या कर दूं? ये 1/2 का

क्यूब और ये 1/2 का स्क्वायर ओ सॉरी 1/2 1/2 क्यों कर रहा हूं? यह 1 / सॉरी 5 / 6 और यह 1/6²

* में 1 / 6. हां। तो 5ोरियल 5 - 2 3 और 2 5

125 ये 216 ये 1/ 36 और ये 1/6 ये आ जाएगा कितना? 5 * 4/ 2 * 125 / अच्छा कुछ कैंसिल आउट

लायक है नहीं यहां पे 2 * 1 2 * 2 * 1 2 * 3 और तो कुछ कटेगा नहीं। ये तो 625 हो गए। इसको भी कर दूं

यार फटाफट। मेरे पास तो कैलकुलेटर है। मैं तो फटाफट कर दूं। ये 2328 आ रहा है क्या?

चेक करना बेटा आंसर जिनज को र जिनज को रटा हुआ था यही आंसर है जिनज को रटा हुआ था

चलो बहुत बढ़िया बहुत शानदार ठीक है तो ये तो सेम ही हो गया क्वेश्चन अभी तो मैंने नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के

क्वेश्चन जब ऐसे एनालाइज़ करे तो देखा बहुत सारे क्वेश्चन एक जैसे हैं तो मैं सारे नहीं लाया कुछ सिलेक्टेड लाया हूं।

हां देखो 2025 का क्वेश्चन ये अभी हमने एमसीक्यू में करा था।

सेम वहां पर मीन और स्टैंडर्ड डेविएशन था। यहां पर मीन और वेरियंस है। वहां पर स्मॉल p पूछा था। यहां पर x = 1 पूछ लिया। तो

टाइप सेम मिल गई ना आपको। टाइप सेम मिल गई आपको। आपका कॉन्फिडेंस एग्जाम में ऐसे क्वेश्चन देख के बहुत बढ़ जाएगा। अरे

मैंने तो करा हुआ है भाई। क्या हुआ? एग्जैक्ट नहीं है बट मेरी टाइप तो वही है क्वेश्चन की। तो इसलिए क्वेश्चन की टाइप

अटैक करनी है हमारे को। ठीक है? तो दैट मींस मेरे पास np है 4 / 3 npq है 8 / 9 np की वैल्यू यहां पटकूंगा।

तो 4/3q = 8/9 4 * 1 4 2 तो इस बार q आ गया है 2 / 3 तो इसका मतलब p कितना आ जाएगा? 1 - 2 / 3 p आ गया है 1 / 3

p आ गया है 1 / 3 बच गया है n ये p की वैल्यू उधर पुट कर देंगे। n * 1 / 3 = 4 / 3

अब उसको तीन नंबर का क्वेश्चन बनाना है तो कुछ तो चालाकी करनी है। nc1 q ^ n - 1 p ^ 1 तो 4c1 q ^ 3 p ^ 1 4c1 हो गया फोर q है

हमारे पास 2 / 3 उसका होल क्यूब p है 1/3 बेटा आंसर बताओ मैच कर रहा है या नहीं कर रहा है आप सबका

क्या आप सबका आंसर मेरे साथ मैच कर रहा है 32 / 81 ये कहीं कुछ कैलकुलेशन में झोल है तो बताओ

हम बहुत बढ़िया। ये अपना 2025 का क्वेश्चन है। एक और

डायरेक्ट क्वेश्चन है। सिर्फ डिस्कस करेंगे इसको। पास होने के लिए क्या करें? बस बेटा जितना

क्लास में करवाया बेटा उतना कर ले यार वन शॉट में जितना कराया उतना कर ले इफ अ फेयर बस कैलकुलस मत करके बाकी छोड़ कैलकुलस

छोड़ के बाकी सब कर ले बेटा इफ अ फेयर कॉइन इज़ टॉस्ड सिक्स टाइम्स तो n दे रखा है सिक्स फाइंड द प्रोबेबिलिटी ऑफ़ गेटिंग

एट लीस्ट फोर हेड्स। तो हेड्स की बात हो रही है। पहले स्मॉल p आएगा 1/2 स्मॉल q आ जाएगा 1/2। प्रोबेबिलिटी ऑफ एटलीस्ट वन

हेड का मतलब एटलीस्ट सॉरी फोर हेड्स का मतलब क्या चाहिए बेटा मेरे को? मेरे को चाहिए प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x > = 4 बेटा हो

जाएगा क्वेश्चन या करवाने की जरूरत है? एक बार प्लीज कमेंट में बता दो तो मैं आपको इसको प्रैक्टिस क्वेश्चन डाल के छोड़

दूंगा। डायरेक्ट क्वेश्चन आया नहीं हुआ यार। है ना?

अश्वत यार मेरी थकान का इलाज तुम लोग हो। तुम लोग अपना मोटिवेशन बनाए रखोगे, आंसर्स देते रहोगे। कमेंट में मेरे साथ बातें

करते रहोगे। मैं 12 घंटे नहीं थकूंगा कि 12 घंटे की अपनी लाइव स्ट्रीम की लिमिट है ना। 12 घंटे बाद फिर वो लाइव एंड हो

जाएगा। मैं तब तक नहीं थकूंगा। चाहे ब्रेक मिले ना मिले। हां। तुम्हारे को भी उसी ईमानदारी से मेरे साथ बैठना है। तुम चाहे

खाते पीते रहो बीच-बीच में। हां। वाशरूम वगैरह के लिए हो सकता है कि नेचर कॉल के लिए बीच में वो वाला ब्रेक लेना पड़े। ठीक

है? PQ वरना बोलो सर

देखो भाई असरशन रीजनिंग ये भी सीबीएसई की है। है ना? हां हां सिस्टम गेमर बेटा x तो आप देखो

एग्जाम में हर जगह बता के आओगे। मैं क्या बोल रहा हूं आपको? पेपर ऐसा लिखना है आपने कि थोड़ी बहुत नॉलेज है। पेपर जो चेक कर

रहा है उसको। आपके लिखे हुए से समझ समझ के वह पढ़ रहा है और सीख रहा है। जितना उसको अच्छे से समझाओगे उसको उतना अच्छा समझ में

आएगा और वो खुश होगा। वाह क्या बात है। इस बच्चे को मैं पूरे नंबर देता हूं। वही तुमने स्टेप खा लिए। है ना? एक्सप्लेन

नहीं कर रहे हो चीजों को। अस्यूम कर रहे हो यार। ये तो पेपर चेक करने वाला है। इसको इतना तो आता ही होगा। वो बोलेगा कि

भाई अगर मुझे खुद ही अस्यूम करना है तो मैं ये अस्यूम करता हूं कि ये तूने चीटिंग करी होगी और गए नंबर जहां दो नंबर पूरे

मिलने थे शायद आधा नंबर कट लिया क्यों कटना आधा भाई भाई अपने नंबर है बिल्कुल कंजूस हो जाओ आधा क्या पौना आधा सवा क्या

होता है वो वन भी नहीं देंगे कह रहा है कुहू एंड बीना टू इक्वली कैपेबल बैडमिंटन प्लेस प्रोबेबिलिजर बीना विल बीट

कुस थ्री गेम्स आउट ऑफ फोर इज़ 25%। ठीक है जी। पहले तो ये देखो यार कि अच्छा इसमें मैंने पोल इसलिए चालू नहीं करा कि

फर्स्ट का मतलब पता है ना असरशन रीज़ में क्या होता है कि बोथ आर करेक्ट एंड अ रीज़ इज़ करेक्ट एक्सप्लेनेशन। इसमें दोनों

करेक्ट है बट रीज़ करेक्ट एक्सप्लेनेशन नहीं है। इसमें असरशन ट्रू है। रीज़ फॉल्स है। इसमें असरशन फॉल्स है। वो वहां पे

लिखा हुआ होगा। बट अभी यहां पे क्योंकि पोल में नहीं था। तो मैंने इसलिए चालू नहीं करा पोल ना करूंगा। सिर्फ डिस्कस

करेंगे। पहले तो रीज़न पकड़ाओ। द प्रोबेबिलिटी ऑफ़ R सक्सेस इन ट्रायल रोटेड बाय दिस इज़ गिवन बाय P पहले लिखा है। कोई

दिक्कत नहीं है। ध्यान क्या रखना है? पावर का। Q की पावर N - R है। ठीक है? P की पावर R है। ठीक है? R 0 1 से लेकर स्टार्ट

होगा। बिल्कुल ठीक। P डिनोट करेगा सक्सेस को। Q डिनोट करेगा फिर। मतलब भैया रीज़न तो बिल्कुल ठीक है। रीज़न तो बिल्कुल ठीक है।

कुहू एंड बीना आर टू इक्वली कैपेबल प्रोबेबिलिटी दैट बीना विल बीट कुहू इन थ्री गेम्स आउट ऑफ फोर इज़ 25%

तो बीना हराएगी थ्री में से चार गेम में वो 25। अच्छा इक्वली कैपेबल का मतलब क्या हुआ? कि जो इसको मैं कुहू और बीना की

फॉर्म में लिखूं। पी ले रहा हूं कि बीना विल विन। बीना विल विन तो वो 1/2

क्यों क्या है कि बीना विल नॉट विन मतलब कुहू जीतेगा वो भी हमारे पास 1/2 आ गई।

ठीक है? अब कि प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x = 3 निकालनी है। तो

4C3 q ^ 1 p की ^ 3 4C3 आएगा 4 q है मेरे पास 1/2 p भी है मेरे पास 1/2 काल ब ये हो

जाएगा हमारे पास 2 * में 1/8 तो 1/4 इज़ 25% 1/4 इज़ 25 तो 25% हो गया हमारे पास यस और

नो है ना मोमोज खाएंगे क्या? मोमोज मंगवाऊं क्या?

चलो जी तुम्हारे साथ आज मोमोज खाएंगे। वही ब्रेक होगा उसी में 5 मिनट बातें कर लेंगे। चलो भाई आज पब्लिक डिमांड पे जरा

मैं श्रीमती जी को बोलूं जी मोमोज मंगवा दीजिए। गरीब के घर में आटा नहीं मोमोज़ मिलेंगे।

बोल दिया बेटा मैंने तुम्हारी पब्लिक डिमांड पर मैं नहीं खा रहा तुम खिलवा रहे हो मुझे

भाई मैं नहीं खा रहा तुमने बोला इसलिए मैंने मोमोज ऑर्डर करे भाई यह मत बोलना कि सर खुद खा रहे हैं मैं

नहीं तुम करवा रहे हो यह मुझसे काम हां मैसेज आ गया। ओके।

ठीक है भाई। तो असरशन और रीजन दोनों ही सही है और हमारे पास करेक्ट एक्सप्लेनेशन भी है। ठीक है? चलो।

ये इस बार का सैंपल पेपर का क्वेश्चन है कि अ फेयर कॉइन इज़ टॉस्ड सिक्स टाइम्स। लेट x द नंबर ऑफ़ हेड्स ऑब्टेंड। अब इसमें

आप दो तरीकों से कर सकते हो बेटा। या तो प्रॉपर आप इसको सॉल्व करोगे। वरना गोइंग बाय ऑप्शन भी कर सकते हो। है

ना? गोइंग बाय ऑप्शन भी कर सकते हो। चाय नहीं बेटा चाय मैं पी रही थी। पहले ही तो मैंने कोल्ड ड्रिंक बोली है। थम्स अप

पिएंगे मोमोज़ के साथ। क्या बात है। सैंपल पेपर यार मेरे को नहीं अच्छे लगे। देखो मैं इसलिए मना मैं कभी मैं मना क्यों

करूंगा भाई? मुझे नहीं अच्छे लगे। मेरे क्वेश्चन कर लो। वही काफी है। तो मैं अगर गोइंग बाय ऑप्शन जाऊंगा जी बी ओ मैं दोनों

तरीकों से बताऊंगा तुम्हारे को इस तरह के क्वेश्चन। तो अगर मैं k की वैल्यू है सारी ये फोर लेके चलता हूं तो ये आ जाएगा p ऑफ़

x = 4 = p ऑफ़ x = 6 हो जाएगा। और n मेरे पास सिक्स है। तो क्या 6C4 q की ^ 2 p की ^ 4 इक्वल होगा 6C6 q की ^ 0 और p की पावर

6 के अह नहीं सर ये तो कहीं से भी इक्वल नहीं दिख रहा है तो ये रिजेक्ट हो गया भाई ये रिजेक्ट हो गया यस और नो

ये रिजेक्ट हो गया तो ये दोनों चीजें इक्वल आ ही नहीं रही है ये दोनों चीजें आ ही नहीं रही है। अच्छा, अगर यह थ्री होता,

तो p ऑफ़x = 3 यह इक्वल आता p ऑफ़x = 5 के। 3 + 2 हो गया ना? तो 6C3

1 मिनट। अच्छा यहां पर हेड दे रखा है ना यार। अह यहां पर ना वैल्यूज़ डालनी पड़ेगी। ये तो

लंबा काम हो गया। मुझे लगा कि प्रोबेबिलिटी दे ही नहीं रखी है। तो ये 6ोरियल 6 - 4 2

यार इसमें ना गोइंग बाय ऑप्शन से ज्यादा टाइम लग रहा है। इसको ऐसे मत करो। गोइंग बाय ऑप्शन से

ज्यादा टाइम लग रहा है। तो इसको ऐसे ही कर लेते हैं भैया। 6CK Q की पावर अह 6 - K P की पावर K यह 6CK + 2

Q की पावर 6 - k - 2 p की पावर k + 2 अब इसको सॉल्व करना है हमारे को

ये 6ियल ये 6 - kोरियल और ये kोरियल ये q की ^ 6 / q की ^ k ये p

की पावर k ये 6ोरियल 6 - k - 2 k + 2 ये q की पावर पावर 6 / q की पावर k * में q² है ना डिवाइड करते जा

रहे हैं और ये p की पावर k और ये p का स्क्वायर ठीक है हां हां ये थोड़ा सा लंबा वाला

क्वेश्चन है बेटा ये छ से छ गया और ये q की पावर 6 से q की पावर 6 गया p की पावर k से p की पावर k गया q की पावर k से q की

पावर k गया क्या बचा मेरे पास ये ऊपर बचा वन 6 - kोरियल और kोरियल इसको इधर भेज दो 6 -

2 4 - kोरियल k + 2रियल इक्वल टू में 1 / q² p² यानी कि 1/ 4 * 1 / 4 यानी 1 / 16 थोड़ा सा लंबा जा रहा है

बेटा ये वाला। अब मैं यहां पर ऑप्शन यूज कर सकता हूं और कैलकुलेशन कर सकता हूं कि ये 4 - 4k 4 - 4 0 हो गया 1 4 + 2 6

- 4 2 और इंटू में 4 चेक करो कि क्या ये 1 / 16 आ रहा है तो ये 6 * में कितना हो जाएगा?

ओ सॉरी यार यहां पर गड़बड़ हो गई। q 1/2 इधर आना था। यह 1/2 इधर आना था। यह 16 आना था। ऊपर की

तरफ 16 आना था। ठीक है? ऊपर की तरफ 16 क्योंकि p और q बेटा हेड है ना? तो P भी 1/2 और Q भी 1/2 इतना लंबा क्वेश्चन

एमसीक्यू में क्यों दे दिया? तो चेक करो कि क्या ये 16 बन रहा है? ये तो 15 बन रहा है। ये रिजेक्ट हो गया। 4 - 3 1ोर 1 3 + 2

5ोरियल हो गया हमारे पास 120 6 - 3 3 हो गया 6 और 3ोरियल हो गया 6। तो ये 16 आएगा क्या भाई?

चेक कर भाई ये 16 आएगा क्या? 6 * 1 = 6 6 * 20 ना ये भी नहीं आ रहा। 4 - 2 2 + 2 4

24 6 - 2 4 24 अब ये तो वन ही आ गया। कुछ तो गड़बड़ लग रही है भाई मुझे। 4 - k 3

6 3 6 यार कुछ तो गड़बड़ लग रही है इस क्वेश्चन में।

अरे यार आंसर ये है। अरे यार इसको क्यों हार रहा हूं मैं? ये वन आया ना? अरे हमने गलती क्या कर दी? ये

गलती कर दी हमने यहां पर। यह p की पावर k * p² यह तो पावर पॉजिटिव है ना। यह मल्टीप्लाई होना था।

यही गड़बड़ हो गई हमारे से। तो ये बचना था ऊपर p² / q² ये 1/2² और ये 1/2 का स्क्वायर।

तो ये ऑप्शन सी हमारा मैच कर रहा है। काफी बड़ा क्वेश्चन हो गया यह हमारे पास। है ना?

काफी बड़ा क्वेश्चन है यार एमसीक्यू के मुकाबले तो सब्जेक्टिव में आ सकता है बट उसके हिसाब से तो बहुत बड़ा क्वेश्चन है।

ये वन होना चाहिए था। इतना बड़ा क्वेश्चन आना नहीं चाहिए। ओके शांत बिल्कुल आएंगे भाई। मेंस

इंटरनेशनल स्कूल अपाइड मैथ्स वाला है ना ईशांत तू? अप्लाइड मैथ्स वाला है ना?

है ना? बड़ा था यार एक क्वेश्चन ये। बट समझ में आया? भाई समझ में आया? नहीं आया? पहले तो मुझे

ये बताओ भाई समझ में आया या नहीं आया? हां बेटा सैंपल पेपर का ही है। बट इतना बड़ा आना नहीं चाहिए क्वेश्चन। मेरे हिसाब

से तो नहीं आना चाहिए। और मोस्टली हमारा पेपर अप्लाइड का उल्टा ही आता है जो सैंपल पेपर में आता है।

चलो अब आ गया तो आ गया। कुछ नहीं कर सकते। बेटा ये बहुतेंट क्वेश्चन है। ये वेरी वेरीेंट क्वेश्चन है। मैं क्लास में भी

कई बार करवाया है क्वेश्चन। ठीक है? कर इसको रिपीट कर दें। लो बेटा एक बार रिपीट कर देते हैं। मैं दोबारा से इसको बता देता

हूं। क्वेश्चन में बोला है कि px = k बराबर है px = k + 2k है ना मैं इसको सब्जेक्टिव में करवा देता हूं। फिर आपको

उसका ऑब्जेक्टिव में या तो आप ऑप्शन के थ्रू कर लेना या पूरा कर लेना। मैं सब्जेक्टिव में करवा देता हूं। ठीक है?

हमारे को क्वेश्चन में n दे रखा है 6 p और q दोनों ही 1/2 है क्योंकि हेड की बात हो रही है। है ना? हेड की बात हो रही है। है

ना? उसमें बेटा हम लोग क्या बोलते हैं कहा ना उसको हम ऐसे भी कर सकते हैं कि अगर मैं

थोड़ा सा गड़बड़ है यहां पर। अगर सब्जेक्टिव में आ गया तो क्या करेंगे? q की पावर 6 - k p की पावर k 6c + 2 q की

पावर 6 - में k + 2 और इंटू में बेटा p की पावर k + 2 6ोरियल जैसे बेटा जितना हमने पहले किया था

सेम वही कर रहे हैं। इसमें बेटा पावर माइनस है तो बेससेस डिवाइड होंगे। ये एज़ इट इज़

यहां पर भी 6ियल 6 माइनस करा तो बेटा दोनों के साइन चेंज हो गए हमारे पास।

ये भी सेम बेटा पावर माइनस हो रही है तो बेससेस डिवाइड हो जाएंगे और ये k + 2 है तो q की पावर k * मैं q² लिख सकता हूं। ये

p की पावर k * p² लिख सकता हूं। इतनी बात समझ में आती है बेटा? अ सुहानी बेटा क्योंकि क्वेश्चन में हेड्स

की बात करी गई है ना तो इसलिए बेटा इसमें हमारे पास p और q 1/2 हो गया ना बेटा? हेड आने की प्रोबेबिलिटी कितनी है? 1/2 ना आने

की प्रोबेबिलिटी कितनी है? 1/2 6ोरियल से 6ोरियल काटा। मैं अलग-अलग कलर से कट कर रहा हूं ताकि आपको दिखता रहे। q की पावर 6

से q की पावर 6 काटा। p की पावर k से p की पावर k काटा और q की पावर k से q की पावर k काटा। बच क्या गया?

इधर ऊपर कुछ नहीं बचा। ये फैक्टोरियल मैं सारे उधर भेज रहा हूं। ये बन गया 4 - k + 2

ये बच गया 6 - kोरियल ये बच गया kोरियल इधर बच गया p² और q² बेटा p और q बराबर है इसलिए कैंसिल आउट हो के वन आ गया अब

फैक्टोरियल में हमने समझा हुआ है कि हमेशा बड़ा फैक्टोरियल ओपन करते हैं तो इन दोनों में से बड़ा कौन है ये तो ये ओपन होगा

कैसे एक-एक कम हो के सॉरी बड़ा ये है और यहां पर ये बड़ा है तो ये ओपन होगा k + 2 फिर k + 1 और kोरियल

ये ओपन होगा 6 - k 5 - k और 4 - kोरियल और ये इक्वल है 1k kोरियल से kोरियल गया इससे ये चला गया इसको उठा के उधर भेज दिया

हमने k + 2 k + 1 6 - k 5 - k k² + 3k + 2 6 * 5 = 30 - 6k - 5k + k² k² से k² गया ये

बचा 3k + 2 और ये बचा 30 - 11k इसको इधर भेज दिया इसको इधर भेज दिया ये आ गया 14k = 28 k की वैल्यू तो ये हमारे पास एक्चुअल

में ऐसा क्वेश्चन ये बड़े वाला था हां नेक्स्ट क्लास बेटा अब 8 तारीख को होगी

संडे को है ना संडे को हम कहा ना बेटा वो आप तब लगा सकते हो कि जैसे

इस क्वेश्चन में हेड की बात करी है तो लगा सकते हो क्योंकि q और p की वैल्यू सेम आ रही है 1/2 1/2 बट अगर वो सेम नहीं है तो

फिर वो आपका लॉजिक वहां गड़बड़ कर देगा इसलिए मैं एक बार पूरा बताना चाहता हूं यहां चल जाएगा क्योंकि p और q दोनों 1/2

है ठीक है चलो

अब आते हैं बेटा इस क्वेश्चन पे जो हम डिस्कस कर रहे थे। कह रहा है द प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस इन अ सिंगल ट्रायल

इज़ वन। स्मॉल P क्या है? प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस इन अ ट्रायल। प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस इन अ ट्रायल। वो

दे रखी है 0.01। कह रहा है हाउ मेनी मिनिमम नंबर ऑफ़ बर्नोली ट्रायल्स मस्ट बी परफॉर्म्ड? मतलब

कि n बताना है हमारे को। सो दैट प्रोबेबिलिटी ऑफ एटलीस्ट वन सक्सेस प्रोबेबिलिटी ऑफ एटलीस्ट

वन सक्सेस की एक सक्सेस की प्रोबेबिलिटी क्या हो 1/2 हो या 1/2 से ज्यादा हो बेटा क्वेश्चन समझ में आ गया पहले तो मुझे ये

बताओ गाइड गेमर बेटा मैंने एक वीडियो बनाई हुई है YouTube पे है ना वहां आपको मिल जाएगी

कॉमर्स वाला पे या फिर पीडब्ल्यू कॉमर्स वाला क्लास 11 पर मिल जाएगी बेटा ठीक है हां

नहीं है बेटा से प्रिंस क्वेश्चन समझ में आ गया तो यानी कि प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x > 1 > = 1 / 2 प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x > 1 का मतलब

क्या हुआ? 1 - p ऑफ़ x = 0 ये सबको पता है ना कि वन या वन से ज्यादा के निकालने से अच्छा क्या है? भाई जो उल्टा सोचो और वन

में से माइनस कर दो। तो ज़ीरो का सोचा और वन में से माइनस कर दिया। है ना? अब इसको इधर भेज दिया। इसको इधर

भेज दिया। तो 1 - 1/2 या 1 को इधर भेज देते हैं। 1 / 2 - 1

बेटा माइनस साइन यही रहेगा। nc0 q की ^ n p की ^ 0 > इक्वल टू मैम -1 / 2 मैं माइनस से माइनस कट करूंगा तो इनकलिटी क्या हो

जाएगी? माइनस से माइनस कट करूंगा तो इनकलिटी क्या हो जाएगी? कैंसिल इनकिटी क्या हो जाएगी? चेंज। ये आ गया वन। ये q

की पावर n ये आ गया वन इज़ लेस < = 1 / 2 बेटा यहां तक समझ में आ गया सबको? जल्दी से बताओ। यस और नो।

हां बेटा वो जब एलपीबी की बारी आएगी सिंह साहब तब करेंगे बेटा। हां बेटा अलन ललन कुमार बेटा मैं तो

बोलूंगा कि करो। Q की पावर N अब Q क्या है हमारे पास? अगर प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस इन अ ट्रायल 0.01

है तो Q कितना आएगा? यानी कि 0.99 आएगा। तो 0.99

की पावर nस < इक्वल टू में 1/2 अब ऐसे क्वेश्चन अच्छा यार इस क्वेश्चन में ना मेरे से गलती है कि इस क्वेश्चन में ना

log की वैल्यूज़ दे रखी अगर किसी के पास सैंपल क्वेश्चन पेपर है 2025 का तो बेटा उसमें ना वैल्यू्यूज दे रखी थी log की वो

यहां पर इंक्लूड करना रह गई है। तो यहां पर अब हम क्या करेंगे? टेकिंग log बोथ साइड्स करेंगे।

है ना? यहां पर वो बेटा log लेना पड़ेगा क्योंकि वैल्यूज़ ऐसी है ना वन के टर्म्स में नहीं है।

तो log 0.99 की पावर nस < इक्वल टू में ये 0.5 हो जाएगा। हमारे को पता है कि यहां पर log की प्रॉपर्टी लग गई। बेटा अगर किसी के

पास पेपर है अगर ये वाला तो उसमें log की वैल्यूज़ दे रखी होंगी। एक बार चेक करना। lग 0.5

/ lग 0.99 हम

नहीं ईशांत बेटा है ना ये आप इसके आगे कंप्लीट कर लेना यह होमवर्क है। है ना? इसको मैं होमवर्क

क्वेश्चन टू दे रहा हूं। ठीक है? देखिए बेटा

बेटा 2025 वाला है। आदित्य बेटा यहां पर उसके अलावा बनेगा नहीं ना वैल्यूस ही ऐसी है हमारे पास

जनरली जो इस तरह का क्वेश्चन होता है उसमें जो हमारी बुक्स वगैरह में क्वेश्चन था उसमें ये 1/2 होता है और इधर यहां पर

कुछ हमारे पास 9 होता है तो वो आपके पास हो जाता है पूरा सॉल्व हो क्या बेटा

चलो यह देखो वो मैं क्वेश्चन कह रहा था कि एक असरशन रीजन है कि रेंडम वेरिएबल x है जो

बाइनमियल डिस्ट्रीब्यूशन फॉलो करता है। तो मीन इज़ ऑलवेज लेस दैन वेरियंस। क्या ये स्टेटमेंट ट्रू है? पहले तो असरशन बताओ।

मीन इज़ लेस दैन इज़ ऑलवेज लेस दैन वेरियंस। अच्छा कृष्णा ने वैल्यू ढूंढ के दे दी भाई। कृष्णा ने वैल्यू ढूंढ के दे दी।

बहुत बढ़िया करा कृष्णा भाई तूने। कृष्णा ने वैल्यू दे रखी है कि सर क्वेश्चन में दे रखा है कि lग2 है

0.303010 सॉरी 30010 और log 0.99 कितना है?

अच्छा 1 log 99 दे रखा है उसमें। कितना? 1.9956

भाई ने बोला है। है ना? पेपर में यह वैल्यू दे रखी है। तो हम लोग डेसिमल हटा के बात करेंगे बेटा। तो

लॉग तो लगाएंगे लगाएंगे बट डेसिमल हटा के बात करेंगे। तो ये n लॉग जब मैं इसको करूंगा तो 99 /

100 करूंगा। n लॉग 99 / 100 करूंगा। और इसको lग 1/2

इसको लिखेंगे lग 99 - lग100 और इसको लिखोगे log1 - में log 2 बेटा log1 आपको पता है ज़ीरो होता है

और log 100 होता है हमारे पास टू क्योंकि log 10 का स्क्वायर हो जाता है ये और ये माइनस में log 2 फिर आप बेटा

वैल्यूज़ पुट करके इसको सॉल्व कर काफी बड़ा क्वेश्चन है ये ठीक है चलो

तो ये बताओ बेटा कि रीजन हमारे पास क्या है? हमने यहां पर पढ़ा है हमेशा कि वेरियंस हमेशा क्या होता है? छोटा होता है मीन से।

तो बेटा असर्शन ही हमारी गलत हो गई। तो हम बोल सकते हैं कि असर्शन इज़ फॉल्स। असर्शन इज़

इज़ फॉल्स। ठीक है? क्लियर है बेटा इतना? हां,

क्लियर है? अब आ जाते हैं बेटा पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन पर फटाक से। फिर नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन।

अब जल्दी-जल्दी हो जाएगा क्योंकि पोइजन आसान है। पोइजन में ज्यादा कुछ नहीं है। पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन हमारे पास क्या है

बेटा? हम बोल सकते हैं कि इट इज़ अ लिमिटिंग केस ऑफ़ ये क्या है हमारे पास? एक लिमिटिंग केस है। किसका? बर्नोल या

बायनॉमियल डिस्ट्रीब्यूशन का। और बेटा सबसे पहले अगर मैं आपसे पूछूं अगर किसी को पता है या याद है मैं ऐसे बोलूंगा

कि हम पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन यूज़ क्यों करते हैं या यूज़ कब करते हैं? है ना? पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन हम यूज़ कब करते हैं

या क्यों करते हैं? हां बेटा एग्जाम डेज़ में कुछ ना कुछ जरूर आएगा सेशन बेटा। है ना? जल्दी से मुझे बताओ। हम लोग पोइज़न

डिस्ट्रीब्यूशन यूज़ कौन से केस में करते हैं? जहां पर बहुत कम टाइम पर जो हमारी प्रोबेबिलिटी ऑफ सक्सेस है बहुत छोटी है।

भाई जैसे सपोज़ करो कि मैंने बोला कि हर मिनट में कितने एक्सीडेंट हो रहे हैं? क्लियर अगर हर मिनट किसी चौक से 1000

गाड़ियां निकल रही है तो किसी एक का एक्सीडेंट हो रहा है। तो 1/ 1000 तो प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस इन अ स्मॉल टाइम

इंटरवल गैप इज़ वेरी वेरी लो। है ना? ना प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस इनफ। हां बिल्कुल आप जो बोल रहे हैं वो भी बहुत सही बोल रहे

हैं कि जब हमारे पास नंबर ऑफ़ ट्रायल्स इनफाइनाइट जाएं और प्रोबेबिलिटी बहुत ज़ीरो हो जाए। है ना? मतलब वो एप्रोच की बात है।

अब n अप्रोचेस टू इनफिनिटी का मतलब ये नहीं कि n इनफिनिटी है। मतलब नंबर ऑफ़ जो हमारे ट्रायल्स हैं वो ज्यादा हैं। 100,

200, 300, 10000, 2000 ऐसे हैं। और उनकी प्रोबेबिलिटी बहुत छोटी है। 0.01 1 इस तरह से नहीं ज़ीरो पॉइंट में चल रही है हमारे

पास। तो यहां पर जो px = r सक्सेस होता है उसका फार्मूला e पावर -m m पावर r / rोरियल

और यहां पर m क्या होता है? मीन बोल लो या वेरियंस बोल लो। क्योंकि पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन में मीन और

वेरियंस दोनों क्या होते हैं? सेम। और अगर मैं आपसे पूछूं मुझे फार्मूला बता सकते हो?

मीन का फार्मूला बता सकते हो क्या होता है मीन हम

बना सकते हो बेटा बहुत बढ़िया कि मीन का फार्मूला है NP और इसमें ना हमारे पास पास एक रेकरेंस

फार्मूला भी होता है। मैंने क्लास में भी कराया हुआ है। वन शॉट में भी करवाया हुआ है। रेकरेंस फार्मूला है ना। इसका मैं

प्रूफ भी तुम्हारे को जब एग्जाम डज़ में मैंने प्लान करा हुआ है कि अभी तो मैंने सिर्फ पीवाईक्यूस रखे हुए हैं यहां पर।

एग्जाम डेज़ में इसका हम प्रूफ भी करेंगे। अगर मैं कहीं भूल जाऊं मुझे याद जरूर दिला देना। रेकरेंस फार्मूला क्या कहता है? कि

जो p ऑफ़ x = 1 है। वो किसके बराबर होगा? अब जैसे चलो इसमें थोड़ा-थोड़ा बता ही देता हूं मैं कि px = मैं आपसे 0 बोलूंगा

तो वो क्या रहेगा? e की पावर -m r 0 है तो m की पावर 0 1 0 1 वो यही रहेगा। अब अगर मैं पूछूं p ऑफ x = 1 तो आप बोलोगे e की

पावर -m m की पावर 1 / 1 तो ये आ गया m * e की पावर -m तो e की पावर - m तो यही है। ये एक तरह से प्रूव ही कर रहे हैं हम लोग।

एक तरह से प्रूव ही कर रहे हैं। तो p ऑफ़ x = 1 किसके आएगा हमारे पास? m टाइम्स ऑफ़ p ऑफ़x = 0 अब बस वो उसी ऑर्डर में चलता

जाएगा। फिर p ऑफ़ x = 2 किसके बराबर आएगा? m / 2 टाइम्स ऑफ़ px = 1 के आप चाहो तो उसको प्रूफ इस तरह से दिखा सकते हो कि

देखो कि जो p ऑफ़ x = 2 आएगा वो आएगा e की ^ - m² / 2 आप बोलोगे कि सर m / 2 बाहर छोड़ दो।

2 होता है 2 बचेगा क्या? e ^ -m और n ये बचा। तो आप बोल दोगे कि सर ये m/2 टाइम्स ऑफ़ px = 1 है। तो वहां से हमारे पास एंड

सो ऑन अगर मैं आपको बोलूं जैसे p ऑफ़ x = 3 है वो किसके बराबर आएगा? यहां पर p ऑफ़ x = 2 तो आएगा आएगा। बट यहां पर क्या आएगा?

अगर मैं आपसे पूछूं। है ना? जो हमारे पास जो हमारे पास रेकरेंस फार्मूला चल रहा है उसमें यहां पर क्या आएगा?

एनीवन एनीवन हैदर भाई इसके बाद मतलब आज के बाद पूछ रहा

है बेटा या फिर इस टॉपिक के बाद पूछ रहा है बेटा इसके बाद नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन करेंगे और अगर तो नेक्स्ट क्लास का पूछ

रहा है तो उसमें कैलकुलस करेंगे संडे को बहुत बढ़िया कि सर यहां पर m / 3 आएगा। यहां पर m / 3 आएगा। तो इन जनरल मैं बोल

सकता हूं कि p ऑx यहां पर हमेशा एक ज्यादा रहेगा। तो px = k + 1 किसके बराबर रहेगा? m टाइम्स ऑफ़ k + 1 और एक इससे पहले वाला।

ये है मेन मेरा रेकरेंस फार्मूला। बट ये ऐसे आता है। है ना? ये ऐसे आता है।

चलो अब इसमें क्वेश्चंस देखो बेटा कैसे-कैसे आते हैं। बहुत देर हो गई एमसीक्यू करें। चलो जी बहुत देर हो गई थी

एमसीक्यू करें। अब एमसीक्यू करते हैं। फटाफट से सॉल्व करो। वेरियंस दे रखा है टू। बेटा वेरियंस दे रखा है टू। यानी कि m

रखा है टू। आपसे पूछ लिया है p ऑफ़ x = 2 कितना आएगा? डायरेक्ट फार्मूला लगाओ। बताओ क्या आंसर आ रहा है?

हम अच्छा कप मोन से मैं भूल गया यार ओो तुमने तो याद दिला दिया चलो संडे तक का वेट करना

मुझे Instagram पे याद दिला देना तो e की पावर -m m² / 2 तो e की पावर पावर -2 2 / 2 आ गया 2 तो ट्वाइस ऑफ़ e ^ -2 मेरा

आंसर आ रहा है यानी कि 2 / e² पावर नेगेटिव का मतलब रेसिप्रोकल पावर नेगेटिव का मतलब रेसिप्रोकल ईजी पीजी

लेम्स की ईजी भाई पोइजन सबसे बढ़िया चीज है नंबर दिलाने वाली चीज है और आपको इसके क्वेश्चन देखो भरभ के मिलेंगे यह 2023

कंपार्टमेंट में चलो जी सिमिलर काइंड ऑफ क्वेश्चन मिल गया बेटा हमारे को। सिमिलर काइंड ऑफ क्वेश्चन मिल गया। इफ m इज द मीन

ऑफ पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन देन p ऑफ़ x = 0 है ना? r की वैल्यू ज़ीरो है। मतलब x = 0 हमसे पूछ लिया है। और सबसे आसान क्वेश्चन

कि p ऑफ़ x = 0 हमेशा किसके इक्वल होता है? इट इज़ = e रे पावर -m किसके इक्वल होता है? e रे टू दी पावर -m

के बराबर होता है। डायरेक्ट क्वेश्चन ये बहुत बढ़िया क्वेश्चन लगा था। बच्चे

बहुत कंफ्यूज हुए थे। हालांकि कंपार्टमेंट वाला अपना कोई स्टूडेंट था नहीं बट जब क्लास में किया था हमने ये तब बच्चे

कंफ्यूज थे डरे थे तो मैंने उनको यही बोलता भैया डरने की जरूरत नहीं जो क्वेश्चन दिखता गंदा है वो होता सबसे आसान

तरीके से है क्वेश्चन क्या कह रहा है इफ x इज़ अ पोइजन वेरिएट सच दैट क्वेश्चन में ये बोल दिया

कि p ऑफ़ x = 0 बराबर है p ऑफ़ x = 1 और वो अल्फा के बराबर है। तो मुझे प्रूफ यह करना है।

तो मुझे प्रूफ यह करना है। अब देखो यहां पर p ऑफ़x = 0 बराबर है p ऑफ़x = 1 के। पहले मैं इस चीज को पकड़ता हूं। इसका मतलब e की

^ - m की ^ 0 / 0 ये e की ^ - m की ^ 1 / 1 ये बात समझ में आती है? मोमोज भाई अभी मैडम ने ऑर्डर करे

हैं। मैडम बताएंगी कब आएंगे ऑर्डर हमें नहीं पता। ये हमारे पास वन बचा और ये बचा m तो मेरे

पास m की वैल्यू आ गई वन। यानी कि मेरे पास मीन कितना आ गया? वन आ गया। अब अगेन मैंने अब पहले इन दोनों को पकड़ा। अब मैं

इन दोनों को पकड़ लेता हूं। कि भैया px = 0 अलफा के इक्वल है। तो e की पावर -m आ गया अल्फा के इक्वल। तो m आ गया

है हमारे पास वन। हेंस प्रूव्ड। बताओ क्या था इस क्वेश्चन में? कुछ था इस क्वेश्चन में?

m1 निकालना था बस। एक बार भाई इन दोनों को लिया। एक बार इन दोनों को पकड़ लो। काम ही खत्म।

बच्चे कह रहे हैं मैम ने आपको झूठा दिलासा दे दिया मोमोस का। चलो जी पूछते हैं एक बार।

क्या बात है। ठीक है। देखो बेटा अगेन एक और सिमिलर टाइप का क्वेश्चन अगर आप यहां पर देखो तो क्वेश्चन

की जो टाइप है वो सिमिलरिमिलर जा रही है। सिस्टम गेमर यार देखेंगे मैंने सोच तो रहा हूं 12:00 बजे का बट जो मुझे बेटा स्लॉट

मिलेगा मैं उसी में करवा पाऊंगा। तो 4:00 बजे की अवेलेबिलिटी मिलेगी YouTube पे तो 4:00 बजे की आएगी। वरना मैं तो सोचा था

12:00 बजे तक से शुरू कर दूं। कह रहा है x एक पोइजन वेरिएबल है सच दैट p ऑफ़ x = 1 बराबर है ट्वाइस ऑफ़ p ऑफ़ x = 2

के। आप बताओ ये भी 2023 का क्वेश्चन है बेटा। तो e की पावर -m m की पावर 1 / 1

e की पावर -m m की पावर 2 / 2 ये तो कैंसिल हो गया एक m से m चला गया तो m किसके बराबर आ रहा है ये 2 / 2 बचा

b आ रहा है अच्छा m1 आया है सॉरी हमें तो p ऑफ़ x = 0 निकालना है ना

तो बी आ गया। क्या बात है। अब देखो कितने डायरेक्ट क्वेश्चन आते हैं।

बहुत सारे क्वेश्चंस मिलेंगे। हम सारे नहीं करेंगे। पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन के क्वेश्चन सिर्फ डिस्कस करेंगे। सिर्फ क्या

करेंगे? डिस्कस करेंगे। ठीक है? कह रहा है इट इज़ गिवन दैट 2% ऑफ द स्क्रू मैन्युफैक्चर बाय अ कंपनी आर डिफेक्टिव्ड।

तो यानी कि प्रोबेबिलिटी दैट स्क्रूज़ आर डिफेक्टिव

वो है 2% यानी कि 2 / 100 यानी कि 0.02 यूजिंग पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन। बोल दिया बेटा पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन लगानी है।

फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट अ पैकेट ऑफ़ 100 स्क्रू। तो n कितना आ गया? नंबर ऑफ़ ट्रायल्स 100। कह रहा है कि प्रोबेबिलिटी

अ ऑफ नो डिफेक्टिव स्क्रू। चलो मुझे कमेंट में ये बताओ कि अगर मुझे नो डिफेक्टिव स्क्रूज़ निकालनी है तो यहां पर अब देखो

एग्जाम में कैसे मेंशन करोगे आप? पहले यह देख लेना। है ना? एग्जाम में देखो कैसे करेंगे। एग्जाम में सबसे पहले ऐसे

लिखेंगे। लेट लेट कैपिटल x बी अ रेंडम इवेंट। ध्यान से समझना बेटा। लेट कैपिटल x बी अ रेंडम

इवेंट व्हिच डिनोट्स दैट अ पैकेट ऑफ स्क्रू इज़ डिफेक्टिव।

पैकेट ऑफ स्क्रू इज़ डिफेक्टिव। है ना? इस तरह से आप पहले कैपिटल x बताओगे क्या आएगा? फिर p आ

जाएगा। अब आपको इसमें क्या फाइंड आउट करना है? p ऑफ़ x = 0 फाइंड आउट करना है। सीधी-सीधी बात है भाई।

अब कुछ करने के लिए बचा ही नहीं है इसमें। इसका फार्मूला आपको पता है e की पावर -m अब m निकालना है। m का फार्मूला पता है np

तो 2 / 100 * में 100 तो m आ गया 2 और यार बताओ भाई पोइजन के नंबर मतलब सबसे मस्त नंबर है पोइजन से पोइजन कहो इसका नाम

पोइजन है बेटे नंबर भाई बड़े ही मधुर देता है बड़े ही मीठे देता है लो जी अगला क्वेश्चन देखो यह देखो पहले भाई पहले तुम

देखो है ना मैं क्यों करवा रहा हूं पीवाईक्यूस यह 2023 कंपार्टमेंट में आया

ये 2023 में है। पहले मेन में आया फिर कंपार्टमेंट में आया। सेम क्वेश्चन है। देख ले मेरे भाई। बस अब क्या पूछ लिया?

देयर आर थ्री डिफेक्टिव आइटम्स। तो इस बार क्या पूछ लिया है? p ऑफ़ x = 3 पूछ लिया है।

कोई दिक्कत है? प्रैक्टिस क्वेश्चन डाल के छोड़ दूं। चल देख बेटा। अगला क्वेश्चन देख।

स्टैंडर्ड डेविएशन ऑफ अ पोइजन रेवल x इज 3 स्टैंडर्ड डेविएशन मतलब कि अंडर रूट m तो यहां से m आ जाएगा थ्री क्योंकि बेटा

स्टैंडर्ड डेविएशन क्या होती है? अंडर रूट ऑफ़ वेरियंस और पोइज़न डिस्ट्रीब्यूशन में अंडर रूट ऑफ़ वैरियंस क्या होता है अपने

पास? m हो गया। प्रोबेबिलिटी ऑफ़ px > 0 अब भाई x > 0 तो

बहुत ज्यादा हो जाएंगे। हमें तो n भी नहीं पता कितना है। तो इसका तोड़ क्या निकलेगा? इसका तोड़ क्या निकलेगा?

इसका तोड़ क्या निकलेगा? इसका तोड़ क्या निकलेगा भाई? x > 0 तो भाई हम 1 2 3 4 पता नहीं कहां तक जाना पड़ेगा।

तो उसका तोड़ क्या निकलेगा कि सर उल्टा सोच के माइनस कर दो वन में से तो 1 - e की पावर -m 1 - e की पावर -3

तो 0.95 आ गया आंसर है कुछ मुश्किल है मुश्किल कुछ लो बेटा ये केस स्टडी देखो

ये केस स्टडी देखो करेंगे नहीं। सिर्फ डिस्कस करेंगे। अ फ़ैक्ट्री प्रोड्यूसेस बल्ब ऑफ़ व्हिच 6% आर डिफेक्टिव बल्ब्स।

तो, स्मॉल p मिल गया 6 / 100. फाइंड द प्रोबेबिलिटी रेट इन अ सैंपल ऑफ़ 100 बल्ब्स। तो, n मिल गया 100. सबसे पहले

मैंने निकाल दिया m. NP, वह आ गया है सिक्स। वो मुझे इससे भी पता चल रहा है कि e की पावर -6 है। अब मुझे क्या बोला है कि

फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट इन अ सैंपल ऑफ़ 100 बल्ब सिलेक्टेड एट रेंडम नन ऑफ़ द बल्ब इज़ डिफेक्टिव। कि कोई भी बल्ब डिफेक्टिव

नहीं है। तो मुझे क्या फाइंड आउट करना है? p ऑफ़ X = 0 फाइंड आउट करना है। हो जाएगा? जल्दी बताओ। हो जाएगा यस और नो?

मुझे बताओ हो जाएगा? यस और नो? फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट द सैंपल हम बल्ब्स हैज़ एग्जैक्टली टू डिफेक्टिव

बल्ब्स। तो P ऑफ़ X इक्वल टू हो जाएगा नहीं हो जाएगा भाई? फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट द सैंपल ऑफ़ 100

बल्ब विल इंक्लूड नॉट मोर दैन वन डिफेक्टिव। मतलब p ऑफ़ X < = 1 नॉट मोर दैन वन का मतलब लेस दैन इक्वल टू वन। इसका

मतलब 0 वाला भी आएगा सर और वन वाला भी आएगा सर। यह बनेगा e की पावर -m ये बनेगा e की पावर

-m इंटू में e की पावर -6 हो गया। कॉमन आ गया और ये 1 + 6 आ गया। 7 टाइम्स ऑफ़ e की पावर -6 आ गया। और यह दे रखा है

कोई दिक्कत इसमें? भाई कोई दिक्कत? लो भैया तुम्हारी

फुल डिमांड पर खाना आ गया। हां देखो तुम्हें पहले ही पता लग गया कि

मोमोज़ आ गए। बेटा नॉट मोर देन वन बोला है ना कि वन से ज्यादा नहीं होना चाहिए।

नॉट मोर देन वन का मतलब वन से ज्यादा नहीं होना चाहिए। तो वन हो सकता है या वन से कम हो सकता है?

नॉट मोर देन वन का मतलब क्या हुआ? तो वन हो सकता है या वन से कम हो सकता है? तो भाई लो

तो मोमोज लागू। मैडम ने तंदूरी वाले मंगाए हैं। देख लो। हां हां यार मेरे मुंह में पानी आ रहा है। रुका नहीं जा रहा। खा ही

लेता हूं भाई। है ना? क्या करूं? तुम देख रहे हो। मुंह में कितना पानी आ रहा है। पता लगेगा।

देहरादून में बाढ़ आ जाएगी। इसलिए पहले एक खा लेते हैं। मोक्ष है भाई। मोक्ष। आहा स्वाद ही आ गया।

यार एक बच्चा कुछ कमेंट कर रहा था। आ हा अब यार थर्ड पार्ट का यह बी पार्ट का आंसर जब तुम बताओ जब तक मैं आ

जीवन का सार यही है। जीवन का प्रचार यही है। चलो यार तुम जल्दी करो।

तो फाइंड द मीन एंड वेरियस ऑफ़ द डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ़ नंबर। तो भैया मीन हमारे पास क्या है? m वो तो निकाल चुके

हैं। सिक्स वेरियंस क्या है? वह भी यही है भाई। यही मीन है। यही वेरियंस है। तुषार कह रहे हैं कि चिढ़ा रहे हैं। पागल

है बेटा मैं तुम्हें चढ़ाऊंगा। अरे ये देख पागल है। मैं तुम्हें चिढ़ा रहा हूं। भाई देखिए बहुत बढ़िया मोमोज़ हैं। मैं अरे

पागल चिढ़ा नहीं रहा हूं। मैं चिढ़ाचढ़ा के खा रहा हूं। चलो भाई

ये देखो अभी 2025 में क्वेश्चन आया हुआ जल्दी से बताओ तुम लोग रिजल्ट सेलिब्रेशन पे आओगे तो

तुम्हारे को पक्का मोमोज खिलाऊंगा बट उसके रिजल्ट सेलिब्रेशन में आना पड़ेगा। उसके लिए रिजल्ट सेलिब्रेशन में आना

पड़ेगा। तो कह रहा है मोटैटी रेट दे रखा है। यानी कि स्मॉल p दे रखा है। n दे रखा है। y है

कुछ बेटा इसमें है इसमें कुछ यस और नो जल्दी बताओ। मत करो।

हां ये विवेक ने भाई बड़ा सही काम करा। कह रहा है सर मैंने है ना आपको देखकर मोमोज़ ऑर्डर कर दिए। अरे यार जीवन का सार ही

मोमोज़ में है। तो भाई PQ है। डायरेक्ट क्वेश्चन है। हो जाएगा।

इजी है। चलो अब हमारी आखिरी डिस्ट्रीब्यूशन बची है नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन। बट उसको शुरू करने से

पहले क्या हम पांच या तुम ना भाग जाओगे? मैं इसलिए ना ब्रेक नहीं दे रहा। तुमसे बातें करते-करते मोमोज खाऊंगा।

तुम है ना? तुम अपने कोई भी बात करनी है, कुछ पूछना है, तुम कमेंट करते जाओ। हम मैं खाते-खाते तुम्हारे को आंसर देता रहूंगा।

बट हां, सामने नहीं खाऊंगा यार। है ना? इट्स नॉट अ गुड। वह तो चलो तुम्हें तुम्हारा प्यार है तो एक पीस मोमो आपके

साथ शेयर कर लिया। इसी बहाने तुम्हारा मुंह भी मीठे की जगह पर मोमोज़ करवा दिया। है ना? तो मैं तुम्हारे कमेंट पढ़ता

रहूंगा। है ना? बट ये 5 मिनट ब्रेक है। पर ये 5 मिनट ब्रेक जो ब्रेक है वो बातें करने वाला ब्रेक है। मैं यहीं हूं।

बीच-बीच में कुछ-कुछ खाता रहूंगा साइड में होके। हम

यार कैलकुलस के लिए मैंने क्या बताया बेटा? अगर तूने अब तक वन शॉट नहीं देखा है भैया सारे सुनो जितने भी हैं कैलकुलस वाले

क्योंकि कैलकुलस में ना हमने वन शॉट में पीवाईक्यूस नहीं करे हैं। पहली बात तो आप लोग कैलकुलस में सबसे पहले काम क्या करो?

अब वन शॉट कंप्लीट कर लो। डेरिवेटिव्स वाला, एप्लीकेशन डेरिवेटिव वाला, इंटीग्रेशन वाला पर बहुत बड़ा है।

तो, मैं आपको यह बोलूंगा कि इंटीग्रेशन में सिर्फ सब्सीट्यूशन तक कर लेना। वही हमारा ज्यादा इंपॉर्टेंट पार्ट है। बाकी

जो मैं करवाऊंगा सेशन में बस उतना करना है। है ना?

अरे वेरी गुड। वैदही बेटा 100 लाने तूने। रिजल्ट सेलिब्रेशन से मिलने आना है मुझसे। है ना? बहुत सारे बच्चे हैं। है ना? पर

मैं नाम नहीं लूंगा इसके बाद। ये हमारी आपस में इंस्ट होगी। हम नाम नहीं लेंगे वरना नजर लग जाएगी। एंड नजर इज़ रियल। तो

बहुत बच्चे हैं बहुत मेहनत कर रहे हैं और ईमानदारी से मेहनत कर रहे हैं और मचा रहे हैं आप इन्हें प्री बोर्ड्स में भी और

आओगे। अभी जो प्री बोर्ड्स में ऊपर नीचे हो भी रहा है बेटा बोर्ड्स में सब आप फोड़ के ही आने वाले हो। ये मुझे पूरा पता है।

तुषार बेटा एक बार मुझे बताना कौन से नोट्स कह रहा है बेटा जो हम अभी क्लास में कर रहे हैं वह वाले नोट्स से कोई अलग से

नोट्स हम आशु बेटा आपका

शायद कमेंट मैंने मिस कर दिया हो। एक बार बता दो। हां हां बेटा आशु ले सकते हो आप बट मेक

श्योर कि अपने स्कूल वालों से रिटर्न में ले लो क्योंकि अभी एक और बच्चा है हमारा मैं उसका नाम भूल गया। निशांत है। क्या

नाम निशांत गोयल था कि उसके लास्ट मोमेंट पे स्कूल वालों ने अप्लाई हटा दिया। कोर दे दिया इस समय जनवरी में या अभी पिछले

हफ्ते। कह रहे हैं कि नहीं वो 11थ से पढ़ रहा है हमारे साथ। 11th से अप्लाइड पढ़ रहा है वो। अब उसको बोल रहे हैं लास्ट ईयर

भी एक बच्चे के साथ ऐसा किया था। उसका नाम आशीष शेखर था। 47 मार्क्स आए उसके बेचारे के फिर कोर

में। जनरल अप्लाइड में सही मचा रखा था उसने। अब जनवरी में जाकर उसको बोल दिया कि भैया आपके पास कोर नहीं अपना राइड नहीं

कोर रहेगा। अब पूर्वी बेटा 100 रखो 95 तक मैं बोल सकता हूं। आप

आराम से ला सकते हो। उसके लिए बेटा थोड़े एक्स्ट्रा एफर्ट लगाने पड़ेंगे। हम अच्छा तुषार मैं उसका पता करता हूं बेटा।

बेटा बेटा प्रवेश बैच से कर ले प्रिंस कैलकुलस में बेटा डर लग रहा है सुदर्शन भाई यार वन शॉट में बहुत बढ़िया

कराया हुआ है मुझसे भी नहीं आ रहा तो बेटा फिर तो मैं रिवीजन सेशन में कैसे बोलूं तू उसको करके रख फिर रिवीजन सेशन में जो जो

कराऊं वो जरूर कर लेना चलो बेटा स्टार्ट करें अब नॉर्म ल डिस्ट्रीब्यूशन

कहा ना बेटा देखो मैंने प्लान करा हुआ है ये एक अलग से एमसीक्यू सेशन एक अलग से केस स्टडी सेशन तो उसमें क्योंकि देखो केस

स्टडी में ना कुछ अलग सा है नहीं आप ये समझ लो कि आपके पास टू मार्कर वाले या वन मार्कर वाले सब्जेक्टिव में आ रहे हैं एक

साथ बस अलग से कुछ नहीं है हां कुछ-कुछ केस स्टडी है जो तंग करने वाली है वो मैं आपको सिखाना चाह रहा हूं बट उसके लिए अलग

से मुझे वो एक सेशन लेना पड़ेगा हां हां आशु भाई बिल्कुल आप टेंशन मत लो 12th में आप हमारा बैच लो और कोई जरूरत

नहीं अगर तुम्हारे को 11th का ज्यादा कुछ नहीं आता तो मैं देख लूंगा। हां

कोई बात नहीं एबल बेटा वो बोर्ड में प्रैक्टिस करो हो जाएगा। तो कांसेप्ट देख मुझे पता है क्या आते हैं सारे तू शुरू से

पढ़ रहा है मुझे पता है तेरा बेटा तो उसके लिए परेशान होने की जरूरत नहीं है। बिल्कुल आ सकते हैं बेटा 10 बिल्कुल रेखा

बिल्कुल गारंटी के साथ बोल सकता हूं इस बात को। अह नविता बेटा एक बार भी रिवीज़ नहीं करते

बेटा पहले वन शॉट से अभी टाइम है निपटा दो रिवीज़ फटाफट से। अह पूर्वी जैसे अह केवी का सपोर्ट मटेरियल पूरा सॉल्व करो बेटा जो

सिलेबस के अंदर वाला पार्ट है ना जो आउटसाइड सिलेबस वाला है वो स्किप करते जाओ वो कर लो और सीबीएसई सपोर्ट मटेरियल फिर

मैं बोल सकता हूं कि यस यू आर रेडी फॉर दिस। चलो।

सो देखो नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन हमारे पास क्या है? जिसको हम लोग सिमेट्रिकल डिस्ट्रीब्यूशन भी बोलते हैं।

अब अगर मैं बोलूं कि सिमेट्रिकल डिस्ट्रीब्यूशन का मतलब क्या है? तो क्या आप में से कोई मुझे बता सकता है कि यहां

पर सिमेट्रिकल डिस्ट्रीब्यूशन का मतलब क्या होगा? जब हम नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन की बात कर रहे हैं तो यहां पर सिमेट्रिकल

डिस्ट्रीब्यूशन का मतलब क्या होगा? अरे कोई बात नहीं आशु बेटा हाथ जोड़ने की जरूरत नहीं है बेटा। इट्स माय वर्क।

हां दर्शन भाई मैंने बोला तो सही भाई आराम से आराम से आ सकते हैं ज्यादा भी आ सकते हैं बेटा कोर मैथ के लिए बेटा अनुराग सर

बेटा सेशन ले रहे हैं उनसे पूछना वो वो ज्यादा बढ़िया बताएंगे तेरे को सिस्टम गेमर मेरी तरफ से इस बार स्पेशल

फॉर्म में एमसीक्यू आ सकता है जैसे मैंने क्लास में करवाया हां तो हमारे पास सिमिट्री डिस्ट्रीब

डिस्ट्रीब्यूशन का मतलब क्या है कि ऐसी डिस्ट्रीब्यूशन जिसके अंदर मीन मीडियन और मोड तीनों बराबर होते हैं। पहले तो हम अभी

नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन का मतलब समझते हैं। है ना? कि एक ऐसी हमारे पास डिस्ट्रीब्यूशन हमारे पास जिसमें मीन,

मीडियन, मोड तीनों क्या होते हैं? बराबर होते हैं। ठीक है? वैसे ही बेटा प्रॉब्लम नहीं होगी। देखो मैं जो सिखा रहा हूं ना

उसको हिसाब से चलो। कोई दिक्कत नहीं होगी। तो अगर मैं बोलूं कि ये मेरे पास जो मेरा रैंडम वेरिएबल x है, है ना? ये मेरा रैंडम

वेरिएबल जो x है ये कोई भी रियल नंबर की वैल्यू ले सकता है। मेरा जो रैंडम वेरिएबल x है बेटा वो

कोई भी रियल नंबर वैल्यू ले सकता है। मतलब वो इनफाइनाइट वैल्यू ले सकता है। तो अगर मैं डिस्ट्रीब्यूशन को यहां पर

एक्सप्लेन करूं तो हमारे पास कुछ इस तरह से डिस्ट्रीब्यूशन रहती है। नॉर्मल

डिस्ट्रीब्यूशन कुछ इस तरह से रहती है। कि वो सिमिट्रिकल होती है हमारे पास अबाउट

मीन। सेंटर में क्या होता है बेटा हमारे पास? मीन। है ना? जिसको हम डिनोट करते हैं किससे? μ

से। जिसको हम डिनोट करते हैं किससे? μ से। सिमेट्रिकल डिस्ट्रीब्यूशन का मतलब क्या है? कि हमारे पास जितनी भी ऑब्जरवेशन है

उसमें जो हमारे पास सेंट्रल टेंडेंसी यानी मेरा जो मीन आ रहा होगा क्योंकि सारी सेंट्रल टेंडेंसी बराबर है बट हम लोग

सिर्फ मीन के पॉइंट ऑफ व्यू से पढ़ेंगे तो मेरा जो मीन आ रहा होगा वो पूरी डिस्ट्रीब्यूशन को दो इक्वल पार्ट्स में

डिवाइड कर रहा होगा जो एक्चुअल में मीडियन का काम होता है कि मेरी 50% ऑफ़ द ऑब्जरवेशन

50 अभी मैं बेटा प्रोबेबिलिटी की बात नहीं कर रहा अभी मैं सिर्फ नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन की बात कर रहा हूं कि मेरी

50% ऑब्जरवेशन इस मीन के राइट साइड पर होगी और रिमेनिंग 50% ऑब्जरवेशन मेरे पास इस मीन के लेफ्ट साइड पर होगी।

पहली बात तो ये समझ में आती है। पहली बात तो मैं इसको पॉइंटर्स में करवाऊंगा आपको। वरना तो थ्योरी इसकी बहुत ज्यादा हो

जाएगी। मैं आपको इसको पॉइंटर्स में कराऊंगा जो हमारे को क्वेश्चन सॉल्व करने के लिए एग्जामिनेशन पॉइंट ऑफ व्यू से बहुत

जरूरी है। अब अभी तक जो हम लोग सारे के सारे प्रोबेबिलिटी पढ़ के आ रहे हैं तो उसमें जो भी हम फॉर्मूले अप्लाई कर रहे थे

वो हम लोग एक सीधा वैल्यू के थ्रू करते हैं। एक फ़ूले के थ्रू करते हैं। बट नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन में

इन नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन प्रोबेबिलिटी इज़ कैलकुलेटेड थ्रू बाय एरिया अंडर नॉर्मल कर्व

कि एरिया कितना कर्व के अंदर आ रहा है उसके बेसिस पर हम लोग प्रोबेबिलिटी को क्या करते हैं? कैलकुलेट करते हैं। अब

बेटा अगर हमारे पास कोई भी कर्व है ये वाला जो कर्व है इसको हम नाम बोल रहे हैं क्या? नॉर्मल कर्व। नॉर्मल कर्व की शेप

पहला क्वेश्चन ऐसा मिलता है एमसीक्यू में जो हमारी नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन का नॉर्मल कर्व है उसका हमारे पास शेप क्या होता है?

उसका शेप क्या होता है? तो इसको हम लोग बोलते हैं बेल शेप्ड। इसको हम बोलते हैं बेल शेप। और बेटा हर

कर्व की कोई ना कोई फंक्शन के थ्रू रिप्रेजेंटेशन होती है। मतलब कोई इक्वेशन होती है। तो नॉर्मल कर्व की जो हमारी

रिप्रेजेंटेशन होती है जो नॉर्मल कर्व की इक्वेशन होती है। इक्वेशन ऑफ जो नॉर्मल कर्व है ये डायरेक्ट पूछा जा

सकता है। फार्मूला सीधा इट इज़ गिवन बाय fx = 1 /σ 2π e की पावर - में x - μ /σ और ये बाहर 1/2

होता है का होल स्क्वायर। ये हमारे पास बेटा फार्मूला है किसका? जो नॉर्मल कर्व है उसकी इक्वेशन का।

जो नॉर्मल कर्व है उसकी इक्वेशन का फार्मूला है। आपको बस ये फार्मूला याद रखना है। आपको ये फार्मूला बस याद रखना है

कि अगर एग्जाम में आपको दिख जाए तो क्या करना है? सीए लेवल पर हमने मैंने आपको वैसे लाइव क्लासेस में भी क्वेश्चन करवाए

हुए हैं। है ना? जैसे एक अगर मैं आपको बोलूं है ना एग्जांपल के तौर पर आपको ये फार्मूला आई थिंक सबने लिख लिया होगा। अब

आप सब ने फार्मूला लिख लिया होगा। तो अगर सपोज़ करो हमारे को क्वेश्चन ऐसे दे रखा है कि मेरे पास एक नॉर्मल कर्व है जिसकी

इक्वेशन है 1 / अ 3 2π e की ^ - 1/2 x - में 5 / 3 होल स्क्वायर।

मुझे बताइए व्हाट इज़ मीन एंड व्हाट इज़ स्टैंडर्ड डेविएशन? तो इस नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन की हमारे पास

मीन और स्टैंडर्ड डेविएशन कितनी हुई है? सरिता दीदी कह रही है कि सर अभी कुछ ना पढ़ा हो तो बेटा अगर कुछ भी नहीं पढ़ा है

मल का बिल्कुल ही नील बटे सन्नाटा है तो मैं बोलूंगा बेटा अभी होली हो जाने दो होली खेलो आराम से रंग लगाओ एक दूसरे को

एंजॉय करो अप्रैल से स्टार्ट कर लेंगे बेटा अरे पूरे साल कुछ नहीं कर बेटा यार मां-बाप के सारे पैसे बर्बाद कर दिए सारी

उम्मीदें छुड़वा दी उनकी कुछ तो पढ़ा होगा भाई अगर कुछ नहीं पढ़ा तो भैया कोई मैं हेल्प नहीं कर सकता मैं वो टीचर नहीं हूं

कि जो इस चीज को एनकरेज करूं कि तुम पूरे साल अय्याशी करो मस्ती करो घूमो फिरो और एंड में आके बोलो हमें पास करा ना भैया मत

मैं नहीं करा पाऊंगा कुछ तो पड़ा होगा यार एक बिल्कुल नील बट सन्नाटा थोड़ी ना हो सकता है कोई

तो मैं इसको अगर कंपेयर करूंगा तो मुझे पता है कि यार ये मीन है तो मीन फाइव है और यहां जो है वो मेरे पास सिग्मा है तो

ये थ्री आ गया। चलो एक और एग्जांपल मैं पूछता हूं। fx है मेरे पास e की पावर - में

x - 7² अपॉन में 32 और इधर है 1 / अंडर रूट में

32π हां। अब बताओ मेरे पास मीन कितना है और स्टैंडर्ड डेविएशन कितनी? मीन कितना है और

स्टैंडर्ड डेविएशन कितनी है? हां जल्दी से बताओ। तो अब मैं देखो जब भी

कंपेयर करूंगा ना मैं इसको कंपेयर करूंगा। किससे? σ 2π से। ये किसके बराबर है? σ 2π के बराबर है।

स्क्वायरिंग कर दो दोनों साइड। दोनों साइड स्क्वायरिंग हमेशा इसको पकड़ोगे आप। स्क्वायरिंग कर दो दोनों साइड।

स्क्वेरिंग कर दो बोथ साइड्स। तो यहां पर अंडर रूट हट गया। ये 32 पाई आ गया। ये सिग्मा अंडर रूट हट गया है। 2π आ गया।

2 * 1 = 216 σ² अगर 16 आया है तो सिग्मा आ गया मेरे पास 4। सिग्मा आ गया फोर। तो यह तो मेरे पास मीन

होता ही है तो और मीन आ गया मेरे पास से। तो अगर इस तरह से क्वेश्चन आएंगे तो बेटा संभाल लेंगे हम आराम से। इस तरह से

क्वेश्चन आएंगे हम संभाल लेंगे कैसे? यस और नो बोल बेटा कर लेंगे यस और नो?

बोल भाई कर लेंगे यस और नो? आ जाओ फिर वापस में। ठीक है? अब बेटा देखो हमारे पास हमारे पास जो प्रोबेबिलिटी होती

है इट इज़ कैलकुलेटेड थ्रू एरिया अंडर द नॉर्मल कर्व। और बेटा किसी कर्व का एरिया हम लोग कैसे निकालते हैं? थ्रू इंटीग्रेशन

थ्रू इंटीग्रेशन। अब अगर मैं इंटीग्रेशन करने बैठ जाऊं तो मेरा तो मोएम मोए हो जाएगा। बट स्टिल

हमारे को सिर्फ याद रखने के पॉइंट ऑफ व्यू से क्या कर रहे हैं? है ना? क्या कर रहे हैं हम लोग? मैं चैट में पीछे चल रहा हूं।

ऐसा क्या हो रहा है क्या भाई? मैं जो मेरे सामने आ रही है मैं तो वही देख रहा हूं। हां

सिस्टम कह सर यहां दिख जाना होगा ना कि -4 नहीं चलता। अब समझा नहीं बेटा बात सिस्टम गिवन

कि हमारे पास हमने बोला है कि जो टोटल एरिया हमारे पास है टोटल प्रोबेबिलिटी होती है

टोटल प्रोबेबिलिटी ऑफ नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन टोटल प्रोबेबिलिटी बेटा किसी भी

डिस्ट्रीब्यूशन में हमेशा कितनी होती है सर इक्वल टू वन होती है और प्रोबेबिलिटी हमारे को गिवन होती है किससे इंटीग्रेशन

से या एरिया अंडर द कर्व से तो हम बोल सकते हैं कि टोटल एरिया अंडर टोटल एरिया अंडर नॉर्मल कर्व जो है हमारे

पास वो भी किसके इक्वल होता है? वन के बराबर होता है। और एरिया कैलकुलेट कर रहे हैं

इंटीग्रेशन से। अगर मैंने टोटल एरिया बोला है तो ये मतलब ये - इनफिनिटी से + इनफिनिटी के बीच का एरिया है।

fx dx ये किसके इक्वल आएगा? वन ये हमारे पास एक इंपॉर्टेंट पॉइंट है जो रिप्रेजेंट क्या करता है कि जो टोटल एरिया है अंडर द

नॉर्मल कर्व वो वन है जो रिप्रेजेंट ये करता है कि हमारे पास टोटल प्रोबेबिलिटी एंड अंडर नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन हमेशा वन

होगी। बात समझ में आती है? हां बेटा वो दिखाने की जरूरत नहीं है। बल आप सीधा उससे कर सकते हो। कोई दिक्कत नहीं

है उसमें। है ना? है ना? क्योंकि वो हमें नेगेटिव रखना ही नहीं है। हमें पॉजिटिव ही रखना

है। वेरियंस इज़ ऑलवेज पॉजिटिव। आई बात समझ में? अ ठीक है? और और और

अगर मैं आपसे बोलूं कि हमारे पास क्योंकि मीन हमारे पास सेंटर में होता है। तो अगर मैं आपसे पूछूं कि मीन से लेकर इंफिनिटी

तक की अगर मेरे पास इंटीग्रेशन आ रही है कभी तो वो किसके बराबर होगी? तो आप मुझे बता सकते हो बेटा क्या आप मुझे वो बता

सकते हो कि अगर मैं आपसे पूछ रहा हूं कि मीन से लेकर ये इंफिनिटी तक की जो मेरे पास टोटल

इंटीग्रेशन होगी मतलब वो टोटल एरिया कितना होगा इस यहां से लेकर यहां तक अगर 50% ऑब्जरवेशन यहां पर

हमारे पास है इस एरिया में तो उसकी प्रोबेबिलिटी कितनी हो जाएगी 0.5 उसकी प्रोबेबिलिटी कितनी हो जाएगी 0.5 5

सेम मैं इसको ऐसे भी बोल सकता हूं कि - इनफिनिटी से लेकर मीन तक वो भी हमारे पास 0.5

तो पहले बताओ बेटा कि इतनी टेक्निकल बातें सबने नोट कर ली अपने हाथ से और समझ में आ गई है तो मैं आगे बढूं बेटा क्योंकि इसमें

ना थ्योरी वाला पार्ट ज्यादा समझना है हमारे को क्वेश्चन में तो वही जैसे पोइजन में एक फार्मूला है इसमें भी एक ही

फार्मूला है उससे काम करना है जो मैं आपको सिखाऊंगा बाकी जो सब कुछ है वो टेबल के वो आपको वैल्यू दे रखी होती है। हमें और कुछ

नहीं करना। बस फ़ूला याद रखना है और वैल्यू उठा के पटक करनी है। है ना? अरे भैया आयुष कह रहे हैं आपको तो

हमसे प्यार ही नहीं है। आय दिल तोड़ के हंसते हो मेरा। वफाएं मेरी याद

रखोगी। आय हाय हाय। क्या बात है। परसों झारखंड जाना है। आ हा हा

दो दिल मिल रहे हैं मगर

YouTube पर चैट कर रहे हैं। हां चैट

कर रहे हैं। अप्लाइड की क्लास में आकर हो भैया तुम्हारा हो गया हो तो हम पढ़ा लें। हैं भाई तुम्हारा हो गया हो तो हम अच्छा

यह तो हमारी बात सुन ही नहीं रहे होंगे ना इनको तो आवाज बंद करके वीडियो देखनी है हम

z टेबल भाई z टेबल नहीं है भाई टी टेबल बोला था वो मैंने इसे क्लास में भी सिखाया हुआ था बट अभी बेटा p / q में तो क्या है

सारी वैल्यूज़ गिवन है तो अभी यहां पर हमारे को जरूरत नहीं पड़ेगी। अब देखो हमारे पास दिक्कत क्या आती है कि जो अगर

मुझे प्रोबेबिलिटी कैलकुलेट करनी है इसके थ्रू तो भैया मेरी हालत खराब हो जाएगी। ऑब्वियस सी बात है बेटा मेरी हालत खराब हो

जाएगी। तो इसलिए क्या बनाया गया? हमारे पास बनाया गया क्या? स्टैंडर्ड नॉर्मल वेरिएबल।

स्टैंडर्ड नॉर्मल वेरिएबल बनाया गया हमारे पास। है ना? स्टैंडर्ड नॉर्मल वेरिएबल एक बनाया

गया जिसको हम डिनोट करते हैं किससे? डिनोटेड बाय z से। डिनोटेड बाय z है ना? और अगर हमारे पास

अगर हमारे पास मीन ज़ीरो है, है ना? और स्टैंडर्ड डेविएशन हमारे पास वन है, तो इन दैट केस जो हमारा

रैंडम वेरिएबल x है, और ये जो स्टैंडर्ड नॉर्मल हमारा वेरिएबल है z है ना? वो हमारे पास क्या होते हैं? इक्वल होते

हैं। मतलब तब हमारे को फर्क नहीं पड़ता है। एक ही बात होती है। है ना? एक ही होता है। हां। ठीक है।

ठीक है? सिस्टम में अरे मेरी हालत नहीं तुम्हारी। अच्छा चलो इसी से याद आ गया। अच्छी सी बात है। ये जो बेटा कर्व है ना

ये जो इक्वेशन दी थी ये गॉस भाई ने दी थी। इसीलिए बेटा हम लोग इस कर्व की इक्वेशन को हम लोग गॉस कर इक्वेशन बोलते हैं और इसलिए

नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन को गौसियन डिस्ट्रीब्यूशन भी बोला जाता है। है ना? ये एमसीक्यू में आ सकता है। हालांकि अभी

तक मैंने कहीं देखा नहीं है बट आ सकता है कि इसको हम लोग गौसियन डिस्ट्रीब्यूशन भी बोलते हैं। ठीक है? है ना?

हैदर भाई उनको बता दिया करो। ये हमारे मोमो सर हैं। प्रिंस को बता दिया करो। तो ये हमारे मोमो

सर हैं। ये गातेगाते 100 नंबर दिलवा देते हैं। सोचो अभी तो बेसुर हैं तो 100 नंबर दिलाते हैं। सुर में गाते होते तो बताओ

क्या होता? है ना? एक साथ दो बच्चों का पास करने का अरेंजमेंट करवा देते। तुम भी पास तुम्हारे

साथ तुम्हारा घर का कोई दोस्त भी पास। चलो बेटा। है ना? हां। अ e की पावर - में z बेटा वो तब वैद ही वो

इस कंडीशन में लिख सकते हो। और यहां पर आप जब आपके पास जो नॉर्मल कर्व है, है ना जो इक्वेशन ऑफ जो वैद ही कह रही है ना बेटा

वो इस कंडीशन के अंदर आप बोल सकते हो कि जो इक्वेशन ऑफ़ नॉर्मल कर्व हो जाएगी वो हो जाएगी fz = टू में

वन बाय क्योंकि सिग्मा तो वन है और ये e की पावर - में z² / 2 बट वो इस कंडीशन में जो हमारे पास स्टैंडर्ड कंडीशन होती है जो

हमारे पास स्टैंडर्ड कंडीशन होती है तब बोल सकते हैं। ठीक है? अब यहां पर हमारे पास एक रिलेशन होता है कन्वर्ज़ ऑफ़

कन्वर्ज़ ऑफ़ अ रेंडम वेरिएबल टू जो हमारा रेंडम वेरिएबल है कौन? x * नॉर्मल वेरिएबल

इंटू नॉर्मल वेरिएंट इंटू नॉर्मल वेरिएंट z जो रेंडम वेरिएबल x

है उसको नॉर्मल वेरिएंट z में कन्वर्ट करने का हमारे पास एक फार्मूला और बस यही चीज है हमारे पास कि जो z होता है वो

किसके बराबर होता है x - में μ / σ के बस ये छोटी सी बात है ये छोटी सी बात आपको याद रखनी है ठीक है अब हमारे हमारे पास है

ना अब हमारे पास प्रोबेबिलिटी कैसे कैलकुलेट करते हैं उसको सीखते हैं या मैं इसको

नेक्स्ट पेज पे ही करवाता हूं प्रोबेबिलिटी इन नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन कि नॉर्मल

डिस्ट्रीब्यूशन के अंदर हम लोग प्रोबेबिलिटी सर कैलकुलेट कैसे करेंगे? तो बेटा हम लोग प्रोबेबिलिटी कैलकुलेट करते

हैं यूजिंग नॉर्मल वेरिएट z हम रैंडम वेरिएबल x के थ्रू नहीं करते हम लोग नॉर्मल वेरिएट z के थ्रू कैलकुलेट करते

हैं प्रोबेबिलिटी तो यानी कि जो मेरा नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन पहले रेंडम वेरिएबल x के लिए था अब वो हो जाता

है हमारे पास रैंडम वेरिएबल z के लिए और इस कर्व तो बेटा वही रहेगा कर्व की शेप तो चेंज नहीं होगी बस अब जो हमारे पास

सिमेट्रिसिटी होती है। इट इज़ अलोंग z और z = 0 से होती है। स्टैंडर्ड की वैल्यू क्या होती है हमारी? z = 0 जो हमारी स्टैंडर्ड

कंडीशन है। स्टैंडर्ड कंडीशन का मतलब वो कंडीशन जहां पर हमारे पास नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन कर्व नॉर्मल वेरिएंट z के

लिए सिमेट्रिक बनेगा। और नॉर्मल वेरिएंट z के लिए सिमेट्रिक कब होता है? जब z = 0 होता है। याद रखना रैंडम वेरिएबल के लिए

कहां कब सिमेट्रिक होता है? नॉर्मल कर्व मीन पर। बट नॉर्मल वेरिएट के लिए z के लिए सिमिट्रिकल कब होता है? जब z = 0 होता है।

ये बात समझ में आई बेटा? ये बात समझ में आई? फिर z = 1 2 3 ऐसे चलेगा। सेम इधर हमारे पास ये इनफिनिटी तक जाएगा। इधर

माइनस इनफिनिटी तक इधर 50% है ना? आपके पास प्रोबेबिलिटी रहेगी। बाकी की 50% इधर रहेगी। अब ध्यान से समझ को जो समझने वाली

बात यह है कि प्रोबेबिलिटी की कैलकुलेशन कैसे करना है। ध्यान से समझना है कि अगर कभी मुझे दे रखा है कि ये वैल्यू है मेरे

पास सपोज़ करो k ये वैल्यू है मेरे पास कोई z = k और अगर मुझे क्वेश्चन में बोला गया है कि

फाइंड आउट करो कि प्रोबेबिलिटी ऑफ़ z < k तो ये जो प्रोबेबिलिटी ऑफ़ z < k है ये रिप्रेजेंट क्या करती है प्रोबेबिलिटी है

ना ये क्या आपको बताती क्या है कि एरिया अंडर नॉर्मल कर्व एरिया एरिया अंडर नॉर्मल कर्व

टू द लेफ्ट ऑफ टू द लेफ्ट ऑफ z = k पहले तो बेटा इस बात का मतलब समझो है ना ये पहले इस बात का मतलब समझो कि जो

z k है वो रिप्रेजेंट क्या कर रहा है कि जितना भी एरिया हमारे पास यहां पर है लेफ्ट में जितना एरिया है और इसी को इसी

इसी को हम लोग रिप्रेजेंट करते हैं किससे? p ऑफ़ Z < K को हम रिप्रेजेंट करते हैं K से भी कई जगह पर मिल जाएगा। बट हम यूज़

करते हैं कैपिटल F ऑफ़ KK. हम K यूज़ नहीं करते। हम कैपिटल F ऑफ़ K यूज़ करते हैं। है ना? हम कैपिटल F ऑफ़ K का यूज़ करते हैं।

रुद्रा बेटा ध्यान से समझ। पहले एक बार सुन लो पहले पूरा। है ना? पहले एक बार सुन लो पूरा। फिर बेटा अगर डाउट आता है रुद्रा

आपका डाउट हो सकता है बीच में सारे क्लियर हो जाए। ठीक है? अब अगर मुझे बोला गया है क्वेश्चन

के अंदर कि p ऑफ z > k बताओ। तो इसका मतलब क्या है? कि मैं नॉर्मल कर्व में एरिया निकाल

रहा हूं। एरिया अंडर नॉर्मल कर्व टू द राइट ऑफ़ z = k। टू द राइट ऑफ़ z = k।

ठीक है? यानी कि मैं कौन से एरिया की बात कर रहा हूं? ये वाले एरिया की बात कर रहा हूं।

अब बेटा ये वाला एरिया कैसे निकाल सकता हूं मैं? टोटल एरिया कितना होता है? टोटल एरिया कितना होता है? वन।

टोटल एरिया कितना होता है? वन। ठीक है? तो हमारे पास प्रोबेबिलिटी ऑफ़ Z > K क्या आ जाएगा? 1

माइनस में आप बोल सकते हो प्रोबेबिलिटी ऑफ़ z < k आप इक्वल टू यहां पर लगा सकते हो कि देखो क्योंकि ये कंटीन्यूअस

डिस्ट्रीब्यूशन होती है हमारे पास तो यहां पर वो इक्वल टू वाली प्रॉब्लम नहीं है। आप यहां पर लिखो ना लिखो चलेगा।

ठीक है? और इसी को मैं 1 - fk से भी डिनोट कर सकता हूं। ये मेरा दूसरा फार्मूला है। अब आता हूं मैं अपने तीसरे फॉर्मूले पे कि

अगर मुझे प्रोबेबिलिटी निकालनी है K1 से लेकर K2 के बीच में सपोज करो

ये मेरे पास K1 है। ये मेरे पास K2 है। मुझे इसके बीच में मतलब कि मुझे ये वाला एरिया की प्रोबेबिलिटी चाहिए।

तो वो कैसे मिलेगी बेटा मुझे? वो कैसे मिलेगी? मैं पूरे K2 यानी कि पूरे इसमें से अगर हटा दूं कौन से वाला? यह

वाला। तो ये बीच वाला मुझे मिल जाएगा। तो इसको कैसे कैलकुलेट करते हैं हम लोग? इसको कैलकुलेट करते हैं हम लोग।

प्रोबेबिलिटी ऑफ़ Z < K2 माइनस में प्रोबेबिलिटी ऑफ़ Z < K1 या फिर सिंपली हम लिख सकते हैं F k2 - में F k1।

ये तीन बातें आपको याद रखनी है। चौथी एक और बता रहा हूं। आखिरी बात यह जरा चमकना बंद हो तो समझ में ज्यादा आएगी। कि कभी आ

गया प्रोबेबिलिटी ऑफ़ z -k z < -k आ गया तो इसका मतलब क्या है भाई शांत हो जाओ

अरे हटा दो भाई इसको हट ही नहीं ये तो मुझे पूरा दोबारा बनाना पड़ेगा। हट जा भाई। चलो हट गया। हट गया। वापस ना आ

जाए। अब zस < - K बोला मैंने सपोज़ करो। तो उसका मतलब पहले बेटा कि ये जो चीज होगी ये कहीं पर -k होगी। अरे अरे फिर भी आ

गया। ये हमारे पास -k होगी। अब z < - K का मतलब यह वाला फार्मूला। z -k का मतलब यह वाला फार्मूला। तो ये तो

हमारे पास क्या रहेगा? ये हमारे पास क्या रहेगा? 1 मिनट। इसको z - k मत पढ़ो। इसको ऐसे कर रुको।

अगर तुम्हारे को कहीं पर f -k मिल रहा है। तो f (-k) का मतलब है कि तुम्हारे पास ये वाला पोर्शन।

ठीक है? अब हमने बोला है कि यार इसको ना एक काम करो इसको रुक जाओ मैं इसको ना दूसरे तरीके से मैं डायग्राम से करवाऊंगा।

अब तुम्हारे को पहले मैं इसमें प्रोबेबिलिटी कैलकुलेट करना सिखाता हूं। है ना? वैदी कह रहे हैं सर थर्ड वाले में

-1 नहीं होगा। नहीं बेटा थर्ड वाले में ना हमने इसमें से इसमें से हटा दिया है। कौन सा? यह वाला पोर्शन। तो

बेटा बीच वाला पोर्शन आ जाएगा। और यही तो मुझे चाहिए। K1 से K2 तक इसको भी चेंज कर लो।

ठीक है। अब मैं इसमें प्रोबेबिलिटी कैलकुलेट करना सिखाता हूं कि कैसे कराना है जो मेन हमारा काम शुरू हो रहा है। अ एक

क्वेश्चन से ही कराता हूं मैं। बाकी एमसीक्यू वगैरह सब बाद में कराऊंगा। पहले मैं तगड़ा क्वेश्चन कराता हूं कोई। जैसे

ये क्वेश्चन देखो। ये हमारा सीबीएसई का ही क्वेश्चन है। 204 की कंपार्टमेंट का। बहुत ध्यान से सुनना है सबने।

है ना? बहुत ध्यान से सुनना है। कुणाल भाई ध्यान से सुन। अगर तूने पहले नहीं करा तो बेटा फिर तो मैं कोई हेल्प नहीं कर सकता।

कह रहा है अगर x एक नॉर्मल वेरिएंट है जिसका मीन हमारे पास 70 है। मीन कितना है? 70 है। स्टैंडर्ड डेविएशन कितनी है? फाइव

है। हमसे क्वेश्चन में पूछ लिया है कि आपको बताना है प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x ग्रेटर दैन 75.

यह हमसे पूछा है। तो, सबसे पहला मेरे पास काम क्या? बस, बेटा, सम अप ही कर रहा हूं इसलिए। मेरा सबसे पहला काम क्या होगा? z

निकालना। z निकालना सबको आता है। एग्जाम में कैसे लिखोगे? यूजिंग यूजिंग z = में x - ्यू / σ

x जिसके लिए हम निकाल रहे हैं। मीन दे रखा है। सिग्मा दे रखा है। तो दैट मींस मेरे पास z की वैल्यू कितनी आ गई? वन।

यहां तक कोई प्रॉब्लम? एक बार कमेंट में बताओ बेटा। फिर मुझसे क्वेश्चन में पूछा क्या गया है

कि प्रोबेबिलिटी ऑफ x > 75 पूछे इट इज़ सेम एज प्रोबेबिलिटी ऑफ़ z > 1 क्या ये बात समझ में आई? यस और नो क्या ये बात समझ में आई?

यस और नो कि x > 75 का मतलब है कि z > 1 निकालना है। क्योंकि z1 आया है जब x 75 था। अब z > 1 का मतलब क्या है? आप मैं

आपको ना कोई फार्मूला याद नहीं करवा रहा। मैं आपको एक बहुत ही छोटा सा कांसेप्ट सिखा रहा हूं। उससे आप किसी भी क्वेश्चन

पर अटकोगे नहीं। क्या करना है आपने? जब भी ऐसा क्वेश्चन आए आप फटाफट से नॉर्मल कर्व बना लो। बीच में z = 0 बना लो। z की

वैल्यू आई है वन। पॉजिटिव है बेटा तो राइट हैंड साइड पर जाएंगे। ये आ गया z = 1 और ये आप पेयर में दिखा कर

आओ। या पेयर में दिखा के आओ। बेटा z > 1 का मतलब कौन सा एरिया निकालना है आपको? ये वाला।

आपको ये वाला एरिया निकालना है जो रिक्वायर्ड एरिया है आपके पास। है ना? जो आपके पास रिक्वायर्ड

प्रोबेबिलिटी बोल लीजिए या रिक्वायर्ड एरिया बोल लीजिए। हमें ज़ीरो से वन तक की वैल्यू ये दे रखी

है। ज़ीरो से वन तक की मतलब ये मुझे पूरी येलो वैल्यू दे रखी है। सॉरी ये ज़ीरो से वन के बीच की वैल्यू दे रखी

है। कितनी? 0.3413 है ना? अनिलम बेटा बस थोड़ी देर की बात हो रहा है। आधा घंटा और रुक जा बेटा।

अब बेटा देख ये इंफिनिटी है। ये माइनस इनफिनिटी है। मुझे एक बात बता ज़ीरो से लेकर

ज़ीरो से लेकर पूरा एंड तक कितना एरिया होता है मेरे पास? ज़ीरो से लेकर एंड तक मेरे पास कितना एरिया होता है?

सर हमें पता है 0.5 होता है। तो मैं इसको ऐसे नहीं लिख सकता कि 0.5 में से माइनस कर दो एरिया 0 से 1 तक के बीच का

और ये वैल्यू मुझे दे रखी है तो 0.5 में से माइनस कर दिया 0.3413 तो 10 में से 3 गए सात, नौ में से एक गया

आठ, नौ में से चार गए पांच। और ये चार में से 3 गया एक तो 0.1587

आंसर आ गया मेरा। डायग्राम बना कर आओगे तुम्हें क्लेरिटी रहेगी। एग्जामिनर को क्लेरिटी रहेगी कि बच्चे ने खुद करा है और

तुम्हें कोई फार्मूला याद रखने की जरूरत नहीं होगी। टेबल से वैल्यूज़ हमेशा तुम्हें मिलके चलेंगी या टेबल दे रखा होगा। बट

टेबल देते नहीं है तो वैल्यू दे रखी होगी। आपने बस समझना है कि क्या करना है। आपको कोई फार्मूला याद नहीं रखना कि लेस

दैन k क्या होता है? मोर दैन k क्या होता है। आप बस डायग्राम याद रखो। ये बेटर है यस और नो। एक क्वेश्चन और कराता हूं। फिर

बताना मुझे कि ये बेटर है या नहीं। ये देखो 2024 का ही क्वेश्चन है। एन ऐप्ट एपटीट्यूड टेस्ट फॉर सिलेक्टिंग

ऑफिसर्स इन अ बैंक इज़ कंडक्टेड ऑन 1000 कैंडिडेट्स। तो मेरे पास नंबर ऑफ कैंडिडेट्स कितने हैं?

1000 है। द मीन स्कोर इज़ 42 तो मीन कितना है? 42 स्टैंडर्ड डेविएशन कितनी है मेरे पास? 24

अस्यूमिंग नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन फॉर द स्कोर फाइंड नंबर ऑफ़ कैंडिडेट्स हु स्कोर एक्सीड 60। जब भी नंबर पूछा गया है हां

जागवी बेटा अगर डायग्राम गलत बनाएगा तो मतलब बेटा तूने करा ही गलत है ना फिर नंबर थोड़ी ना क्यों मिलेंगे बेटा बट ध्यान से

समझ बेटा जब भी नंबर पूछेगा ना तो प्रोबेबिलिटी को मल्टीप्लाई कर दो टोटल नंबर से तो यानी पहले मुझे प्रोबेबिलिटी

निकालनी पड़ेगी फर्स्ट पार्ट में किसकी प्रोबेबिलिटी पूछी है मुझसे कि अह नंबर ऑफ कैंडिडेट हु स्कोर एक्सीड 60 तो

फर्स्ट पार्ट में पूछा है कि प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x > 60 पहले मैं ये निकालूंगा फिर नंबर वाला निकालूंगा। पहले मैं ये निकालूंगा।

बट इसके लिए मुझे कन्वर्ट करना पड़ेगा z में। मुझे बताओ इसमें z की वैल्यू कितनी आएगी? फार्मूला आपको पता है। x - μ / σ

मुझे बताओ z की वैल्यू कितनी आ रही है? मुझे यह बताओ z की वैल्यू कितनी आ रही है? हम

आगे 60 -42/ 24

तो z की वैल्यू कितनी आ रही है? 18 / 24 यानी 3/4 यानी कि 0.75

ठीक है? तो आप बोलोगे कि प्रोबेबिलिटी ऑफ़ x > 60 इज सेम एज प्रोबेबिलिटी ऑफ़ z > 0.75

आप ऐसे लिखोगे कोई फ़ूले की टेंशन नहीं है। डायग्राम बनाओ उसी में काम हो जाएगा। ये वाला याद रखना ज़ीरो है बेटा। 75 है।

पॉजिटिव है। राइट साइड पे रखूंगा मैं। ग्रेटर का मतलब मुझे ये वाला एरिया निकालना है। ग्रेटर का मतलब मुझे ये वाला

एरिया निकालना है। अब यार ये वाला एरिया कैसे निकालूंगा? 0 से लेकर 0.75 दे रखा है।

ये कितना दे रखा है? 0. 2734 दे रखा है मुझे भाई। सेम वही हो गया मेरी बात। मुझे येलो वाला निकालना है। पिंक वाला दे रखा

है। जीरो के उधर मुझे सब पता है कितना होता है। 0.5 माइनस में आप बोलोगे कि प्रोबेबिलिटी 0 से

लेकर कहां तक? 0.7 भाई। यहां लिखा हुआ है। उठा के छेब दो। इक्वल टू के साथ लिखा है तो हम इक्वल से लिख दो। नॉर्मल में इक्वल

टू लगाने से नहीं फर्क पड़ेगा। 10 में से 4 गए छ। 9 में से 3 गए छ। 9 में से 7 गए 2, 4 में से 2 गए दो। तो 0.26

आया। बट मुझे तो नंबर बताना है। प्रोबेबिलिटी आ गई। अब मैं बोलूंगा कि देयर फॉर

नंबर ऑफ़ क्या है? कैंडिडेट्स हुज स्कोर एक्सीड्स

60। तो मैं क्या करूंगा? कितने थे? 1000 थे। उसको मल्टीप्लाई कर दूंगा प्रोबेबिलिटी से। तो 226.6

आ गए। तो मैं 227 लिखूंगा बेटा। नंबर ऑफ कैंडिडेट है। अब ऐसे तो नहीं बोल सकता ना यहां पे 226.6 पता लगा पॉइंट 4 हिस्सा काट

के फेंक दिया किसी का। ऐसे तो नहीं लिख सकता। तो टोटल 27 कैंडिडेट नेचुरल नंबर की फॉर्म में छोड़ेंगे।

ठीक है? अब आ जाओ सेकंड पार्ट में। द नंबर ऑफ कैंडिडेट हु स्कोर लाई बिटवीन 30 एंड 60.

चलो जी। तो सेकंड पार्ट में पूछा है कि जो स्कोर है वो 30 से 60 के बीच में है। अभी ये x

की टर्म्स में है 30 से 60 के बीच में। हमें पता है कि फॉर x = 60 z आ गया है 0.75

मुझे बताओ फॉर x = 30 z कितना आएगा? फॉर x = 30 z कितना आएगा? बताओ भाई दक्ष क्या क्या डाउट है आपका?

गुड इवनिंग गिरीशा सॉरी गिरीश बताओ बेटा। तो सर निकाल देंगे इसको सेम फॉर्मूले से।

सर x 30 लेंगे। मीन कितना था हमारे पास? 42 और वो कितना था? 24 तो ये आ जाएगा कितना? - 12/24

तो माइनस में 0.5 आ रहा है। यस और नो? माइनस में 0.5 आ रहा है। अब मुझसे पूछा है प्रोबेबिलिटी कि 30 इज़ <च

मीन्स प्रोबेबिलिटी कि Z X Z है मेरे पास। वो इसके बीच में है। कोई टेंशन नहीं है मुझे।

मेरे को तो डायग्राम बनाना है और समझना है कि भैया हां क्या है और क्या चाहिए। है ना? एग्जाम में तो आप एक ही में बना

सकते हो। मुझे यहां पर कोई पेज चेंज कर दिया है। तो ये ज़ीरो है। है ना? ये Z चल रहा है।

ये 75 है। और बेटा माइनस वाला उस साइड पर होगा। मुझे इसके बीच में चाहिए। अब मेरे पास देखो गिवन क्या-क्या है? हमेशा गिवन

के साथ पर चलेंगे। 0 से 0.75 दे रखा है 2734 तो मुझे ये दे रखा है कितना? 0.2734

है ना? ये मुझे क्वेश्चन में गिवन है बेटा। ये मुझे क्वेश्चन में गिवन है। फिर ज़ीरो से लेकर 0.5 दे रखा है। अब ये

बड़ा इंटरेस्टिंग है बेटा। बड़े ध्यान से समझना। 0 से लेकर 0.5 दे रखा है।

0 से लेकर 0.5 भाई 0.5 तो यहां आएगा। अब आप परेशान हो जाओगे। बेटा याद रखो हमेशा नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन सिमेट्रिक है।

जितना 0 से 0.5 होगा उतना ही 0 से -0.5 होगा। वो आपको बस यही चेक करना है कि आपको पता है या नहीं। यही तो दे रखा है। 0.19

कितना था? 0.1915 0.1 यही तो इसने क्वेश्चन में आपके साथ

खेलना खेलना था। बट आपको पता है कि जितना 0 से 0.5 होगा उतना ज़ीरो से -0.5 भी होगा क्योंकि ये सिमेट्रिकल है।

हां दक्ष है बेटा हमने क्लास में करा भी है लास्ट क्लास में। तो यानी मेरे पास एरिया आ गया। सर पहले यहां से यहां तक

निकाल लूंगा। तो 0 आपने जब डायग्राम बना दी तो आपको ज्यादा कुछ लिखने की जरूरत ही नहीं है। और

फिर वो आ गया 0.2734 तो सर पांच और 4 9 3 और एक 4 नौ और 7 16 एक और एक दो और दो 4 क्या ये प्रोबेबिलिटी

आ रही है बेटा मेरे पास ज़ीरो पॉइंट वाली। अब नंबर पूछ लिए। सो दैट मींस नंबर ऑफ कैंडिडेट्स

नंबर ऑफ कैंडिडेट्स हु स्कोर्ड हु स्कोर्ड बिटवीन 30 एंड 60 किसके इक्वल 0

4649 * 1000 यानी कि 464.9 तो यानी कि टोटल 465 स्टूडेंट्स आ गए भाई।

आई बात समझ में? सिस्टम गेमर देख बेटा क्वेश्चन में तेरे को यहां पर वैल्यू किसकी दे रखी है? हमें इसके हिसाब से चलना

है। हमें 0 से 0.5 के बीच की वैल्यू दे रखी है। 0.5 कहीं यहां पर होगा। हमें इसकी वैल्यू दे रखी है यहां पर। बट मुझे तो यार

ये वाला एरिया चाहिए पिंक वाला। तो भैया जितना 0 से 0.5 होगा उतना भी तो 0 से - 0.5 होगा। क्योंकि सिमेट्रिकल है बेटा।

जितना राइट में उतना ही लेफ्ट में। ठीक है? फार्मूले से करेगा बेटा देख मैं तो मना ही

करूंगा तेरे को करने से बट तू चाहता है मैं तेरे को एक बार बता देता हूं तो इसको फार्मूले से करता तू उसको ऐसे करता f 0.75

- f - में 0.5 अब बेटा पेपर में तेरे को सिर्फ वैल्यू दे रखी है इसकी इतने हिस्से की और f 0.75 निकालने के लिए तो पहले

इसमें ये भी ऐड करेगा तो तू लिखेगा उसको 0.5 प्लस में उतना तो तू और ज्यादा परेशान होगा फ़ूले से इसलिए इसलिए मैं फार्मूला

अवॉइड करवा रहा हूं। अब थर्ड पार्ट में क्या बोला है? नंबर ऑफ अच्छा दो ही पार्ट थे काम खत्म। चलो जी।

दो ही पार्ट थे। काम खत्म। अब देखो एक और क्वेश्चन। सेम इसी तरह के क्वेश्चन मिलेंगे। तुम जितने मर्जी देख लो। 2000

स्टूडेंट्स अपीयर्ड इन एन एग्जामिनेशन ऑफ़ मार्क्स इज़ अस्यूम्ड टू बी अ नॉर्मल। मीन दे रखा है 30 स्टैंडर्ड डेविएशन दे रखी

है। बिटवीन 20 एंड 40। उसी के हिसाब से वैल्यू दे रखी है तुम्हारे बिल्कुल सेम क्वेश्चन लेस दैन 25 बिल्कुल सेम क्वेश्चन

दे दूं क्या मैं इसको पी क्यू क्या प्रैक्टिस क्वेश्चन दे सकता हूं इतना भरोसा कर सकता हूं कि तुम संभाल लोगे

बताओ भाई ये विश्वास कर सकता हूं या करवाऊं सॉल्व तुम बोलोगे करवा दूंगा मुझे कोई दिक्कत नहीं है

सारा काम सेम है बेटा सीयूटी के लिए पहले अभी बोर्ड पर फोकस करो उसके बाद हमारा बैच रहेगा या

YouTube पे जो भी रिवीजन आएगी वो कर सकते हो। अब एक और देख बेटा एक और देख सेम क्वेश्चन मैथमेटिक्स कोर्स ऑफ ग्रुप

ऑफ 500 स्टूडेंट्स फॉलो अ नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन मीन 75 स्टैंडर्ड डेविएशन एट व्हाट परसेंट ऑफ़ स्टूडेंट इसमें सिर्फ

प्रोबेबिलिटी निकालनी है। फिर सेकंड पार्ट में नंबर ऑफ़ स्टूडेंट्स। अरे भाई अरे भाई दे दूं PQ

वैरायटी ऑफ़ क्वेश्चन देख रहे हो। वैरायटी ऑफ क्वेश्चन देख रहे हो? नहीं नहीं नहीं सिस्टम गेमर उसमें नहीं

होता बेटा। किसने बोला? स्टैंडर्ड डेविएशन अलग है, वेरियंस अलग है। वेरियंस का यहां पर कोई रोल नहीं रहता। स्टैंडर्ड डेविएशन

क्या रहता है। अब देख एक 2025 में क्वेश्चन क्या है? तो 2025 के क्वेश्चन का लेवल देख बेटा।

गिवन दैट मीन ऑफ़ अ नॉर्मल वेरिटेड इज़ x इज़ नाइन। मीन नाइन है। स्टैंडर्ड डेविएशन थ्री है। सीधा z स्कोर निकालना है मेरे

भाई। आपको z निकालना है किसके लिए? डेटा पॉइंट यानी अगर X15 जल्दी से आंसर बता बेटा मुझे। जल्दी से मुझे आंसर बता बेटा।

बेटा मैं बहुत सारे क्वेश्चन तुम्हारे बोर्ड में भी आएंगे। बेटा मैं यही तो दिखाना चाहता था कि पैटर्न सेम चल रहा है।

इसलिए वैरायटी पर स्ट्राइक करो। जब भी सेल्फ स्टडी कर रहे हो तो तुम्हारे दिमाग में अब आईडिया है कि किस तरह के क्वेश्चन

को ज्यादा प्रायोरिटी देनी है तुम्हारे। जानी बेटा पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन हमारे रैंडम वेरिएबल अगर डिस्क्रीट है।

डिस्क्रीट मतलब इंडिविजुअल वैल्यू ले सकता है। हम नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन पढ़ते ही तभी हैं जब हम लोग कंटीन्यूअस बात करते

हैं। रेंडम वेरिएबल में कुछ भी वैल्यू ले सकता है। कुछ भी मतलब कि वो पॉइंट्स में भी वैल्यू

ज्यादा ले सकता है। तो 15 - 9/ 3 15 - 9 6/3 z आ गया तो बताओ ये कोई दिक्कत वाला काम

था इसी का ही सेकंड पार्ट देख लो डेटा पॉइंट भ आपको x बताना है अगर z4 है तो चलो ये भी

करके बता ही दो बेटा मालिक जब इतना कर लिया है तो एक ये भी बता ही दो

फिर एक दो एमसीक्यू दिखाता हूं तुम्हारे को इसके जो आते हैं मालिक इतना कर लिए तो यह भी बता ही दो भाई 26 बच्चे रह गए बताओ

इतनी मेहनत करने के बाद भी दिल तोड़ जाते हो तुम जाते-जाते तो यार सेम फार्मूला z = में x - म्यू

सिग्मा 4 = में x - में μ कितना है? 9 सिग्मा कितना है? 3 तो 12 + 9 = x = में 21

क्या दिक्कत है इसमें? और बचा है कोई क्वेश्चन हमारे पास करने के लिए? चलो यार दो एमसीक्यू बचे हुए हैं

हमारे पास। नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन में। चलो मैं एक चीज यहां पर जो आपसे बात कर रहा था। हालांकि मैं बताया था बट लिखवा भी

देता हूं तुम भूल जाओगे। फॉर कंटिन्यूस रेंडम वेरिएबल फॉर कंटीन्यूस रेंडम वेरिएबल x

फॉर कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल x प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन बायनॉमियल डिस्ट्रीब्यूशन पोइजन डिस्ट्रीब्यूशन ये

डि्रीट रेंडम वेरिएबल के लिए होती है जहां पर इंडिविजुअल वैल्यू लेता है रेंडम वेरिएबल बट बट कंटीन्यूअस के लिए

चलो बस बेटा ये और उसके बाद एक एमसीक्यू और 8:30 पे खत्म 8:30 पर काम खत्म काम तमाम

कि नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन किसके अराउंड सिमिट्री ट्रिक होती है वेरियंस के, स्टैंडर्ड डेविएशन के, मीन के या

कोवेरियंस के? बताओ भाई। बस बेटा इसके बाद एक ही बचा है हमारे पास।

ये 2023 में आया हुआ है। बताओ लो जी लो एक और लो। समझ में आ गया? क्वेश्चन क्यों करवा रहा

हूं? ये देख 2023 कंपार्टमेंट। ये देखो 2025 कंपार्टमेंट।

2023 कंपार्टमेंट 2025 कंपार्टमेंट कोमल बेटा मेहनत ज्यादा करनी पड़ेगी बट

हां ऐसा नहीं है कि इंपॉसिबल हो बट कुछ-कुछ पढ़ा होना चाहिए बिल्कुल निल बेटे सन्नाटा नहीं बेटा थोड़ा बहुत भी पढ़ा है

अगर मतलब तुम स्कूल के एनुअल एग्जाम अपना ये अपना मिड एग्जाम हो गए प्री बोर्ड हो गए अगर उसमें तुम 25 30 40 तक भी ला रहे

हो ना तो आराम से 90 तक बोर्ड में ला सकते हो। अगर आप 80 में से 25 30 40 के बीच में ला

रहे हो तो बोर्ड में पहुंच सकते हो 70 80 90 तक बस रेगुलर रहो और जो आप बोल रहे हो बिल्कुल वही करो भाई सेम क्वेश्चन ऑप्शंस

आगे पीछे कर दिए मेहनत भी नहीं करी नए ऑप्शन बना दें ऑप्शन चेंज करने की भी मेहनत नहीं है

कुछ बचा तो नहीं भाई तो आज भाई जितने क्वेश्चन लाए थे सारे हमने डिस्कस कर लिए। आज यह बढ़िया रहा।

चलो यार इसी के साथ आप लोगों से विदा लेते हैं। अब मुलाकात करेंगे आपसे कब? नेक्स्ट कब मिलेंगे हम लोग?

8 फब को संडे। है ना? टाइमिंग मैं कोशिश कर रहा हूं कि भाई 12 हो जाए। वरना पांच तो है ही है। मैं कोशिश कर रहा हूं कि 12

हो जाए। आप प्लीज चेक करते रहिएगा। मैं शॉर्ट भी डलवा दूंगा उसका। और बेटा कंपलसरी आपको क्या करना है? A और डी का वन

शॉट देख कर आना है। डिफरेंशियल इक्वेशन का वन शॉट देख कर आना है। डेरिवेटिव्स वाला पार्ट मुझे पता है। आप सबको आता होगा। तो

उसकी टेंशन इतनी नहीं लेनी। वो उतना पार्ट तो आपको आता ही होगा। रे डी में पहुंचे हो तो डेरिवेटिव देख कर आएगे। इंटीग्रेशन का

अगर आप देख सको निकाल सको तो भाई बहुत जरूरी है करके आना वरना वरना सब्सीट्यूशन तक इनडेफिनेट पूरा करना

है डेफिनेट और एप्लीकेशन वाला पार्ट जितना है इंटीग्रेशन का वो करना है आप पार्शियल फ्रैक्शन इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स स्पेशल

फॉर्म छोड़ सकते हैं इंटीग्रेशन के अंदर बट उसके अलावा सारा देख कर आना है। ठीक है? क्लियर बेटा? और अगर आपका कॉन्फिडेंस

लेवल हाई हुआ है तो आपको पता है प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन डन को हम कैसे लिखेंगे? हैशटग पीडी

टर्न है ना कॉन्फिडेंस लेवल अप हुआ नहीं हुआ बोर्ड के क्वेश्चन को देख के रियलाइज़ हो

रहा है या नहीं हो रहा कि हम जो पढ़ रहे हैं जिस तरह से पढ़ रहे हैं हम आराम से कर सकते हैं। ये पीवाईक्यूस रिपीटेड क्वेश्चन

की तरह मत देखो। तो ये देखो कॉन्फिडेंस की तरह कि बोर्ड के क्वेश्चंस हैं। मैं कितना कंफर्टेबल हूं इन क्वेश्चंस के लिए। अगर

आप कंफर्टेबल हैं देन बहुत बढ़िया है। ठीक है? अभी यहां मत लिखो। वीडियो खत्म होने के बाद लिखा करो। है ना? ये तो अभी

खत्म होते ही चला जाएगा। वीडियो खत्म होने के बाद लिखा करो। है ना? कि हैटग बीडी डन। चलिए तो बेटा मिलते हैं

फिर आपसे अब नेक्स्ट संडे को। है ना? 8 तारीख को मुलाकात करते हैं और आगे बढ़ाते हैं अपनी जर्नी को डे फोर के अंदर पूरे 15

नंबर कैलकुलस के निपटाते हैं उसको। चलिए सो ब-ब एवरीवन। हैव अ नाइस डे। सभी को राधे-राधे। इसी मेहनत और ईमानदारी से

पढ़ते रहिए, बढ़ते रहिए। आप बहुत बढ़िया कर रहे हैं और आप मचा दोगे यार। ठीक है? चलो ब-ब एवरीवन। हैव अ नाइस डे। राधे-राधे

सभी को। गुड नाइट। सो जाओ।

प्रायिकता वितरण क्या है और इसकी मुख्य विशेषताएं क्या हैं?

अपेक्षित मान (माध्य) और प्रसरण की गणना कैसे करें?

यदि किसी यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण दिया हो, तो अज्ञात प्रायिकता का मान कैसे ज्ञात करें?

द्विपद प्रयोग में प्रायिकता वितरण कैसे ज्ञात करें?

यदि माध्य दिया हो तथा कुछ प्रायिकताएं अज्ञात हों, तो उन्हें कैसे ज्ञात करें?

अपेक्षित राशि की गणना कैसे करें, जब जीत और हार दोनों शामिल हों?

प्रायिकता वितरण में माध्य के धनात्मक या ऋणात्मक होने का क्या महत्व है?

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