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गणित 4.3: वेग, दूरी, जनसंख्या वृद्धि और रेडियोधर्मी क्षय

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प्रश्न 1: वेग और दूरी ज्ञात करना

एक कण एक सीधी रेखा में गति कर रहा है, जिसका त्वरण a = 2t - 7 दिया गया है।

भाग I: वेग ज्ञात करना v(t)

  • दिया गया है: a = 2t - 7, v = 10 m/s जब t = 0
  • हल: त्वरण की परिभाषा से, a = dv/dt = 2t - 7
    • dv = (2t - 7) dt
    • ∫ dv = ∫ (2t - 7) dt
    • v = t² - 7t + C
  • स्थिरांक C ज्ञात करना: v = 10 और t = 0 रखने पर, 10 = 0 - 0 + C ⇒ C = 10
  • अंतिम उत्तर: v(t) = t² - 7t + 10

भाग II: दूरी ज्ञात करना s(t)

  • दिया गया है: v(t) = t² - 7t + 10, s = 0 जब t = 0
  • हल: वेग की परिभाषा से, v = ds/dt = t² - 7t + 10
    • ds = (t² - 7t + 10) dt
    • ∫ ds = ∫ (t² - 7t + 10) dt
    • s = t³/3 - (7/2)t² + 10t + C
  • स्थिरांक C ज्ञात करना: s = 0 और t = 0 रखने पर, 0 = 0 - 0 + 0 + C ⇒ C = 0
  • अंतिम उत्तर: s(t) = t³/3 - (7/2)t² + 10t

प्रश्न 2: जीवाणुओं की संख्या ज्ञात करना

एक संवर्ध में प्रारंभ में 1000 जीवाणु हैं, जो 5 घंटे बाद बढ़कर 900 हो जाते हैं। 7 घंटे बाद जीवाणुओं की संख्या ज्ञात करें।

  • प्रयुक्त सूत्र: dN/dt = kN, जहाँ N जीवाणुओं की संख्या है और k वृद्धि स्थिरांक है।
  • हल:
    1. dN/dt = kN ⇒ dN/N = k dt
    2. ∫ dN/N = ∫ k dt ⇒ ln|N| = kt + C ⇒ N = Ce^(kt)
  • प्रारंभिक शर्त: t = 0 पर N = 1000 ⇒ 1000 = C
  • दूसरी शर्त: t = 5 पर N = 900 ⇒ 900 = 1000 e^(5k)
    • e^(5k) = 9/10
    • 5k = ln(9/10)
    • k = (1/5) ln(9/10)
  • अंतिम समीकरण: N(t) = 1000 e^[(t/5) ln(9/10)]
  • 7 घंटे बाद जीवाणु: t = 7 रखने पर, N(7) = 1000 e^[(7/5) ln(9/10)]
  • गणना: N(7) ≈ 862.85 ≈ 863 जीवाणु

प्रश्न 3: 5 घंटे पहले जीवाणुओं की संख्या

एक संवर्ध में वर्तमान में 1000 जीवाणु हैं, जो 3 घंटे पहले 750 थे। 5 घंटे पहले जीवाणुओं की संख्या ज्ञात करें।

  • प्रयुक्त सूत्र: dN/dt = kN ⇒ N = Ce^(kt)
  • प्रारंभिक शर्त: t = 0 पर N = 1000 ⇒ C = 1000
  • दूसरी शर्त: t = -3 पर N = 750 ⇒ 750 = 1000 e^(-3k)
    • e^(-3k) = 3/4
    • -3k = ln(3/4)
    • k = -(1/3) ln(3/4)
  • अंतिम समीकरण: N(t) = 1000 e^[-(t/3) ln(3/4)]
  • 5 घंटे पहले जीवाणु: t = -5 रखने पर, N(-5) = 1000 e^[(5/3) ln(3/4)]
  • गणना: N(-5) ≈ 619.11 ≈ 619 जीवाणु

प्रश्न 4: रेडियोधर्मी क्षय

एक रेडियोधर्मी समस्थानिक का अर्ध-आयु 12 घंटे है और इसका प्रारंभिक द्रव्यमान 160 ग्राम है।

  • प्रयुक्त सूत्र: dm/dt = -km (ऋणात्मक चिह्न क्षय दर्शाता है)
  • हल: m = Ce^(-kt)
  • प्रारंभिक शर्त: t = 0 पर m = 160 ग्राम ⇒ C = 160
  • अर्ध-आयु: t = 12 पर m = 80 ग्राम ⇒ 80 = 160 e^(-12k)
    • e^(-12k) = 1/2
    • -12k = ln(1/2) = -ln 2
    • k = (ln 2) / 12
  • अंतिम समीकरण: m(t) = 160 e^[-(t/12) ln 2]

भाग I: क्षय स्थिरांक k

  • k = (ln 2) / 12 ≈ 0.05776

भाग II: 36 घंटे बाद द्रव्यमान

  • m(36) = 160 e^[-(36/12) ln 2] = 160 e^(-3 ln 2) = 160 (e^(ln 2))^(-3) = 160 * (2)^(-3)
  • m(36) = 160 / 8 = 20 ग्राम

भाग III: 10 ग्राम शेष रहने का समय

  • माना m(t) = 10 ग्राम ⇒ 10 = 160 e^[-(t/12) ln 2]
    • e^[-(t/12) ln 2] = 1/16
    • -(t/12) ln 2 = ln(1/16) = -4 ln 2
    • t/12 = 4 ⇒ t = 48 घंटे

प्रश्न 5: मुद्रास्फीति दर

यदि वस्तुओं की एक टोकरी की लागत के लिए मुद्रास्फीति दर 8% प्रति वर्ष है, और वर्तमान मूल्य स्तर 1000 रुपये है, तो 5 वर्ष बाद मूल्य स्तर ज्ञात करें।

  • प्रयुक्त सूत्र: dp/dt = r p, जहाँ r मुद्रास्फीति दर है (यहाँ r = 0.08)
  • हल: dp/p = 0.08 dt ⇒ ∫ dp/p = ∫ 0.08 dt ⇒ ln p = 0.08t + C ⇒ p = Ce^(0.08t)
  • प्रारंभिक शर्त: t = 0 पर p = 1000 ⇒ C = 1000
  • अंतिम समीकरण: p(t) = 1000 e^(0.08t)
  • 5 वर्ष बाद मूल्य: p(5) = 1000 e^(0.08*5) = 1000 e^0.4
  • गणना: p(5) ≈ 1491.82 रुपये

प्रश्न 6: अपस्फीति दर

यदि अपस्फीति दर 11% प्रति वर्ष है और 10 वर्ष बाद कीमत 5000 रुपये होने की उम्मीद है, तो वर्तमान मूल्य ज्ञात करें।

  • प्रयुक्त सूत्र: dp/dt = -r p, जहाँ r अपस्फीति दर है (यहाँ r = 0.11)
  • हल: dp/p = -0.11 dt ⇒ p(t) = Ce^(-0.11t)
  • शर्त: t = 10 पर p = 5000 ⇒ 5000 = C e^(-1.1)
    • C = 5000 * e^1.1
  • वर्तमान मूल्य (t = 0): p(0) = C = 5000 * e^1.1
  • गणना: p(0) ≈ 15015 रुपये

प्रश्न 7: बैंक खाते में वृद्धि दर

असलम ने 15 वर्ष पहले एक बैंक खाता खोला और 5000 जमा किए। अब वह खाता बंद करके 15,000 प्राप्त करता है। वार्षिक वृद्धि दर ज्ञात करें।

  • प्रयुक्त सूत्र: dA/dt = kA, जहाँ A राशि है और k वृद्धि स्थिरांक है।
  • हल: A = Ce^(kt)
  • प्रारंभिक शर्त: t = 0 पर A = 15000 ⇒ C = 15000
  • दूसरी शर्त: t = -15 पर A = 5000 ⇒ 5000 = 15000 e^(-15k)
    • e^(-15k) = 1/3
    • -15k = ln(1/3)
    • k = (ln 3)/15
  • गणना: k ≈ 0.0732
  • प्रतिशत में वृद्धि दर: 0.0732 * 100 = 7.32% प्रति वर्ष

प्रश्न 8: शीतल पेय का तापमान (शीतलन नियम)

एक सोडा कैन का तापमान 4°C है, जिसे 24°C वाले कमरे में रखा जाता है। 30 मिनट बाद इसका तापमान 12°C हो जाता है। 1 घंटे बाद तापमान ज्ञात करें।

  • प्रयुक्त सूत्र (शीतलन नियम): dT/dt = -k(T - Ts), जहाँ T कैन का तापमान, Ts कमरे का तापमान (24°C), और k धनात्मक स्थिरांक है।
  • हल:
    1. dT/dt = -k(T - 24) ⇒ dT/(T - 24) = -k dt
    2. ∫ dT/(T - 24) = ∫ -k dt ⇒ ln|T - 24| = -kt + C
  • प्रारंभिक शर्त: t = 0 पर T = 4°C
    • ln|4 - 24| = ln 20 = C
  • दूसरी शर्त: t = 0.5 (30 मिनट) पर T = 12°C
    • ln|12 - 24| = ln 12 = -k(0.5) + ln 20
    • 0.5k = ln 20 - ln 12 = ln(20/12) = ln(5/3)
    • k = 2 ln(5/3)
  • अंतिम समीकरण: ln|T - 24| = -[2 ln(5/3)]t + ln 20
  • 1 घंटे बाद तापमान: t = 1 रखने पर,
    • ln|T - 24| = -2 ln(5/3) + ln 20 = ln[20 / (5/3)²]
    • T - 24 = 20 / (25/9) = 180/25 = 7.2
    • T = 24 + 7.2 = 31.2°C

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