এই লেকচারে ক্যালকুলাস ওয়ানের চ্যাপ্টার থ্রি বি-এর পঞ্চম এবং গুরুত্বপূর্ণ লেকচারটি উপস্থাপন করা হয়েছে। এখানে একটি ফাংশনের সাপেক্ষে আরেকটি ফাংশনের অন্তরীকরণ (Differentiation of a function with respect to another function) নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। যদি আপনি এই অধ্যায়ের অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ অংক ও ট্রিকস জানতে চান, তাহলে দেখতে পারেন উদাহরণ 18: গুরুত্বপূর্ণ অংকের সমাধান | অন্তরীকরণ ক্লাস এবং অনার্স ১ম বর্ষ ক্যালকুলাস ১ চূড়ান্ত সাজেশন ২০২৪ | পাস, ফার্স্ট ক্লাস ও এ+ পাওয়ার উপায়।
একটি ফাংশনের সাপেক্ষে আরেকটি ফাংশনের অন্তরীকরণের মূল সূত্র
যদি আমাদেরকে y = f(x) এবং z = g(x) আকারে দুটি ফাংশন দেওয়া থাকে এবং y-এর সাপেক্ষে z-এর অন্তরজ (dz/dy) বের করতে বলা হয়, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করব:
dz/dy = (dz/dx) * (dx/dy) অথবা, dz/dy = (dz/dx) / (dy/dx)
মনে রাখার ট্রিকস:
- যার সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করতে হবে (এখানে y), তাকে নিচে রাখতে হবে।
- যাকে অন্তরীকরণ করতে হবে (এখানে z), তাকে উপরে রাখতে হবে।
- এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা প্রথমে x-এর সাপেক্ষে উভয় ফাংশনকে আলাদাভাবে অন্তরীকরণ করি, তারপর সূত্রে বসাই।
উদাহরণ ৩৩: sin⁻¹ x এর সাপেক্ষে x^(sin⁻¹ x) এর অন্তরজ
এখানে, y = sin⁻¹ x এবং z = x^(sin⁻¹ x) ধরা হয়েছে।
ধাপ ১: y = sin⁻¹ x এর অন্তরীকরণ
- dy/dx = 1 / √(1 - x²)
- সুতরাং, dx/dy = √(1 - x²)
ধাপ ২: z = x^(sin⁻¹ x) এর অন্তরীকরণ
- এখানে একটি ফাংশনের পাওয়ারে আরেকটি ফাংশন আছে। এর জন্য সূত্র: d/dx (u^v) = u^v * [ v' * ln(u) + (v * u') / u ]
- ধরি, u = x এবং v = sin⁻¹ x
- dz/dx = x^(sin⁻¹ x) * [ (1/√(1-x²)) * ln(x) + (sin⁻¹ x) * (1/x) ]
- dz/dx = x^(sin⁻¹ x) * [ (sin⁻¹ x)/x + (ln x)/√(1-x²) ]
ধাপ ৩: dz/dy নির্ণয়
- dz/dy = (dz/dx) * (dx/dy)
- dz/dy = x^(sin⁻¹ x) * [ (sin⁻¹ x)/x + (ln x)/√(1-x²) ] * √(1-x²)
- সরলীকরণের পর উত্তর: dz/dy = x^(sin⁻¹ x) [ (sin⁻¹ x)√(1-x²)/x + ln x ]
ট্রিকস: কখন x = sin θ, cos θ বা tan θ ধরবেন?
লেকচারার এই ধরনের জটিল ফাংশন সরল করার জন্য একটি সহজ ট্রিকস শিখিয়েছেন:
- যদি √(1 + x²) বা √(x² - 1) থাকে: তাহলে x = tan θ ধরুন।
- যদি √(1 - x²) থাকে: তাহলে x = sin θ বা x = cos θ ধরুন।
- যদি √(1+x)/(1-x) বা অনুরূপ রূপ থাকে: তাহলে x = cos θ ধরুন।
এই প্রতিস্থাপন করলে ফাংশনটি সরল হয়ে যায় এবং অন্তরীকরণ সহজ হয়।
উদাহরণ ৩৫ (ক): tan⁻¹ x এর সাপেক্ষে tan⁻¹ [ √(1+x²) - 1 / x ] এর অন্তরজ
এখানে, y = tan⁻¹ x এবং z = tan⁻¹ [ √(1+x²) - 1 / x ]
ধাপ ১: z-কে সরল করা (x = tan θ ধরে)
- ধরি, x = tan θ, তাহলে θ = tan⁻¹ x
- z = tan⁻¹ [ √(1+tan²θ) - 1 / tan θ ] = tan⁻¹ [ (sec θ - 1) / tan θ ]
- z = tan⁻¹ [ (1/cos θ - 1) / (sin θ/cos θ) ] = tan⁻¹ [ (1 - cos θ) / sin θ ]
- z = tan⁻¹ [ (2 sin²(θ/2)) / (2 sin(θ/2) cos(θ/2)) ] = tan⁻¹ [ tan (θ/2) ] = θ/2
- সুতরাং, z = (1/2) tan⁻¹ x
ধাপ ২: অন্তরীকরণ
- dy/dx = 1/(1+x²) ⇒ dx/dy = 1+x²
- dz/dx = (1/2) * 1/(1+x²)
- dz/dy = (dz/dx) * (dx/dy) = [1/(2(1+x²))] * (1+x²) = 1/2
উদাহরণ ৩৫ (খ): tan⁻¹ x এর সাপেক্ষে tan⁻¹ [ √(1-x²) - 1 / x ] এর অন্তরজ
এখানে, y = tan⁻¹ x এবং z = tan⁻¹ [ √(1-x²) - 1 / x ]
ধাপ ১: z-কে সরল করা (x = sin θ ধরে)
- ধরি, x = sin θ, তাহলে θ = sin⁻¹ x
- z = tan⁻¹ [ √(1-sin²θ) - 1 / sin θ ] = tan⁻¹ [ (cos θ - 1) / sin θ ]
- z = tan⁻¹ [ (-(1 - cos θ)) / sin θ ] = tan⁻¹ [ (-2 sin²(θ/2)) / (2 sin(θ/2) cos(θ/2)) ]
- z = tan⁻¹ [ - tan (θ/2) ] = -θ/2
- সুতরাং, z = -(1/2) sin⁻¹ x
ধাপ ২: অন্তরীকরণ
- dy/dx = 1/(1+x²) ⇒ dx/dy = 1+x²
- dz/dx = -(1/2) * 1/√(1-x²)
- dz/dy = (dz/dx) * (dx/dy) = [ -1/(2√(1-x²)) ] * (1+x²) = - (1+x²) / (2√(1-x²))
উদাহরণ ৩৬: sin⁻¹ (2x/(1+x²)) এর সাপেক্ষে tan⁻¹ (2x/(1-x²)) এর অন্তরজ
এখানে, y = sin⁻¹ (2x/(1+x²)) এবং z = tan⁻¹ (2x/(1-x²))
ধাপ ১: y এবং z-কে সরল করা (x = tan θ ধরে)
- ধরি, x = tan θ, তাহলে θ = tan⁻¹ x
- y-এর সরলীকরণ: y = sin⁻¹ (2 tan θ / (1+tan²θ)) = sin⁻¹ (sin 2θ) = 2θ = 2 tan⁻¹ x
- z-এর সরলীকরণ: z = tan⁻¹ (2 tan θ / (1-tan²θ)) = tan⁻¹ (tan 2θ) = 2θ = 2 tan⁻¹ x
ধাপ ২: অন্তরীকরণ
- dy/dx = 2/(1+x²) ⇒ dx/dy = (1+x²)/2
- dz/dx = 2/(1+x²)
- dz/dy = (dz/dx) * (dx/dy) = [2/(1+x²)] * [(1+x²)/2] = 1
উল্লেখ্য: এখানে y এবং z উভয়ই 2 tan⁻¹ x-এর সমান হওয়ায়, তাদের অন্তরজও সমান, তাই অনুপাত 1 হয়েছে।
ক্যালকুলাস ওয়ান চ্যাপ্টার থ্রিবিতে বি এর পঞ্চম লেকচারে তোমাদের স্বাগত। আমরা এর আগে এই চ্যাপ্টারের উপর আরো চারটা লেকচার
নিয়েছি। আজকে আমাদের পঞ্চম লেকচার। এর আগে যে চার লেকচারে ম্যাথগুলো সলভ করেছি তার থেকে আজকের লেকচারে যে ম্যাথগুলো সলভ করব
খুবই গুরুত্বপূর্ণ। কারণ আজকের লেকচারের যে ম্যাথগুলো সলভ করব এগুলো মাস্ট যেকোন ইউনিভার্সিটিতে চলে আসে। তো খুবই
গুরুত্বপূর্ণ আজকের লেকচারটা। আচ্ছা এবং আগের গুলো থেকে এই এই তোমার আজকের লেকচার ম্যাথের টাইপটা ভিন্ন টাইপের একটু
খেয়াল করে দেখো তোমরা আছে যেমন উদাহরণ যদি তুমি 33 দেখো এখানে বলছে সাইন সাই ইনভার্স এক্স এর সাপেক্ষে
এক্স এক্স এক্স এর পাওয়ার সাইন ইনভার্স এক্স এর অন্তরস নির্ণয় কর এর আগে তো আমরা কি শুধু এক্স এর সাপেক্ষে একটা ফাংশনের
অন্তরীকরণ করছি কিন্তু এখ এখানে দেখ একটা ফাংশনের সাপেক্ষে আরেকটা ফাংশনের অন্তরীকরণ করতে হবে। তো এই ধরনের ম্যাথের
ক্ষেত্রে তোমাকে আমি একটু নোট আকারে তোমাকে বলে রাখি যে তোমরা যাতে বুঝতে পারো সহজে যে নোট মনে কর যে দুইটা ফাংশন থাকবে
এখানে। এ ধরনের এই টাইপের ম্যাথের ক্ষেত্রে কি করবা? দুইটা ফাংশন। এখন তুমি যার সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করবা তাকে নিচে
রাখবা। মানে যার সাপেক্ষে আর যাকে অন্তরীকরণ করো তাকে উপরে রাখবা। এখন এখানে দেখতো সাই ইনভার্স এক্স এর
সাপেক্ষে। তা কার সাপেক্ষে? সাই ইনভার্স এক্স এর সাপেক্ষে। কাকে করব? এক্স এর পাওয়ার সাই ইনভার্স একে অন্তরীকরণ করব।
এখন মনে করো আমরা এইযে সাইন ইনভার্স এক্স আছে না এটাকে আমরা ওয়াই ধরলাম কি ধরলাম ওয় আর এটাকে আমরা ধরলাম
বুঝতে ওকে এখন যেহেতু এটাকেও ধরেছি তাইলে আমরা যার সাপেক্ষে তাহলে যার সাপেক্ষে বলতে কি ক সাই ইনভার্স এক্স এর সাপেক্ষে
একেও ধরেছি তাহলে একে নিচে কি করতে হবে তাকে নিচে অন্তরীকরণ করতে হবে তো দেখো যার সাপেক্ষে বলতে আমরাও এর সাপেক্ষে করতেছি
dওবা ডি এক্স বুঝ আর কাকে করব মানে যাকে অন্তর করব তাকে ধরছি আর সে কোথায় থাকবে উপরে
থাকবে তাইলে উপরে হল বিজবা ডি এক্স বুঝ এখন যাকে আমরা অন্তরীকরণ করব সে উপরে
থাকবে আর যার সাপেক্ষে করব সে নিচে থাকবে মেনলি আমরা দুইটাকেই অন্তরীকরণ করব কিন্তু একটা একটার সাপেক্ষে আরেকটাকে করব এতটুকু
এটুকু তো আশা করি বুঝছো তোমরা। এখন দেখো যে আমরা এখান থেকে একটা কাজ করতে পারি।
এইটাকে উল্টায়ে দিতে পারি। উল্টাইয়া দিয়ে একটা কাজ করা যায় যে এটা এভাবে এরকম তো লেখা যায়। খেয়াল করো
একটু। এইটা তো উপরের সংখ্যা। ডিজ বাই dx। এখন এই নিচেরটাকে যদি তুমি
উপরে নিতে চাও তাহলে কি করতে হবে? উল্টায় দিয়ে গুণাকার চিহ্ন দিয়ে দিতে হবে। ডি এক্স বাই ডিওয়াই।
ঠিক আছে? এবার একটু খেয়াল করো ভাইয়া যে উপরে কি আছে? ডি এক্স নিচে আছে ডি এক্স। এটা এটা কেটে দেয়া যায়। তাহলে অবশিষ্ট
থাকে কি আমাদের এখানে? এখানে আমাদের অবশিষ্ট থাকে। উপরে থাকে ডিজ আর নিচে থাকে ডিওয়াই।
বুঝ? তাহলে এখন আমরা বলতে পারি কি যে ডিজড বাই ডি ওয়াই ইকুয়াল কি এই জিনিসটা না এই জিনিসটা ইকয়াল যদি এইটা হয় তাইলে এটা
ইকয়াল তো এইটা এইটা ডিজবাডিও ইকয়াল ডিজ বাডি এক্স ইট ডি এক্স বাই ডিওয়াই এটা হল আমাদের একটা
সূত্র এই সূত্র দ্বারাই আমরা এই এই টাইপের সকল ম্যাথ সমাধান করব মানে একটা ফাংশনের সাপেক্ আরেকটা ফাংশনের অন্তরীকরণ সমাধান
করব। এখন দেখো আশা করি তুমি এটা বুঝতে পারছো। এখন এখন আমরা একবার এইটার অন্তরীকরণ করব
আরেকবার এইটা করব। করে দুইটা একত্রে করলে এইটা আমাদের চলে আসবে। মেনলি আরো যদি ম্যাথটা সলভ করি তুমি সহজেই বুঝতে পারবা।
আচ্ছা আচ্ছা তাহলে এই কোশ্চেনটা তো প্রবলেম। এর আগে আমরা এখন আমাদের কাজ হল প্রথমে ধরে নিতে হবে। সলিশন
আমরা ধরি ধরি ওয়াই ইকয়াল এই ফাংশন এটা হল কি সাইন ইনভার্স এক্স এবং
এটাকে যদি আমরা ধরি যে ইকুয়াল এক্স এর পাওয়ার সাইন ইনভার্স এক্স
ইহা হইলে ইহা ইহা হইলে
ডিজড বাই ডিওয়াই নির্ণয় করতে হবে।
আশা করি এতটুকু বুঝছো। এখন আমাদের প্রথমে কি করতে হবে? dও এই এটাকে অন্তরীকরণ করে নিব। এই সাই এই ফাংশনটাকে
আমরা জানিও কে ডেরিভেটিভ করলে হয় কি ডিওবা ডি এক্স ইকয়াল আর এখানে আছে কি ডিবা ডি এক্স সাই ইনভার্স এক্স সাই ইনভারস এক্স
ওকে তলে বা ডিওাইবা ডি এক্স ইকুয়াল সাই ইনভার্স এক্স এ
ডেরিভেটিভ সূত্র একটা আছে না এটা সরাসরি সূত্র এই সূত্র তোমাদের দেখাইছিলাম তো এ সরাসরি সূত্রটা এরকম ছিল না
ডিবা ডি এক্স সাইন ইনভার্স এক্স ইকয়াল হল ও বাই রুটভারও মাইনাস এক্স স্কয়ার এটা কিন্তু সূত্র একদম
সেই সূত্রের ফর্মে এখানে আছে তাহলে আমরা সরাসরি সূত্রের মানটা বস এখানে বসতে পারিও বা
রুটভার অফ ও মাইনাস এক্স স্কয়ার বুঝ এখন তোমাকে যে আমি সূত্র দেখাইলাম এই সূত্রতে দেখতো
এরকম কিন্তু কোন ফরমেট নাই। এখানে আছে কি? এইযে এই সূত্র এক্স উপরে আছে আর ডিও নিচে আছে। তার মানে উলটা উল্টা আকারে আছে।
উল্টা আকারে যদি আমি আনতে চাই তাহলে আমার কাজ হল যে এটা উল দেওয়া। আমি লিখতে পারি যেবাডি এক্স উপরে আর হল ডিও আসবে নিচে। এই
পাশে তো একই কাজ হবে। তো এই পাশে যদি এ রুট এই রুটও মাইনাস এক্স স্কয়ার উপরে যাবে আর নিচে আসবে ওয়ান। তোর নিচে আর ওয়ান আমরা
দিলাম না বুঝছো তো নিচে ওয়ান আর দেয়ার প্রয়োজন নাই ওকে এটা আশা করি তুমি বুঝতে পারছো এবার
আমরা কি করব এই জেড কে ডেরিভেটিভ করব ওকে তাহলে কে করে নিম করি আমরা এখন তো দেখো যে আবার আবার আমরা একটু লিখে নি
আবার আবার আমরা ধরেছিলাম ইকুয়াল ছিল কি এক্স এর পাওয়ার
সাই ইনভারস এক্স এ করি তাহলে ওকে এখন বল এখানে একটা সূত্র পড়ে কোন সূত্র এখানে দুইটা ফাংশন একটা ফাংশনের
উপরে আরেকটা ফাংশন আছে তাহলে এটাকে ইউ ধর আর এটাকে ভি ধরো তো এরকম সূত্র আছে না ভুলে গেছ আশা করি তোমরা ভুলো নাইডিবাডি
ইউ এর পাওয়ার যদি ভি হয় তাহলে শুরুতে ইউভি ভি আসে তারপর ডিবা ডি এক্স ভি লন ইউ ঠিক আছে তাহলে এই সূত্রটা আমরা এখানে বসাই তো
আমাদের প্রথমে এটা শুরুতে আসবে তাহলে এক্স সাই ইনভার্স
এক্স এরপর হল ডিবা ডি এক্স তারপরে কি আসবে এখানে ভি কত আছে হল সাই
সাই সাই সাইন ইনভার্স এক্স এটা বসাও তারপর আস একটা সূত্রের লন তারপর হবে কি এক্স লন
এক্স ওকে এরপর দেখ এখানে আরেকবার সূত্র প্রয়োগ করা যায় এ ডেরিভেটিভ করব কাকে এইযে একটা সাই
ইনভার্স এটা একটা ফাংশন আর লন এটা আলাদা একটা ফাংশন এই দুইটা ফাংশন আছে তাহলে দুইটা ফাংশন যদি পাশাপাশি গুণ আকারে থাকে
তাহলে ইউ ইভি এর সূত্র প্রয়োগ করা হয় তাহলে আমরা এটা লিখে নেই তাহলে এখানে x এর পাওয়ার
সাই ইনভার্স x এরপর যদি এটাকে ইউ কে স্থির রাখতে হবে তাহলে ইউভি এর সূত্র কি ভুলে গেছো না ভুলে যাও নাই তোমরা
dবা ডি এক্স ইউ ভি এর সূত্র ছিল আমাদের প্রথমে ইউকে স্থির রাখব তারপরডিবাডি এক্স ভি কে ডেরিভেটিভ করব এরপরে ভি স্থিরবাডি
ইউ কে ডেরিভেটি করব ওকে প্রথম স্থির রাখি হচ্ছে আমাদের সাইন ইনভার্স এক্স এরপর ডি বাই ডি এক্স ভি
ভি হচ্ছে লন এক্স প্লাস লন এক্স ডিবা ডি এক্স ইউই হল সাইন
ইনভার্স এক্স এখন দেখো এক্স এক্স এর পাওয়ার সাইন ইনভার্স এক্স
আর এখানে আছে আমাদের সাইন ইনভার্স এক্স ডি বা ডি এক্স লন এক্স এটা একটা মেন সূত্র লন এক্স এর সূত্র কিও
বা এক্সওবা এক্স এরপর এখানে প্লাস লন এক্স আরডিবাডি এক্স সাই ইনভার্স এক্স এর সূত্র তো কিছুক্ষণ আগেই দেখলাম
বা রটভার অফও মাইনাস এক্স স্কয়ার ওকে এতটুকু বুঝ এবার দেখ এখন কি করা যায়
সাইন ইনভার্স এক্স এটা উপরের সংজ্ঞা না তাহলে উপরে উঠা দাও এই ফাংশনটা উপরে দাও সাই ইনভার্স এক্স নিচে আছে এক্স প্লাস এই
লন কিন্তু উপরে আছে আর রুটারও মাই এক্স স্কয়ার নিচে উপরে হল লন এক্স নিচে আছে রুটভার অফ ও মাইনাস এক্স স্কয়ার ওকে এখন
আমরা এটা কি পাইলাম এটা হল আমাদের কি ডিজবা ডি এক্স এখন সূত্র তো আমাদের ডি ছিল কিন্তু বলে মনে আছে এইযে এখন আমরা এই
মানটা পাইলাম প্রথমে বের করছি আমরা কিডি এক্বাডিও বের করছি তারপরে ডিজবাডি এক্স বের করলাম এখন সরাসরি সূত্র বসায় দিলে
আমাদের এসার চলে আসবে ওকে দেখ তাহলে আমাদের সূত্রটা ছিল ডিজ বাডি
ওই ইকুয়াল ডিজ বা dx ইট dx বা dও এখন আমরা dz এর কি মান
পাইছি মানটা এখানে বসায় দেই dz এর মান পালাম আমরা x এর পাওয়ার সাই ইনভার্স x ইটু
উপরে হলো সাইন ইনভার্স x আর নিচে আছে x প্লাস উপরে আছে লন লন এক্স নিচে আছে 1-
এক্স স্কয়ার এটা তো হলো আমাদের ই এর বাডি এর মানবাডি এক্স এর মান এর সাথে আবার গুণ আকারে আছে
কি তোমার ডি এক্সবাডিও এর মানডিবা এর মান আমরা পাইছিলাম রটভার ও মাইনাস এক্স স্কয়ার ওকে
এখন দেখো এই রুটারও মাইনাস এক্স স্কয়ার এটা কার মান এইযে এর মান এখন এটা এর সাথে গুণ আকার আছে তাহলে গুণ করে দাও এক্স এর
পাওয়ার হল সাইন ইনভার্স এক্স এইটা দ্বারা যদি এখানে গুণ করি তাহলে কি উপরে আসবে
সাইন ইনভার্স এক্স এর সাথে আসবে কি রুট ওভার ও মাইনাস এক্স স্কয়ার রুট ওভার ওান মাইনাস এক্স স্কয়ার আর নিচে রইল আমাদের
এক্স প্লাস এখানে হল লন এক্স এর সাথে আবার কি আছে গুণকারে ও মাইনাস এক্স স্কয়ার আর নিচে আছে
রুটভার অফ ও মাইনাস এক্স স্কয়ার ওকে এখন দেখতো একটু এইযে এটা উপরেও রুটার অফও মাই এক্স স্কয়ার এইটা আর নিচের একই সেম না
এজন্য কেটে দিলাম আমরা বাকি যে অংশটু থাকে সেটা লিখে নিবে তো এক্স এর পাওয়ার হচ্ছে সাই ইনভার্স
এক্স উপরে আছে আমাদের সাইন ইনভার্স এক্স রুটভারও মাইনাস এক্স
স্কয়ার নিচে হল এক্স প্লাস অবশিষ্ট আছে এখানে লন এ আমাদেরসার
আশা করি তোমরা এটা বুঝতে পারছো ওকে এবার আমরা এর পরবর্তী ম্যাথ সলভ করব এবার দেখো উদাহরণ 35 উদাহরণ 35 এ দুইটা
অংক আছে প্রথমে এটা করব তারপরে দ্বিতীয়টা করব উদাহরণ 35 এ বলছেটান ইনভার্স এক্স এর সাপেক্ষে এক নাম্বার বলছেটান ইনভার্স এ
ফাংশনটার অন্তরস নির্ণয় করা আগেরটার মতই দুইটা ফাংশন আছে একটা ফাংশনের সাপেক্ষে আরেকটা ফাংশনের অন্তরস নির্ণয় করতে হবেতো
একটা ফাংশনের সাপেক্ষে আরেকটা ফাংশন অন্তরস নির্ণয় করার ক্ষেত্রে আমরা প্রথমে কি করি ধরে নেই সশন
ধরি তাহলে যার সাপেক্ষে করব তাকে আমরা ধরি ওয় ইকুয়াল
টান ইনভার্স এক্স এবং যাকে করবো তাকে ধরি যে ইকুয়াল টান ইনভার্স
রুট ওভার অফ ও প্লাস এক্স স্কয়ার মাইনাস ওান আর নিচে আছে এক্স। ওকে ইহা হইলে
ইয়া হইলে আমাদের কি করতে হবে? ডিজড বাই ডিওয়াই নির্ণয় করতে হবে। করতে হবে। ওকে। তাহলে আমরা প্রথমে এটাকে
ডেরিভেটিভ করে নেই। y ইকয়টান ইনভার্স এটাকে ডেরিভেটিভ করি। তাহলে আমাদের দেওয়া আছিল y ইকুয়াল
টান ইনভার্স এক্স। এটাকে যদি আমরা y কে ডেরিভেটিভ করলে হয় dও / d এক্স ইকুয়াল ডিও বাডি এক্স
টান ইনভার্স এক্স বা ডিওয়াই বা
ডি এক্স ইকুয়াল এই সূত্র কি মনে আছে তোমাদের যে ডি বাই ডি এক্স
টান ইনভার্স এক্স ইকুয়ালও বাই ও প্লাস এক্স স্কয়ার এটা কিন্তুটান ইনভার্স এক্স এর মেন সূত্র তাহলে এখানে
কিন্তু একই ফরমেট আছে ওই ফরমেটেই আছে তাহলে আমরা এখানে সরাসরি মেন সূত্র বসা দিতে পারি যে 1 / 1 প এক্স স্কয়ার এখন
আমাদের এখানে আছে কি dও / dz dx কিন্তু আমাদের dও / dx লাগে না আমাদের সূত্র অনুসারে লাগে এক্স উপরে থাকবে আরও নিচে
থাকবে তাহলে উল্ট দেই আমরা এক্স বা ডিওাই ইকয়াল হচ্ছে এই ওান প্লাস এক্স স্কয় উপরে দিলে আর নিচে আসবে তার
মানে হচ্ছেও প্লাস এক্স স্কয়ার নিচে ওয়ান দেয়া না দে একই কথা ওকে তার মানে আমাদের প্রথম ফাংশনটার কাজ শেষ আবার সেকেন্ড
ফাংশন সেকেন্ড ফাংশন আছে কি আবার আমাদের দেওয়া আছেজ ইকয়াল টান ইনভার্স
রুটভার অফ ও প্লাস এক্স স্কয়ার মাইনাস ও আর নিচে আছে এক্স
ওকে এখন এর আগের লেকচারে আমরা এই টাইপের ম্যাথ সলভ করেছিলাম দেখ এখানেটান ইনভারস আরেকটা ফাংশন আছে যেটা কিনা এটা কিন্তু
এক্স এর পরিবর্তে আছে এটাকে আমরা যদি সলভ করে অনেক বড় হবে এবং সলভের সমাধানের সহজে আসবে এজন্য আমরা এখানে এমন একটা কিছু করব
যাতে এখানে একটা কি আসেট আসে ওইটান আর এইটান কেটে দিলে যে থিটার জায়গায় যে মানটা থাকবে সেটাকে আমরা ডেরিভেটিভ করলে সহজে
আমরা সলিউশন পাব এখন এখানে আমরা এক্স এর পরিবর্তে কিছু একটা ধরে নিব কি করব আমরা এখানে এক্স এর পরিবর্তে একটা ধরে নিব আমরা
ধরি যে ধরি এক্স ইকুয়ালট থি
তাহলে থিটা কি থিটা ইকয় টান ইনভারস এক্স ওকে এখন আমরা এক্স এর
জায়গাগুলোতে কি বসাবোটান থিটা বসাব দেখলেট আচ্ছা এখন তোমাদের একটা প্রশ্ন হতে পারে আমার কাছে যে ভাইয়া তো আপনি এখানে এক্স
ইকয়ট থিটা ধরলেন এর আগে একবার তো আবার কস থ ধরছেন সাই থ ধরা যায় সাই থ কস থট থ এখন আমরা কখন কোনটা বুঝব এই ফাংশনগুলা দেখে
তোমাকে বুঝতে হবে যে এখানে কি করতে হবেট থিটা ধরলে ফাংশনটার কিট যদি ধরি তাহলে কি এখান থেকেট আসবে একটা এগুলো হিসাব করে
মানে সরল করার পরে নাকি কস ধরলে পরে সূত্র প্রয়োগ করে আসবে তো এটা যদি তুমি প্রথমে ক্যালকুলেশনটা একটু হিসাব করতে পারো মানে
সরলটা হিসাব করতে পারো যেগুলো সূত্র প্রয়োগ করেট সূত্র প্রয়োগ করে এখানে একটা আসবে আর অথবা কস বসাইলে তাছাড়া
আরেকটা সহজ টেকনিক আছে যেগুলো আমি ডেফসি তার জিবি সংরক্ষণ করে রাখছি আমি তোমাদের এই ম্যাথটা সলভ করার পরে সে বিষয়টা
দেখাইতেছি ওকে চল এইটা আমরা এক্সটান থিটা ধরে নিলাম তাহলেটান থিটা ধরলে পরে এখানে রুট ওভার অফ ও প্লাস এক্স স্কয়ার আছে
তাহলে এখানে হবেটান স্কয়ারট স্কয়ার থি মাইনাস ওান নিচে হবে টান থি ওকে
এখন দেখো টান ইনভার্স
এখানে আছে আমাদের ওান প্লাস টান স্কয়ার থিটা তোও প্লাস টান স্কয়ার থিটার মানে আমরা জানি কি সেক স্কয়ার থিটা মাইনাস ওয়ান
আর নিচে আছে টান থিট থটান ইনভারস
এখন আমরা স্কয়ার আর রুট বাদ করতে পারি তাহলে আমাদের থাকতেছে সেক থিটা মাইনাস ওান আর নিচে হলট থি এটা
আচ্ছা এরপরে দেখো এখানে একটা কাজ করা যায় যেটান ইনভার্স
সেক থিটা সমান আমরা জানি কি 1 / কস থিটা 1 / কস থিটা আর এখানে কি আছে মাইনাসও আর নিচেটান থিটা সমান জানি আমরা সাই থিটা
বা কস থিটা সাইন থিটা বা কস থি ওকে বুঝতেছে এগুলা এগুলা আগে থেকে আমরা জানি এখনটান
থিটা উপরে যদি আমরা লসাগু করি এই যে 1 / কস থ মাই ও আছে না এখানে যদি আমরা লসাগু করি তাহলে কি পাব
এইটান ইনভার্স ওয় এখানে থটান ইনভারস তাহলে কস থি লসাগু কস থিটা যেহেতু এইডা সেম বাদ তাহলে উপরে ওয়ান আছে ওটা থাকবে এরপর হল
মাইনাস এখানে কি আছে ওয় তাইলে কস থ ওান কে গুণ করলে হয় কস থ ক থ আর এখানে ভাগ আকার আছে
সাই থিটা বা কস থিটা এটাকে আমরা গুণ আকারে নিব উল্ট দিয়ে উপরে হবে যাবে এখন কস থিটা আর সাইন থিটা আসবে নিচে
সাইন থি এবার দেখো এই কস থিটা আর এই কস থিটা কাটা যায় তাহলে
আমাদের অবশিষ্ট রইল কিটান ইনভার্সও মাইনাস কস থিটা আর নিচে হল সাইন থিটা ওকে এখন আমাদের এইটা থাকে আমরাও মও মাইনাস কস থি
একটা সূত্র জানিও মাই কস থিটা ইকুয়ালট সাইন স্কয়ার থিটা বাট আবার আরেকটা সূত্র
জানতাম কস থিটা সরি সাইন থিটা সাইন থিটা ইকয়ট সাইন
থিবাট কস থবা ক থবা এখন এই সূত্র দুইটা এখানে বসাবো কারণ আমাদের এখানেট আনতে হবে এই সূত্র দুইটা যদি এখানে বস দেখব যেটান
দিকে ধাবিত হচ্ছে তাহলে এখানে লেখা যায় টান ইনভার্স ওয়ান উপরে ওয়ান মাইনাস কস থিটার বৈতটু সাইন
স্কয়ার সাইন স্কয়ার থিটাবাট আর নিচে সাইন থিটার সূত্র হচছেটু সাইন থিবাট কস থবাট
সাইন থিটাবাট কস থিটাবাট ওকে এবার দেখো এখানে দুইটা সাইন থিটা আছে থবাট
আছে আর এখানে একটা সাই থবাট আছে এইটা আর এইটা কাটলে উপরে আরেকটা কি থাকে সাইন থিটা বাট থাকে আর এইটু আর টু কেটে দাও তাহলে
এখন আমাদের অবস্থানে রইলোটান ইনভার্স ওয় আর উপরে থাকতেছে সাইন থিটা সাইন থিবাট নিচে আছে কস থিবাট এইযে কস
থিবাট তো সাইন থি বা কস থিটা এর পরিবর্তে আমরা জানি কিটান থিটা তাইলেট টান ইনভার্স ইটুটান
থি / 2 ওকে তাহলে এইটান আর এইটান ইনভার্স আর এইটান কেটে দেওয়া যায় থাকতেছে শুধু থিটা /ট সুতরাং z ইকুয়াল থবাট এখন আমরা কি
জানি থিটা সমান আমরা একটা মান ধরে নিয়েছিলাম না সেটা কি ছিল থিটা সমান দেওয়া ছিল কি এই টুটাকে যদি আলাদা করি তাহলে হাফ
হবে আর থিটার মান ছিলটান ইনভার্স এটা আমরা কিন্তু ধরে নিয়েছিলাম শুরুতে তো এখন এখন এই এটাকে আমাদের
ডেরিভেটিভ করতে হবে। তাহলে সুতরাং ডিজড বাই ডি এক্স ইকুয়াল ডি বাই ডি এক্স টান ইনভার্স এক্স এটারে ডেরিভেটিভ করলেটান
ইনভার্স সূত্র কি বল এটার সূত্র হল আমাদের আচ্ছা এখানে হাফটা এই হাফ দেয় নাই তাহলে হাফ হাফ কনস্ট্যান্ট তাহলে হাফটাকে রাখো
আরটান ইনভার্স এক্স এর সূত্র যে কিওবাও প্লাস এক্স স্কয়ার ওকে এখন আমরা দুইটাই পাইছি জাস্ট এখন সূত্রতে
মানগুলো বসাবো সুতরাং ডিজড বাই ডি ওয়াই ইকুয়াল ডিজড বাই ডি এক্স ইটু ডি এক্স বাই ডিওয়াই
ওকে এখন দেখতোবাডি এক্স সমান কত পাইলাম হাফ হাফও বাও প্লাস এক্স স্কয়ার ইনটু আর তোমার
কি বলে ডি এক্স বাডি এক্স বাডিবা সমান আমরা পাইছিলাম কি 1 প্লাস এক্স স্কয়ার এটা কিন্তু উপরের সংখ্যা নিচে মনে
মনে ওয়ান ছিল আচ্ছা তাহলে এখন দেখো এই উপরেও প্লাস এক্স স্কয়ার আছে আর নিচেও প্লাস এক্স স্কয়ার আছে তাহলে এটা কাটা দাও
অবশিষ্ট থাকতেছে কি শুধুমাত্র হাফ হাফ অবশিষ্ট আছে এটাই হল আমাদের তোমার 35 এর এক এসার এবার আমরা 35 এ দুই অংক করব
আচ্ছা তার আগে তোমাকে বলছিলাম যে আমরা কখন সাই থিটা কখন কস থ কখনটান থ এটা দেখাব আচ্ছা চল এটা আগে দেখাইনি তোমাদের দেখ যদি
তুমি ওইভাবে হিসাব করতে না পারো তখন এই এই টেকনিকটা ইউজ করবা এটা আমার ই করা এই তোমার সেট জিডি বা এখান থেকে সংরক্ষণ করা
যদি তুমি দেখো যে রুটের উপর রুট এর মধ্যে আছে একটা ধ্রুবক প্লাস এক্স স্কয়ার অথবা ও প্লাস মাইনাস এক্স স্কয়ার থাকে তাহলে
তুমি ধরে নিবা যেট থ এক্স ইকয় টান থিটা ধরে নিবা বুঝ যদি কি দেখো রুটের ভিতরে ওান প্লাস বা এটা একটা ধ্রুবক
ধ্রুবক প্লাস এক্স স্কয়ার অথবা ও প্লাস মাইনাস এক্স স্কয়ার তাহলে এক্স ইকট থবা আর যদি দেখো যে রুটের মধ্যে ও মাইনাস এক্স
স্কয়ার আছে তাহলে তুমি সরাসরি এখানে এক্স ইকয়াল ধরে নিবা সাইন থি সাই থি এরপরে যদি তুমি দেখো যে
রুটের উপরে ওান প্লাস এক্স রুট ওভারও মাইনাস এক্স অথবা দুটা একসাথে রুট থাকতে পারে তাহলে তুমি এখানে ধরে নিবা যে এক্স
ইকুয়াল কস থ এখন তুমি বাকি যে অংকগুলো করেছি তোমার করে দেখাইছি সেগুলো একটু মিলায়ে নিবা যে এই
ফরমেটে থাকলেট থ ধরা হচ্ছে কিনা আর এই ফরমেটে থাকলে কস সাই থ ধরেছে কিনা বুঝ এবং তারপরেও তো আরো ম্যাথ করব। তাহলে ওখানে
তোমাদের দেখাবো যে এই টিক্সটা খাটে কিনা। আর তুমি যদি ওই ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্রগুলো সব জানা থাকে সহজে ক্যালকুলেশন
করতে পারো। তাহলে তো ব্যাস আলহামদুলিল্লাহ হয়ে গেল। আর যদি ওইটা খেয়াল করতে না পারো তাহলে তুমি এই টেক্সটা এপ্লাই করতে পার।
আশা করি এইটা দিয়ে হয়ে যায় সবগুলা। আচ্ছা ওকে তাহলে এর পরবর্তী ম্যাথটা আমরা করব। এবার দেখো 35 এরদ এ বলছে টান ইনভার্স এক্স
এর সাপেক্ষেট ইনভার্স এইযে এই ফাংশনের অন্তরস্থ নির্ণয় করতে হবে এখন আমাদের কাজ হল কি প্রথমে প্রথম ফাংশনটাকে আমরাও ধরে
নিব আর দ্বিতীয় ফাংশনটাকে ধরে নিব এরপরে প্রথম ফাংশন ডেরিভেটিভ করব তারপর সেকেন্ড ডিভেটিভ করব দুইটা একসাথে করে দিলে
আমাদেরসার চলে আসবে ওকে চল শুরু করি সমাধান ধরি
ওয়াই ইকুয়াল টান ইনভার্স এক্স এবং জেড ইকুয়াল
টান ইনভার্স ও মাইনাস এক্স স্কয়ার মাইনাস ও আর নিচে আছে হল এক্স ওকে ইহা হইলে
ইহা হইলে ডিজেড বাই ডিওয়াই
নির্ণয় করতে হবে ওকে তাহলে প্রথমেও কে ডেরিভেটিভ করে নেই তাহলে ওই কে যদি ডেরিভেটিভ করি ডিওাই বাই
ডি এক্স ইকুয়াল ডিবা ডি এক্স টান ইনভার্স এক্স ওকে বা
ডিওয়াই বাই ডি এক্স ইকুয়াল টান ইনভার্স এক্স কে যদি আমরা ডেরিভেটিভ করি এ মেন সূত্র সরাসরি ও বাই
ও প্লাস এক্স স্কয়ার ঠিক আছে এখন ওয় তো আর আমাদের সূত্র ওয় বা এক্স হবে না লাগবে আমাদের কি এক্স বাওয় তাহলে আমরা এক্স কে
উপরে রাখি ডি এক্স বাডিওাই ইকয়াল এইটা তো উল্টে যাবে তাহলে উপরে আসবে ও প্লাস এক্স স্কয়ার আর ওয়ান আসবে নিচে
ব্যাস আমাদের প্রথম মান পেয়ে গেলাম এবার সেকেন্ডটা লাগবে তাহলে আমাদের আবার দেওয়া আছে
আবার আমরা কি ধরেছিলাম যে zজ ইকয়াল z ইকয়াল ধরেছিলাম আমরা টান ইনভার্স
রুট ওভারও মাইনাস এক্স স্কয়ার মাইনাসও আর নিচে আছে কি এক্স আচ্ছা এই ধরনের ফাংশনের ক্ষেত্রে যত ঝামেলা তো এই ফাংশনের
ক্ষেত্রে এখন আমাদের কি করতে হবে এখানে এমন একটা এখানে এমন কাজ করতে হবে যাতে এখানে একটা আসে এইট আরট বাদ দিয়ে যাতে যে
মানটা পাব সেটার ডেরিভেটিভ করা সহজ হবে এবার তোমরা আমাকে কে বলো আমি কিন্তু তোমাদের কিছুক্ষণ আগে দেখাইলাম ট্রিক্স
দেখাইলাম যে এখানে তুমি কি ধরবা এক্স ই সাইন কসটান এই তিনটার ভিতরে কোনটা ধরবা বল এটা কোন পজিশনে আছে এটাকে দেখে তোমাকে
ধরতে হবে যে কোনটা ধরবা দেখ আমি তোমাদের একটু বের করে দেখাই আমি বলছিলাম যে যদি রুটের ভিতরেও প্লাস
এক্স স্কয়ার থাকে তাইলে ধরট থি তাই না আর যদি রুটের ভিতরে মাইনাস থাকে এখানে কি আছে এইযে রুটের ভিতরে মাই এক্স স্কয়ার আছে
তাহলে এটা থাকলে আমাদের কি ধরতে হবে এক্স ইক সাই থি ফাইন তাহলে আমরা এক্সই সাই থ ধরে ম্যাথটা সলভ করব ওকে তাহলে আমরা এখানে
ধরি ধরি লেটস এক্স ইকয়াল সাইন থি তাহলে থিটা কি হবে থিটা ইকয়াল হবে সাইন
ইনভারস এক্স ওকে তাহলে এখন এখন তুমি এই এক্স এর জায়গায় সাই থিটা বসাও তোটান
ইনভার্স রুট ওভারও মাইনাস সাইন স্কয়ার
থিটা মাইনাস ও আর নিচে হলো কি এক্স এর জায়গায় সাইন সাইন থিটা যেহেতু এখানে এক্স স্কয়ার ছিল এজন্য কি সাই স্কয়ার থিটা হয়ে
গেছে এবার খেয়াল করো যেটান ইনভার্স ওয়
আমরা এরকম একটা সূত্র জানতাম যে ও মাইনাস সাইন স্কয়ার থিটা ইকুয়াল কস স্কয়ার থিটা এই সূত্র জানি না আমরা
তাহলে সূত্র এখানে বসাতে পারি নাও মাই কস স্কয়ার থিটার পরিবর্তেও মাই সাই স্কয়ার থিটার পরিবর্তে কস স্কয়ার থিটা বসাইতে
পারি তাহলে এখানে এটা বসা দাও উপরে হবে রুট ওভার অফ কস স্কয়ার থি মাইনাসও নিচে আছে সাইন থি সাইন থি
এখন এখন সাইন থিটাটান ইনভার্স একটু খেয়াল করো তো এই রুট আর স্কয়ার বাদ দেয়া যাবে না অবশ্যই দেয়া যায়
তাহলে থাকতেছে কস থিটা কস থটা মাইনাসও আর নিচে আছে সাইন থিটা ওকে এবার দেখোটান থিটা ইনভার্স টান ইনভার্স এখন
কস থিটা মাইনাসও এটার একটা সূত্র দেখাইছিলাম না মাইনাস প্লাস দুইটা সূত্র তোমাদের দেখাইছিলাম এই দেখো
কস থটা মাইনাস ও অথবা এখানে ক এখানে এরকম কস থটা মাইও তো কস থটা
মাইনাসও এটা না করে আমরা একটা কাজ করতে পারি এখানে এই মাইনাস একটাকে মাইনাস কমন নিব নিয়ে সূত্রের ফরমেট আনব তাহলে
ওয়ানটাকে শুরুতে আনবো আর সামনে প্লাস হলে কি যাবে মাই কস থ মাই এরকম সূত্র সূত্র আমাদের জানা নেই
আমাদের জানা আছেও মাই কস থও মাই কস থি সূত্র কিও মাই কস থি সূত্র হছে আমাদেরট সাই স্কয়ার থিবাট এইযে মাইনাসটা ছিল এটা
মাঝখানে রাখো শুরুতে রাখো তাহলে তো হয়ে গেল তো আমরা আবার আরেকটা সূত্র তো জানি এটা এখানে লিখে নেই সাই থ সমান
সাই থ ইক সাই থি কস সাই থিবা কস থিটা বাইটু
ওকে এখন এই সূত্রগুলো আমরা এখানে বসায় দিতে পারি তাহলে উপরে আসবে একটা মাইনাস আসবে এইযে
মাইনাসট সাইন স্কয়ার থিটাবাইটু আর নিচে আসবেট সাইন থিটা বাইটু
কস থিবাট ইনভারস এখানে দুইটা সাই সাই সাইন থিটা আছে থবাট
আছে এখানে একটা আছে তাইলে এটা কেটে দেয়া যায় আচ্ছা প্রথমে এইটু আর টু কেটে দাও আর সাইন স্কয়ার থিটা থেকে আরেকটা সাই স্ক
সাই থিটা বাদ দাও উপরে আমাদের থাকতেছে একটা সাইন থিটা একটা সাইন থিটাবাট আর নিচে হল কস
থবাট আরেকটা মাইনাস এখানে আছে মাইনাসটা রেখে নাও এখন এখানে কি আসবে বল সাই সাই থবা কস থ সমান আমরা কি জানিটান থ জানি তাই
না স্বাভাবিকভাবে আমি তাহলে লিখে দেই যেটান ইনভার্স ইটু মাইনাস এটার পরিবর্ত হলট
থবাট সাই থবাট বা কস থবাট এর পরিবর্ত কিট থবাট এখন এইটান ইনভার্স আর এইট কেটে দাও যেহেতু
এগুলো গুণ আকারে আছে একটা আরেকটা ভাগ আকারে আছে বিপরীত তাহলে আমাদের থাকতেছে মাইনাস
থবাট এখন আমরা থিটা সমান কি জানি বল আমরা জানি মাইনাস থিটা সমান আমরা ধরেছিলাম এই যে সাইন ইনভার্স এক্স থিটা সমান ধরেছিলাম
কি সাই ইনভার্স এক্স তাইলে থিটা যদি মানটা বসাই তাইলে হবে নিচের টু উপরে হলো সাইন ইনভার্স এক্স বা এটাকে এভাবে লেখা
যায় মাইনাস হাফ সাই ইনভারস এক্স ওকে এখন আমরা ইক এই মানটা
পাই একে আমরা এখন ডেরিভেটিভ করব যাতে আমাদের একে তো আমরা সহজে ডেরিভেটিভ করতে পারব তাই
ইকয় এই মানটা পেলাম চল এটাকে ডেরিভেটিভ করি তাহলে আমরাজ ইকয়াল মাইনাস হাফ সাইন থিটা এখন এটাকে আমরা কি করবো এক্স এর
সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ করব এখানে চাইলে আরেকটু কাজ করে আসা যা দিয়ে মাইনাস থবা একটু ফাংশন কাজ করে আসা য
কাজ করে যেসারটা আসবে এমনিতো সেইসার তাই ঝামেলা জড়লাম না আমরা এখন এটাকে কি করব সাপেক্ষে এক্স এর সাপেক্ষে
অন্তরীকরণ করে [মিউজিক] পাইজ
কে যদি করি তাহলে কি হবে ডিজ বাই ডি এক্স ইকুয়াল ডিবাই
ডি এক্স মাইনাস হাফ সাই ইনভারস এক্স তুমি প্রথমে এই কনস্ট্যান্টটাকে সামনে
রেখে দাও তহলে মাইনাস হাফ আর সাইন ইনভার্স এক্স কে করলে কি পাই আমরা ও বাই ও বা রুটওভার অফও মাই এক্স স্কয়ার এটাই তো
ওকে এখন আমরা ডিজ বাডি এক্স এবং ডিওবাডি এ দুইটাই পাইছি তাহলে সুতরাং লিখতে পারি ডিজবা
ডিওাই ইকুয়াল ডিজবা ডি এক্স ইট
ডি এক্স বা dও ওকে এখন dx dz / dx মান পাইলাম আমরা মাইনাস হাফ
1 / রুট ওভার অফও মাইনাস এক্স স্কয়ার ইনটু ডি এক্স বাই আর এইটা সমান পাইছিলাম আমরাডিবাডি এক্স
ইকয় ও প্লাস এক্স স্কয়ার ডিভ এইটা পাইছিলাম এখন এইটাকে যদি একসাথে করে রাখি মাইনাস
হাফ এইটাকে উপরে দিয়ে দাও ওান প্লাস এক্স স্কয়ার আর নিচে ওয়ানের সাথে গুণ করলে এইটা চলে আসেও মাইনাস এক্স স্কয়ার এটা হল
আমাদের এটারসার আশা করি তোমরা এটা বুঝতে পারছো ওকে এরপর আরেকটা করলে আমাদের এই চ্যাপ্টার একদম শেষ মোটামুটি শেষ হয়ে গেল
দেখ উদাহরণ এ বলছে সাই ইনভার্সট ভেও প্লাস এক্স স্কয়ার এর সাপেক্ষেট ইনভার্সট এক্স ভও মাই এক্স স্কয়ার এর অন্তরজ নির্ণয়
করা তাহলে আমাদের কি করতে হবে প্রথমে একটা সাপ এই একে আমরা ধরবো একটা ওয় ইকয়াল আর এটাকে ধরবো কিজ ইকয়াল তারপর আমাদের
ডিজবাডিও নির্ণয় করতে হবে তাহলে সলিুশন ধরি ওয়াই ইকুয়াল
সাইন ইনভার্স টু এক্স ডিভাইডেড ও প্লাস এক্স স্কয়ার এবং
জেড ইকুয়াল টান ইনভার্স টু এক্স ও মাইনাস এক্স স্কয়ার
হলে আমাদের কি করতে হবে ডিজবাডিও নির্ণয় করতে হবে ওকে
এখন তাহলে আমরা প্রথমেও কেও কে ডেরিভেটিভ করে নিই এখন ওই ইকয়াল আমাদের কত দেয়া আছে
সাইন ইনভার্স 2 এক্সও প্লাস এক্স স্কয়ার এখন দেখো এখন আমরা এটা
এটাকে সহজেই ডেরিভেটিভ করতে পারবো না। এখন আমরা কি এক্স এর একটা মান ধরে নিব। এবার আমাকে বলতো যে এখানে এক্স এর জায়গায় কি
ধরবো আমরা? এক্স এর জায়গায় সাই কসটান কোনটা ধরবো বল? আমি একটা দেখাইছিলাম।
এখানে আমরা কি করতে পারি? ধরি। লেটস কি ধরবো? একটু আমাকে মনে করে বলে দাও। কি ধরা যায়? আমি তোমাদের বলছিলাম যে যদি রুট
ওভার অফ রুটের ভিতর ওান প্লাস এক্স স্কয়ার থাকে অথবা স্বাভাবিকভাবে কিও প্লাস মাইনাস এক্স স্কয়ার থাকে এ যে কোন ভগ্নাংশ নিচে
উপরে থাকতে পারে সমস্যা নাই আর যদি রুটের ভিতরে ভিতরেও মাই এক্স স্ক তাহলে হল সাই এবার দেখ এটা কোনটার সাথে মিলে যায় আমাদের
এই দেখ এখানে কি আছে এখানে আছে কিও প্লাস এক্স স্ক বলছিলাম ভগ্নাংশের উপরে নিচে থাকতে পারে প্লাস এক্স স্কয় যেহেতু আছে
আমাদের এই কন্ডিশনের সাথে মিলে যাই তাহলে আমরা x = tan থিটা ধরে নিব। ঠিক আছে? ওকে তাইলে আমরা x = tan থিটা ধরে এটা সলভ
করবো। ওকে তো তাইলে আমরা এক্স ইকয়াল টান থিটা বা
থিটা ইকুয়াল টান ইনভারস এক্স ওকে তাইলে বাও
ইকুয়াল সাইন ইনভার্স টু
টান থিটা আর নিচে হল 1 প্লাস টান স্কয়ার থি ওকে এখন দেখো
সাইন ইনভার্সট একটা সূত্র আছে না যেটান থিটা সমানটান থিটা ইকয়াল
সাইন থিটা বা কস থি এটা তো জানি আমরা সবাই এখানে বসট আছে উপরে আছে আমাদেরট ই সাইন থিটা
বাই কস থিটা আর নিচে হবে কি 1 প্লাস সাই স্কয়ার থি নিচে হলো কস স্কয়ার থি ওকে এখন তুমি কি করবা সাইন
ইনভারস উপরে আছেট ই সাইন থিবা কস থ নিচে এখানে কিন্তু লসাগু করা যায়
তাহলে এটা লসাগু করে নিচে নিচে কি আসবে? লসাগুতে আসবে কস স্কয়ার থিটা। কস স্কয়ার থিটা। তাহলে কস স্কয়ার থিটা দ্বারা ওয়ান
এর সাথে গুণ করলে হবে কস স্কয়ার থিটা। এরপরে প্লাস আছে। এটা এটা যেহেতু সেম জাতীয় তাইলে এখানে কি হবে? সাই স্কয়ার
থিটা। সাইন স্কয়ার থি। ওকে আচ্ছা এগুলো একটা ব্র্যাকেটের ভিতরে রাখো। ওকে। এখন দেখো সাইন
ইনভার্স এখানে এটাকে আমরা উল্টয়ে দিব কি করব উল্টয়ে দিব তাইলে থাকতেছে আমাদেরট উপরে
আছে কি সাইন থি আর নিচে আছে কি কস থি কথ এইযে এটা এইটা লিখলাম আমরা এখন এটা নিচে আছে না এটাকে উল্ট দাও ইট তলে কস স্কয়ার
থিটা কোথায় যাব উপরে উপরে যায় কি হবে উপরে হল কস স্কয়ার থি আর কস স্কয়ার থিটা প্লাস সাই স্কয়ার থিটা এটা কোথায় আসবে নিচে আসবে
কস স্কয়ার থিটা প্লাস সাইন স্কয়ার থিটা ওকে এখন দেখো সাইন ইনভারস সাই ইনভার্স এইযে এখানে
কি আছে এখানে আছে কস থিটা এখানে দুইটা কস থ তাহলে একটা কাটলে আরেকটা কি থাকতেছে কস থ আর আমরা জানি এইযে এটা জানি যে কস
স্কয়ার থিটা প্লাস সাই স্ক স্কয় থ ইকয়ও বা সাই স্কয়ার থিটা প্লাস কস স্কয়ার থ ইকয় একই কথা দুইটার
সামনে কি আছে প্লাস আছে মাইনাস থাকলে ঝামেলা হতো কোন ঝামেলা নাই তাহলে এটার পরিবর্তে আমরা কি লিখব এখানে ওয়ান ওকে
তাহলে আমরা এখন লিখতে পারি যে উপরে আমাদের থাকতেছে এইযে এইযে দুইটা থাকতেছে দেখ আলাদা করে লিখি যেট
সাইন থ আর নিচে থাকতেছে কি একটা কস থ কস থ তোটু সাইন থিটা কস থিটা এর একটা কিন্তু
সূত্র আছে সেটা কি তোমরা জানো অবশ্যই জানো এবার চল এটা দেখাই আগে সাই ইনভার্সট
সাইন থিট কস থি এর পরিবর্তে লেখা সাইট থি তাইলে সাইনট
থি এটা কিন্তু একটা সরাসরি সূত্র সূত্রের পরিবর্তে আমরা এটা লিখলাম এখন আমাদের এই সাইন আর এই সাইন কি করা যাবে কাটা যাবে
কেটে দাও এটা এটা কাটলে আমাদের থাকতেছে কি অবশিষ্ট থি থ আমরা কি ধরেছিলাম দেখ থমট ইনভারসট ইনভারস বস দাও
ইট ইনভারস এক্স এবার এটাকে যদি আমরা ডেরিভেটিভ করি কি আসবে দাড়াবেডি
ওই বাই ডি এক্স ইকুয়াল ডিবা ডি এক্সট ইনভারস এক্স তাইলে টুত ধ্রুবক থাকলো টান
ইনভার্স এক্স কে ডেরিভেটিভ করলে কিও বাও প্লাস এক্স স্কয়ার এখন এটাকে কি করতে হবে বলও তো রাখলে হবে
না উল্টয় দিতে হবে উলটায় যদি দেই আমরা এখানেই লিখব উলয় দিলে কি আসবে টুটা উপরে নিচে আসবে তাহলে নিচে আসল আচ্ছা এখানে
dওবা dx dওবা dx করলে পরে আরটু আসবে নিচে উপরে যাবে 1 প্লাস এক্স স্কয়ার ওকে এবার
পরবর্তী অংশটুকু আমরা করব এখন দেখোজ ইকয় দিয়া ছিলটান ইনভার্সট এক্স ডিভও মাই এক্স স্কয়ার এখন এই ফাংশনকে আমরা
কি করব যেকন একটা মান ধরে নিব যেটা ধরে আমরা এখানে একটা আনব যাতে এটা কাটা যায় তাহলে এখানে দেখতো কি ধরা যায় এক্স কি ধরব
বল এক্স সাই কসট আমাদের শর্ত যে ঠিক শর্ত আছে সেটার সাথে কোনটা মিলে যদি এখানে তোমার কি আছে যদিও প্লাস এক্স স্ক তাহলে
আমরাট ধরতে পারি আরও মাইনাস যেহেতু এখানে প্লাস মাইনাস দিয়ে রাখছে তাহলে মাইনাস হলে কি ধরতে পারি?টান ধরতে পারি। এছাড়া
বাকিগুলো হইতে সাইন আর কস ধরতাম। তাহলে যেহেতু এখানে কি আছে? 1 মাইনাস এক্স স্কয়ার আছে তাহলে হলটান থিটা ধরা যায়।
ওকে? যেহেতু আমার এটা মিলে গেল। তাইলে যেহেতুও মাই এক্স স্কয়ার আছে তাহলে এক্স ইকটান থিট
থি সুতরাং থিটা ইক হবেট ইনভারস এক্স। ওকে এগুলো এখন আমরা এখানে বসাই।
ইনভারস উপরে কি হবে? উপরে হবে ইট টান থি আর নিচ
এখন আগের মতই একটা সাধারণ সূত্র আছেটান থিটা সমান
সাইন থি বা কস থ এগুলো বসাট ইনভারস উপরে হলট ই
সাইন থিটা বাই কস থিটা এই কলামের কালি শেষ এটা দিলাম আর নিচে হল ওান মাইনাস ও মাইনাস
সাইন স্কয়ার থিটা বাই কস স্কয়ার থিটা ওকে এখন দেখো কি করা যায়
টান ইনভার্স উপরে আছে আমাদের টু সাইন থিটা ডিভাইডেড কস থিটা কস থিটা আর নিচে এখন আমরা একটু লসাগু করতে পারি লসাগু করলে
নিচে আসবে কি এইযে একটাই তো আছে তাহলে কস স্কয়ার থিটা কস স্কয়ার থিটা দ্বারা ওয়ান কে গুণ করলে হবে কস স্কয়ার থিটা আর এখানে
হল মাইনাস সাই স্কয়ার থিটা আসবে কস কস সেম যাইতো তাহলে বাদ উপরে থাকতেছে কি সাই স্কয়ার থিটা ওকে
এখন এটাকে আমরা কি করতে পারি উল্টায় দিতে পারি তাইলেটান ইনভার্স
এখানে আছে টু ইট সাইন থিটা ডিভাইডেড কস থিটা ইনটু এটাকে যদি উপরে দেই তাইলে
আসবে উপরে কস স্কয়ার থিটা আর নিচে আসে কি কস স্কয়ার থিটা মাইনাস সাইন স্কয়ার থিটা এর আগে ছিল কস স্কয়ার
থিটা প্লাস সাইন স্কয়ার থিটা এটা ইকয়াল আমরা কি লিখছি ওয়ান লিখছি কিন্তু এখন তো আর ওয়ান লেখা যাবে না এখন কি আছে কস
স্কয়ার থিটা মানে সাই স্কয়ার থিটা এটার একটা আলাদা সূত্র আছে এইযে দেখো কস স্কয়ার থিটা
কস স্কয়ার থিটা মাইনাস সাইন স্কয়ার থিটা ইকয়াল হল তোমার কট থট থানে এইটার পরিবর্তে এটা বসানো যাবে আচ্ছা
এটা এই কস থ আর এখানে দুইটা কস থ একটা যদি কাটে দি তাহলে আরেকটা কস থ আর এখানে সাই থ আছেই আর এখানে আমরা কি বসাব এটার পরিবর্তে
একটা লাইন আমরা তোট ইনভারস
এখানে আছে কিটুট ইট উপরে আছে তোমার সাইন থিটা কস থি আর নিচে আছে হল এটার পরিবর্তট
কসট থি কট থি এখন তুমি দেখো
এখানে আমরা এখন কি করতে পারি এখানে কিন্তু আরেকটা সূত্র এখন কিন্তু আমরা এখানেট বসাইতে পারতেছি
কিসের জন্য বড়তেছেন? উপরে যদি একটা সাইন থিটা থাকতো তাহলে তো আমরা এরকম একটা সূত্র জানি যেটা হলো
যে তোমারটু সাইন থি ইট কস থি ইকুয়ালট
আচ্ছা সাইট থি সাইনট থি 2 সাই থি ই কস থিটা সমান কিট সাইন থি এটা এখানে বসা দাও তাইলে তো হয়ে যায় তাহলে আমরা এখানে যদি
বসাই টান ইনভার্স উপরে আসবে কি এইটু সাইন থি কস থি পরিবর্তে
সাইন টু থি সাইট থি আর নিচে আছে কি কসট থ কট থি তাইলে এখানে বসা যেট ইনভারস এই সাইট থ কসট
থি পরিবর্তে আমরা এখানে বসাইতে পারি কিট থি এটান বাদ থাকতেছে এখানে শুধুট থি আর থিটা সমান আমরা কি ধরেছিলাম থ সমান ধরে
ছিলামটান ইনভার্স ওয়টান ইনভার্স ওয়টান ইনভারস এক্স এবার যদি এটাকে আমরা ডেরিভেটিভ করি এটাকে যদি আমরা কি
ডেরিভেটিভ করি সুতরাংডিজ বাডি এক্স এক্স এ সাপেক্ষে কলাম লিখলাম না লিখে নিডিজবাডি
এক্স ইক হলডিবা ডি এক্সট ইনভারস এক্স একে ডিভ করে সংখ্যা সামনে
আসলো আর এটা করলে পরে কি হবে বাও বাও প্লাস এক্স স্কয়ার এটা হল মেন সূত্র তাহলে জিনিসটা দাঁড়াইতেছে কি আমাদের উপরে
থাকলটু আর নিচে হল ও প্লাস এক্স স্কয়ার ওকে এবার আমরা ডিজবাডিও নির্ণয় করব তাহলে সুতরাং
ডিজ বাডি এক্স ইকুয়াল ছিল আমাদের ডিজ বাডি এক্স ইডি এক্স বা dওয় ওকে এখন এখন dz dz / dx এর
আমরা মান পাইলাম কত উপরে টর নিচে 1 প্লাস x^ক তাহলে বসাও যে 2 / 1 + x^ক ইটু d / dx এর আমরা জানি কি dবাডি বা dx এর মান আছে
আলাদা এইযে এটা এইযে এইযে এটা পাইছিলাম আমরা এইযে dবাডি এক্স এর মান পাইছি এটা না এটা
বস উপরে হলও প্লাস এক্স স্কয়ার নিচে হল ওকে এখন দেখো কি কাটাকাটি করা যায়। উপরে আছেও
প্লাস এক্স স্কয়ার নিচে আছেও প্লাস এক্স স্কয়ার বাদ নিচে টু উপরে টু কাটাকাটি থাকলো শুধু কি ওয়ান এটাই হলো আমাদের কালকে
আনসার আশা করি তোমরা এই অধ্যায়ের সবগুলো ম্যাথ বুঝতে পারছো তারপরেও যদি আরো ম্যাথ
তোমাদের প্রয়োজন হয় অবশ্যই আমাকে কমেন্ট করে জানাবা তাহলে আমি সে ম্যাথটা সলভ করে তোমাদের দিয়ে দিব তো ওভারঅল এই
চ্যাপ্টারে অনেকগুলো ক্লাস হলো আশা করি তোমাদের ম্যাথগুলো উপকারে আসবে যদি উপকারে আসে আমার জন্য অবশ্যই অন্তত দোয়া করতে
পারো তোমরা আর ভালো থাকো, ভালো করে পড়াশোনা করো। আল্লাহ হাফেজ।
[মিউজিক]
যখন দুটি ফাংশন y = f(x) এবং z = g(x) দেওয়া থাকে, তখন y-এর সাপেক্ষে z-এর অন্তরজ (dz/dy) বের করাকেই একটি ফাংশনের সাপেক্ষে আরেকটি ফাংশনের অন্তরীকরণ বলে। মূল সূত্রটি হলো: dz/dy = (dz/dx) * (dx/dy) অথবা dz/dy = (dz/dx) / (dy/dx)। অর্থাৎ, প্রথমে x-এর সাপেক্ষে উভয় ফাংশনকে আলাদাভাবে অন্তরীকরণ করে সূত্রে বসাতে হবে।
প্রথমে y = sin⁻¹ x এবং z = x^(sin⁻¹ x) ধরা হয়। dy/dx = 1/√(1-x²) বের করে dx/dy = √(1-x²) আনা হয়। তারপর z = u^v ফর্মের সূত্র ব্যবহার করে dz/dx = x^(sin⁻¹ x) * [ (sin⁻¹ x)/x + (ln x)/√(1-x²) ] নির্ণয় করা হয়। সবশেষে, dz/dy = (dz/dx) * (dx/dy) সূত্রে মান বসিয়ে সরল করে উত্তর পাওয়া যায়: x^(sin⁻¹ x) [ (sin⁻¹ x)√(1-x²)/x + ln x ]।
জটিল ফাংশন সরল করার জন্য, √(1 + x²) বা √(x² - 1) থাকলে x = tan θ ধরতে হবে। √(1 - x²) থাকলে x = sin θ বা cos θ ধরতে হবে। আর √(1+x)/(1-x) বা অনুরূপ রূপ থাকলে x = cos θ ধরা সবচেয়ে সুবিধাজনক। এই প্রতিস্থাপন ফাংশনটিকে সরল করে এবং অন্তরীকরণ সহজ করে।
প্রথমে x = tan θ ধরে z = tan⁻¹ [ √(1+x²) - 1 / x ] কে সরল করে θ/2 বা (1/2) tan⁻¹ x-এ রূপান্তর করা হয়। তারপর dy/dx = 1/(1+x²) এবং dz/dx = 1/(2(1+x²)) নির্ণয় করে, dz/dy = (dz/dx) * (dx/dy) = [1/(2(1+x²))] * (1+x²) = 1/2 পাওয়া যায়। তাই অন্তরজটি একটি ধ্রুবক সংখ্যা।
এই ফাংশনে √(1-x²) উপস্থিত থাকায় x = sin θ ধরলে তা √(1-sin²θ) = cos θ-এ সরলীকৃত হয়, যা ফাংশনটিকে সহজ করে। এতে করে z = tan⁻¹ [ (cos θ - 1) / sin θ ] হয় এবং সরল করে z = -(1/2) sin⁻¹ x পাওয়া যায়। পরে অন্তরীকরণ করে dz/dy = - (1+x²) / (2√(1-x²)) নির্ণয় করা হয়।
উভয় ফাংশনেই x = tan θ প্রতিস্থাপন করলে, sin⁻¹ (2x/(1+x²)) = sin⁻¹(sin 2θ) = 2θ = 2 tan⁻¹ x এবং tan⁻¹ (2x/(1-x²)) = tan⁻¹(tan 2θ) = 2θ = 2 tan⁻¹ x হয়। অর্থাৎ y এবং z উভয়ই 2 tan⁻¹ x-এর সমান, তাই তাদের অন্তরজ (dy/dx এবং dz/dx) সমান। ফলে dz/dy = (dz/dx) / (dy/dx) = 1 হয়।
মূল ট্রিকস হলো: যার সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করতে হবে, তাকে সূত্রের নিচে এবং যাকে অন্তরীকরণ করতে হবে, তাকে উপরে রাখতে হবে। এছাড়া, জটিল ফাংশন সরল করার জন্য প্রদত্ত ট্রিকস (x = sin θ, cos θ, বা tan θ ধরা) মনে রাখতে হবে, যা অন্তরীকরণের প্রক্রিয়াকে সহজ ও দ্রুত করে।
Keep this summary
Save it to LunaNotes and it becomes a real note in your library — editable, searchable, and ready to turn into flashcards or a diagram. Free to start.
Save to LunaNotesOr summarise for another video.
32K+ people have turned 65K+ videos into notes
“Very useful tool. I'm using it for the last couple weeks and I'm loving it so far. Makes learning on YouTube a great experience.”
Bhai Chrome Web Store reviewThis summary and transcript were automatically generated using AI with the Free YouTube transcript summary tool by LunaNotes.
Related summaries
উদাহরণ 18: গুরুত্বপূর্ণ অংকের সমাধান | অন্তরীকরণ ক্লাস
এই ভিডিওতে উদাহরণ 18 থেকে নির্বাচিত গুরুত্বপূর্ণ অংকগুলোর সমাধান দেখানো হয়েছে। ইউভি সূত্র ও লগারিদমিক অন্তরীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে, যা শিক্ষার্থীদের জন্য সহায়ক।
বস্তুর উপর তাপের প্রভাব: তাপমাত্রা স্কেল ও প্রসারণ সহগ
এই ভিডিওতে পদার্থবিজ্ঞানের ষষ্ঠ অধ্যায় 'বস্তুর উপর তাপের প্রভাব' বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে। সেলসিয়াস, ফারেনহাইট ও কেলভিন স্কেলের মধ্যে রূপান্তর, দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও আয়তন প্রসারণ সহগ এবং তাদের মধ্যে সম্পর্ক সহজ উদাহরণ ও বোর্ড প্রশ্ন সমাধানের মাধ্যমে বুঝানো হয়েছে।
বৃত্ত অধ্যায় সম্পূর্ণ গাইড | ক্লাস ৮ গণিত | দীপিত ভাইয়া
ক্লাস ৮ এর বৃত্ত অধ্যায়ের একটি সম্পূর্ণ ও সহজবোধ্য সমাধান। এই ভিডিওতে বৃত্ত, কেন্দ্র, ব্যাসার্ধ, জ্যা, ব্যাস, পরিধি ও ক্ষেত্রফলের মৌলিক ধারণা এবং গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যসমূহের প্রমাণ সহজ ভাষায় আলোচনা করা হয়েছে। শিক্ষার্থীরা এমসিকিউ ও বোর্ড প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার কৌশল শিখতে পারবে।
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক প্রথম ক্লাস | HSC & এডমিশন প্রস্তুতি সম্পূর্ণ গাইড
ম্যাট্রিক্স কী এবং কেন দরকার, তার সহজ ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে এই ভিডিওতে। HSC 28 ব্যাচের শিক্ষার্থীদের জন্য অধ্যায়ের সব টপিক একদম প্রথম থেকে শেখানো হয়েছে, যা কলেজ পরীক্ষা ও এডমিশন টেস্টের জন্য ১০০% যথেষ্ট।
অনার্স ১ম বর্ষ ক্যালকুলাস ১ চূড়ান্ত সাজেশন ২০২৪ | পাস, ফার্স্ট ক্লাস ও এ+ পাওয়ার উপায়
অনার্স প্রথম বর্ষের (মেজর গণিত) ক্যালকুলাস-১ এর জন্য চূড়ান্ত সাজেশন ভিডিওতে জানুন কোন প্রশ্ন পড়লে পাস, ফার্স্ট ক্লাস বা এ+ পাবেন। থ্রি-স্টার চিহ্নিত প্রশ্ন শুধুমাত্র পাস করতে চাওয়া শিক্ষার্থীদের জন্য এবং বাকিগুলো উচ্চ গ্রেডের জন্য। ভিডিওর শেষে পিডিএফ ফ্রি পাওয়ার পদ্ধতিও বলা হয়েছে।
Most viewed summaries
A Comprehensive Guide to Using Stable Diffusion Forge UI
Explore the Stable Diffusion Forge UI, customizable settings, models, and more to enhance your image generation experience.
Kolonyalismo at Imperyalismo: Ang Kasaysayan ng Pagsakop sa Pilipinas
Tuklasin ang kasaysayan ng kolonyalismo at imperyalismo sa Pilipinas sa pamamagitan ni Ferdinand Magellan.
Mastering Inpainting with Stable Diffusion: Fix Mistakes and Enhance Your Images
Learn to fix mistakes and enhance images with Stable Diffusion's inpainting features effectively.
Pamamaraan at Patakarang Kolonyal ng mga Espanyol sa Pilipinas
Tuklasin ang mga pamamaraan at patakaran ng mga Espanyol sa Pilipinas, at ang epekto nito sa mga Pilipino.
How to Install and Configure Forge: A New Stable Diffusion Web UI
Learn to install and configure the new Forge web UI for Stable Diffusion, with tips on models and settings.
Found this summary useful?
Take it with you. One click puts it in your own LunaNotes library.
Save to LunaNotes