فندق هيلبرت اللانهائي: فهم اللانهاية واستراتيجيات التوزيع

المترجم: Abd Al-Rahman Al-Azhurry المدقّق: Anwar Dafa-Alla في عشرينات القرن الماضي قام عالم الرياضيات الألماني دافيد هيلبرت

بتصميم تجربة فكرية مشهورة ليظهر لنا مدى صعوبة فهم عقولنا لمصطلح اللانهاية.

تخيّل فندقاً يحوي عدداً لانهائياً من الغرف ومدير ليلي مجتهد جداً في عمله. في إحدى الليالي ، امتلأ الفندق اللانهائي

حجزت كل غرفه من قبل عدد لانهائي من الزبائن. فيدخل رجلٌ إلى الفندق ويطلب غرفة.

وبدلاً من أن يرده خائباً قرر المدير اليلي أن يوجد له غرفة. كيف؟

بسهولة ، يطلب من الزبون في الغرفة الأولى أن ينتقل إلى الغرفة الثانية ويطب من الزبون في الغرفة الثانية أن ينتقل للغرفة الثالثة

وهكذا. ينتقل كل زبون من الغرفة رقم "ن" إلى الغرفة رقم "ن+1".

وبما أنه يوجد عدد لانهائي من الغرف فهناك غرفة جديدة لكل زبون موجود. مما يترك الغرفة الأولى جاهزة للزبون الجديد.

يمكن أن تتكرر هذه العملية لأي عدد محدود من الزبائن الجدد. لكن لنقل أن حافلة سياحية أنزلت

40 شخصاً جديداً يريدون غرفاً عندها ينتقل كل زبون موجود من الغرفة رقم "ن"

إلى الغرفة رقم "ن+40" مما يجعل أول 40 غرفة فارغة. لكن حافلة كبيرة بشكل لانهائي

تحتوي على عدد لانهائي مماثل من الركاب تأتي لتستأجر غرفاً. مفتاح الحل هو اللانهائية.

أربكت الحافلة اللانهائية وركابها اللانهائيون المدير الليلي في بداية الأمر لكنه أدرك أن هناك طريقة

لوضع كل شخص جديد. فيطلب من الزبون في الغرفة الأولى أن ينتقل إلى الغرفة الثانية

ثم يطلب من الزبون في الغرفة الثانية أن ينتقل إلى الغرفة الرابعة والزبون في الغرفة الثالثة

أن ينتقل إلى الغرفة السادسة وهكذا. ينتقل كل زبون موجود من الغرفة رقم "ن"

إلى الغرفة رقم "2ن" مالئين الغرف اللانهائية ذوات الأرقام الزوجية. بهذا يكون قد فرغ

كل الغرف اللانهائية ذوات الأرقام الفردية وأعطاها للأشخاص الذين كانوا في الحافلة اللانهائية.

أصبح الجميع سعداء ، وازدهر عمل الفندق أكثر من أي وقت مضى. حسناً ، الحقيقة أنه قد ازدهر

تماماً بنفس الكمية التي كان عليها من قبل مدرةً عدد لانهائياً من الدولارات في الليلة. انتشرت الأحاديث عن هذا الفندق المدهش.

وأتى الناس من مكان. في ليلة من الليالي ، حدث الغير متوقع. نظر المدير الليلي إلى الخارج

ورأى عدداً لانهائياً من الحافلات اللانهائية الكبيرة والتي يحتوي كل منها على عدد لانهائي مماثل من الركاب.

ماذا يمكنه أن يفعل ؟ إذا لم يستطع أن يجد غرفاً لهم فسوف يخسر الفندق

عدداً لانهائياً من الأموال وسوف يخسر وظيفته بكل تأكيد. لحسن الحظ ، تذكر

أنه وفي حوالي السنة 300 قبل الميلاد ، أثبت إقليدس أن هناك عدداً لانهائياً من الأعداد الأولية.

لذا ، لإنجاز هذه المهمة التي تبدو مستحيلة أي إيجاد غرفٍ لانهائية للباصات اللانهائية

الممتلئة بالمسافرين اللانهائيين المتعبين، قام المدير الليلي بنقل كل زبون حالي إلى أول رقم أولي ، 2 ،

مرفوع إلى القوة الموافقة لرقم غرفته الحالية . لذا ، القاطن الحالي في الغرفة رقم 7 سينتقل إلى الغرفة رقم 2^7 ،

والتي هي الغرفة 128. ثم يأخذ المدير الليلي الأشخاص في الحافلة اللانهائية الأولى

ويعطيهم الغرف التي أرقامها توافق الرقم الأولي التالي وهو 3 مرفوع إلى قوة توافق رقم مقعده في الحافلة.

لذا فالشخص في المقعد السابع في الحافلة الأولى سيذهب إلى الغرفة رقم 3^7 أو الغرفة رقم 2,187

ويستمر الأمر كذلك لكل الحافلة الأولى . أما ركاب الحافلة الثانية فترفع القوة للعدد الأولي التالي وهو 5 .

والحافلة التي تليها تأخذ القوة للعدد 7 وتتبعها كل حافلة : القوة للعدد 11

القوة للعدد 13 القوة للعدد 17 ... إلخ. وبما أن كل من هذه الأرقام

ليس لها إلا الرقم 1 والقوى الطبيعية للأساس الأولي كعوامل فلن يحدث تداخل بأرقام الغرف.

كل ركاب الحافلات سينتقلون إلى غرف باستخدام خطط توزيع غرف فريدة مبنية على أساس أرقام أولية فريدة .

بهذه الطريقة ، يمكن للمدير الليلي أن يحسب حساب كل راكب في كل حافلة. على الرغم من وجود بعض الغرف التي ستبقى فارغة

كالغرفة رقم 6 لأن العدد 6 ليس قوة لأي عدد أولي. لحسن الحظ ، فمديره لم يكن جيداً جداً في الرياضيات

لذا فوظيفته بأمان. استرتيجيات المدير الليلي قابلة للتطبيق لأنه وعلى الرغم من كون الفندق اللانهائي

كابوساً لوجستياً محتماً ، لأنها تتعامل مع الطبقة الدنيا من اللانهائية . بشكل أساسي ، اللانهائية المعدودة

للأعداد الطبيعية 1،2،3،4 وهكذا . أطلق جورج كانتور على هذه الطبقة من اللانهائية اسم " ألف- زيرو".

نستخدم الأعداد الطبيعية لغرف الفندق مثلها أرقام مقاعد الحافلة . إذا كنا نتعامل مع فئات أعلى من اللانهائية

كالأعداد الحقيقية لن تكون بنى هذه الاستراتيجيات ناجحة بعد الآن

بما أننا لا نستطيع أن نحصي كل الأعداد بشكل منظم. الفندق اللانهائي ذو الأرقام الحقيقية يحتوي

على غرف ذات أرقام سالبة في القبو وغرف كسرية لذا فعلى الشخص في الغرفة 1/2 أن يتوقع دائماً

أنه سيحصل على مساحة أقل من الشخص في الغرفة 1 . وغرف أرقامها جذور تربيعية ، كالغرفة جذر 2 والغرفة رقم π

حيث سيتوقع الزبون أن يحصل على تحلية مجانية. أي مدير ليلي يحترم نفسه سيرغب بالعمل هناك

حتى بمقابل راتب لانهائي؟ ولكن هنا في فندق هيلبرت اللانهائي حيث لا يوجد أي شواغر

ويوجد دوماً مكانٌ لزبائن أكثر تعمل الحالات التي يواجهها المدير المجتهد جداً والذي قد يكون مضيافاً أكثر من اللازم

على تذكيرنا كم من الصعب على أدمغتنا المحدودة نسبياً

فهم مصطلح بكبر اللانهاية . قد يكون بإمكانك أن تساهم بحل هذه المشاكل بعد أن تنال قسطاً جيداً من النوم.

لكن وبصراحة ، قد نحتاج منك أن تغير الغرفة في الساعة الثانية صباحاً.