TYT Matematik Bölünebilme Kuralları ve Örnek Sorular Analizi

[Müzik] Arkadaşlar merhabalar 3D tyt konu anlatım defterimizde bugün bölme

bölünebilmenin 3 kısmındayız Bunu anlatımına devam ediyoruz bölünebilme kuralları yapacağız belki Ortaokulda

falan da yapıyorsunuzdur bunları bilmiyorum ama tabii ki ben asla şey düşünmeyeceğim Hani bunları zaten

biliyorsunuz O zaman direkt soruları atlayalım değil kurallara bakın böyle yazdım size böyle destan gibi durduğuna

bakmayın aslında gayet kolay kurallar çıkarımları bile bazılarının gerçekten kolay

bunları bileceğiz bunları bilerek sorularda uygulayacağız birincisi en basiti nedir bir sayı çift sayısı

kesinlikle 2 ile tam bölünüyordur ikincisi basitlerden bir tane daha söyleyelim 10 ile bölünme çok kolay

değil mi Bir sayının son basamağı sıfırsa 10 ile tam bölünüyordur Eğer bir sayının son basıma ondan 0'dan farklı

ise kalan odur örnek 13 sayısının 9 10 ile bölümünden kalan nedir 3 Bir sayının 5 ile bölümünden de kalan

kolaydır ya 0 olmalı ya 5 olmalı Çünkü 5'in katları arkadaşlar bakın bir sayıyı 5 ile çarptığınızda hangi sayı olursa

olsun cevabınız ya son basamağı sıfır olan sayı oluyor ya da ne olduğu önemli olmaksızın

son basamağı bakın 5 olan sayı çıkıyor o yüzden bir sayı 5 ile tam bölünüyorsa

kesinlikle son basamağı ya sıfırdır ya beştir Bir önceki ders size ispatlamıştım bir sayı 4 ile bölünüyorsa

son iki basamağı 4 ile bölünüyordur demiştim o videoyu muhakkak da ben sıralı gitmeniz gerekiyor orada da

görmüşsünüzdür bir soru çözerken çaktırmadan ispat yaptık o zaman son iki basamağa baktığınızda dörde tam

bölünüyorsa dörde bölünüyordur bölünmüyorsa onun ile bölümünden kalan neyse cevabımız odur üçü de bölünme

Kalanı ne arkadaşlar 3 kuralı üçü de bölünme kuralımızda sayının basamak değerlerini basamaklarını yani

rakamlarını tek tek topluyoruz üçü de bölünüyorsa tam bölünür 3 ile bölünmüyorsa kalanımız cevaptır 9 ile

bölünme ne yine rakamların hepsini toplayacağız 9 ile bölümünden kalan Neyse sorunun da 9 ile bölümünden kalanı

odur 8 ile bölünme kuralı nedir sonuç basamağa bakıyoruz 11 ile bölünme kuralımız söyleriz bir

artı bir eksi bir artı şeklinde gidiyoruz ilk etapta vereceğimiz kurallar bunlar en çok bunları

kullanıyoruz sonra bunların çarpımlarını da kullanacağız şimdi ne demiş sorumuz rakamları farklı 24 6 Best 5 basamaklı

doğal sayısı 2 ile tam bölünebilmektedir 24a 6b sayısı 9 ile tam bölünmekte ancak 5 ile tam bölünememekte olduğuna göre a

kaçtır bakalım bir kere bir sayı 2 ile bölünüyorsa son basamağı çift sayıdır rakamları farklıdır şimdi 2 4 A 6 b o

zaman B'nin yerine 2 yazamam E'nin yerine 4 yazamam B'nin yerine 6 yazamam B'nin yerine ya 0 yazarım ya da 8

yazarım bunları niye yazamam rakamları farklı demiş bak o yüzden aslında iki tane durumum var gerçekten öğrenebilme

sorularında pat diye cevabı sakın bulacağınızı düşünmeyin hakikaten sayı deniyoruz bunlarda tamam mı

şimdi bak 24a 6-0 birincisi bu olsun Şimdi a 0 olursa Arkadaşlar bir sayının 9 ile tam bölünmesi için rakamları

toplamının 9'a tam bölünmesi lazım 2 4 de 6 6 daha 12 yapıyor Değil mi 12 o zaman A'ya kaç

kaldı 6 rakamlar farklı olmalıydı Demek ki ben B'ye 0 veremiyormuşum 8 verebiliyormuşum şimdi bunun 9 ile

bölümünden kalana bakalım 6 8 daha 14 4 Daha 18 2 daha 20 burada arkadaşlar 9 ile tam bölünmesi için a yerine ne

yazmam gerekiyor 7 değil mi Böylece toplamları 27 oluyor bakın Demek ki A mecburen sadece 7 olabiliyormuş bunu da

böyle söylemiş olalım sonra belki bitiyor veririm Şimdilik Hani verecektim Vazgeçtim hemen daha başlangıçtan da

enteresan Yollar söylemeyeyim 2A 3B 4 basamaklı sayısının 5 ile bölümünden kalan 1'dir bir sayının 5 ile bölümünden

kalan 1 ise son basamağı ya birdir ya da kaçtır 6'dır değil mi Sonuçta ya 1'in ya 6'nın 5 ile bölümünden kalan bir

ama soru ne demiş 4 ile tam bölünüyor bir sayı 4 ile tam bölünüyorsa son basamağı tek sayı olamaz Demek ki bu

sayının son basamağı çift Yani 6 olmalı Buna göre artık o zaman a'yı bulabiliriz herhalde 3'e de tam bölünüyormuş 6 3

daha 9 2 daha 11 buraya verebileceğim en küçük sayı ne 1 değil mi sonra kaç 3D artır hep böyle düşünün bak bir sayıyı

Bulunca ne demiştik 3'e bölünen bir sayı 3'e bölünen bir sayı eklersen yine 3'e bölünür Bu yüzden 3 daha arttır 4 3 de

arttır 7 A'ya verebileceğiniz sayılar o zaman a en fazla 7 E mecburen altı bunların toplamı en fazla 13 oldu

arkadaşlar a b c d birbirinden farklı rakamlar olmak üzere a b c d 4 basamaklı sayısı 5

ile ABC üç basamaklı sayısı 3 ile AB iki basamaklı sayısı 4 ile bölünüyormuş şimdi burada bir kere Hemen bir kontrol

edelim birbirinden farklı rakamlar demiş en büyük a b c d 4 basamaklı sayısının rakamları toplamı nedir diye soruluyor

şimdi ben ne isterim en büyük AB için bir kere her zaman en büyük basamağı 9 vermek isterim mümkünse olmazsa

değiştiririz o zaman hemen düşünelim 9B sayısı 4 ile bölünüyorsa en büyük iki basamaklı dört ile bölünen sayı kaç 96 O

yüzden şöyle yapamayacağım Yani buraya 9 buraya 8 veremeyeceğim bu şartlar altında 96 dörde bölünen en büyük iki

basamaklı sayı olduğu için ab 96 geldi sonra buraya C diyelim Sonra şöyle bir bakalım böyle 5 diyelim önce tamam mı

Hani madem bu ABC sayısı 3 ile tam bölünüyormuş ya ABC 3 ile tam bölünüyormuş Gerçi D'ye

bir şey dememiş o zaman D'nin alabileceği en büyük değer 5'tir değil mi burada artık o zaman Arkadaşlar bu

sayıda şu a b c kısmı da neye bölünüyor 3'e tam bölünüyor en büyük değeri için 9 6 daha 15 ama rakamlar farklı demiş

sakın buraya 9 yazarım deme mecburen alabileceği en büyük değerinin maalesef 3 Yani daha büyük yapamayacağım rakamlar

farklı olduğu için Öylece bu a b c96 yanına C koyduk 963 sayısı 3'e tam bölündü gerçekten son basamağı 5 olunca

tam bölündü ve a b olunca 96/4'e tam bölündü Artık bunun rakamlar toplamı 9 6 3 5 15 5 daha 20-23 oldu arkadaşlar bu

konuda aşırı derecede hata yapmaya Müsait bir konu değil mi Yani üç mü vereceğiz 2 mi vereceğiz derken

4x3y 4 basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 4 ile bölümünden kalan 1'dir x sayısının alabileceği

farklı değerlerin toplamı kaçtır demiş şimdi şunu düşüneceğiz Ben söyleyeyim

Arkadaşlar bir soruda son basamaklara bakılabilen durum varsa önce Ondan başlayın ne demek 5'e bölünme durumu

varsa ona bölünme durumu varsa 4'e bölünme durumu varsa bunların durumları daha net ya 9'un toplamı 9 ile bölünmesi

gerekiyor 3'ün işte 3 ile bölünmesi gerekiyor ama çift sayının son basamak çift olmalı işte onun bölünmesi için son

basamağa bakıyorum 5'in son basamağına bakıyorum 4'ün son basamağına bakıyorum o zaman önce bunlarla başlanır Soruyor

yani önce 4 ile bölümünden kalan bir 4x'i boş ver Bir sadece 3y kısmına odaklanalım

onlar basamağı 3 olup 4 ile bölümünden kalan 1 olan ilk sayımız ne arkadaşlar 33 değil mi daha başka bir sayımız yok

çünkü 28 4'e bölünür 10'a 1 ekle Sen 29 yapar Zaten 30'lu sayı değil o zaman 32 1 ekledim 33 gerçekten 4 ile bölümünden

kalan 3 diğer sayımız ne 37 neden Sen buna 4 eklediğin zaman hakikaten Bak bu da aynı şey veriyor O

yüzden tek tek bulmaya gerek yok doğru bir cevap bulduğun zaman böldüğün sayının katlarına eklemen yeterli 33 4

ile bölümünden kalan 1 mi o zaman her 4 arttırdığımda yine 30 sayıların 4 ile bölümünden kalan 1 olacaktır O zaman

artık bakalım 4x3 sayısı rakamları farklı falan filan diyor mu Yoo demiyor ve bunun 9 ile

bölümünden de kalan neymiş 2 Bak 9'a tam bölünmüyor kalanımız 2 3 daha 6 4 daha 10 9 ile bölümünden kalan 2 olması için

ne olur 9 olsaydı tam bölünürdü 92'den 11 rakamlar toplamı 11 olabilir o zaman X1 gelebilir arkadaşlar 9'u arttırırsan

11 rakamdır yani burada 9 arttırma şansım yok İlk sınava Eğer 37 olursa Burası 3 yeri daha 10 14

şimdi Normalde Bir sayının 9 ile bölümünden kalan 2 olması için sayıların toplamı 11 olabilir ama bu 11'i geçti o

zaman ikinci durumda ne olur 18 yani 18'e 2 eklersek rakamlar toplamı 20 olursa yine bak 18 ile bölümünden kalan

2 yaptı 3 7 Down 14 o zaman x mecburen Ne oldu 6 X'in alacağı 2 değer arkadaşlar Birisi bir birisi 6

toplamları bakın 7 geldi x 2A X2 yea 4 basamaklı sayısı 3 ve 8 ile tam bölünebilmektedir

sayısının sayının 5 ile bölümünden kalan 2'ymiş Buna göre 3 sayısının x sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır bir

kere bir sayı 8'e tam bölünüyorsa kesin çift sayıdır tek sayı olma şansı yok bu sayının o zaman 5 ile bölümünden kalan 2

olduğuna göre son basıma yani a mecburen 2 olması lazım arkadaşlar şimdi gelelim 8 ile bölünmeye 8 ile bölünme nedir son

3 basamağa bakarsınız Burası bölünüyorsa tam bölünüyordur o zaman tam bölünmesi için bak yine ne yaptım daha üçü

önemsemiyorum son basamaklar önemsenir sonra sayının kendi eline bakılır şimdi

son basamaklara mecburen belli şeyler yapabiliyorsun ama sayının tamamını sayı değiştire ekleye çıkara değiştirebilirim

uyarlayabilirim o zaman 208'e bölünen ilk sayıya benim aklıma Hemen bak varsayımda bulunuyorum Şimdi hemen

buraya ne koyayım Bir iki tek tek denemeyeceğim 200 tam bölünen bir sayı aklıma ilk gelen 8'e bölünen sayı buna

16 eklesem 216 ha 232 Bak demek ki y'nin ilk değeri 3'müş sonra arkadaşlar buna kaç ekleyebilirim 40 Ne alaka

232'ye 40 eklediğim zaman 232 zaten 8'e bölünüyor bir 8'e bölünen daha eklersem yine 8'e bölünür değil mi o zaman

arkadaşlar diğer sayımızda Neden peki onu eklemiyorum bir sayıya 10 eklerseniz 10 tam bölünmüyor ki 232 tam bölünüyor

buna senin 8'e tam bölünen bir sayı eklemen lazım 232'ye ekleyeceğim en küçük iki

basamaklı 8'e bölünen sayı kaç son basamak sıfır olan doğal olarak 40 10 bölünmüyor 20 bölünmüyor 30 bölünmüyor

40 bölünmüyor niye diyor ki 40 yani son basamağı 0 ekliyorum Çünkü onlar basamağına sayı eklemek demek aslında 10

20 30 40 eklemek demektir değil mi o yüzden diğer sayımız da 4 oldu şimdi X2 302 sayısı 8 ile tam bölünüyor 3 ile tam

bölünmesi için 32 daha 5 2 daha 7 buraya kaç ekleyebilirim o zaman x'e Yazalım 2 ekleyebilirim o zaman 9'a 9'a

kadar tam bölünür 3 daha ekle 3 daha ekle gördüğünüz gibi alacağı değerlerin birini bulunca katlarını eklemen yeterli

ikinci durum ikinci durumda x 2 ne eklemiştik buraya 4A Yani şey olsun demiştik ama 40 ekledik ilk 2 72 sayısı

oldu Artık diğer sayımız Bu da yine kesinlikle 8'e tam bölünüyor şimdi 7 kilo 9 buraya o zaman x'e kaç vermem

lazım 1 verirsem toplamları 3'e tam bölünür 3D artır 3 daha arttır şurası Bu arada 2 5 8 olacak Onu yanlış yazmışım

Böylece arkadaşlar 3 farklı sayı buradan 3 farklı sayı buradan toplam kaç sayımız oldu 6 tane farklı değerimiz geldi bu

şekilde özellikle bakın 8 ve 4 ile alakalı size şunu söyleyeyim deminki gibi bir tane

daha örnek vereyim Bak mesela başka bir örnek olsun 316'sı 416 sayısı 8'e tam bölünür şu basamağı değiştirmek için kaç

eklemen lazım Sen bu basamağı sayı eklediğin zaman farkında olmadan bak Kaç ekliyorsun buraya bir eklesen Bu sayı

426'ya değişeceği için 10 eklemiş oluyorsun O yüzden demin söyledim bu sekize bölünüyorsa 8'e bölünen bir sayı

eklemenin ilk yolu 40 eklemektir ikinci yolu doğal olarak 80 eklemektir gibi düşünün haliyle O zaman burada 416

bölündüğü gibi 456'da bölünürmüş 496 da bölünürmüş bak hiç düşünmeme gerek yok Size başka bir örnek vereyim

Bakın şimdi dörtten gidelim 120 sayısı 4'e tam bölünüyor değil mi Sadece şu basamağı değiştirerek dörde bölünen

sayılar bulun Şimdi şunu düşüneceksiniz iki basamaklı Sonu 0 ile biten sayımız kaçtır 4'e bölünen 20 değil mi İlk Defa

Son basamağı 0 olan birler basamağı 0 olan sayı 4 ile bölünen sayı 20'dir o zaman buraya da ikişer ekliyorum 140 160

sonra 180 Zaten 200 olmaz gördüğünüz gibi bu sayıların Hepsi de 4'e bölünür 4 ve 8'de bazen böyle ince durumlar var

deneme yanılma yaparken ekleme çıkarmaları benim bu anlattığıma göre düşünebilirsiniz tesadüfen

bulabilirsiniz Ama bu mantığı görürseniz çok daha hızlı olursunuz b371 65 6 basamaklı sayısının 9 ile

bölümünden kalan 3'tür Buna göre AB şeklinde giden 17 basamaklı sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır demiş bir

durdurup yapmaya çalışın Lütfen bu soruyu arkadaşlar Bakın ben şimdi size gördüğümü anlatacağım burada AB diye

gidiyor Eğer 16 basamaklı olsaydı 8 tane A8 tane b olacaktı ama sonda bir tane A var demek ki burada 9 tane a var

8 tane b var Bunu niye söyledim Bir sayının 9 ile bölümünden kalan demek rakamların toplamıdır yani 9A + 8B A'nın

ne olduğu önemli değil 9'un katı değil mi Artık bu A2 de olsa 9 kere 2 bak 18 A1 de olsa 9 çarp 1 9 a 4 olsa 9 kere 4

36 o zaman A ne olduğundan bağımsız Burası zaten dokusuyla tam bölünüyor Demek ki buranın 9 ile tam bölünmesi

lazım by o zaman arkadaşlar kaç verebilirsin ne demişti ilk sayımızın dokusu ile bölümünden

kalan 3'müş bakalım o zaman şimdi 6 3 daha 9 Bu sayı 9 zaten 9'a tam bölünür Ya bunu

hiç görmene gerek yok sayıları uzun uzun toplamına gerek yok artık o tüyoyu vereyim 9 ile bölümünden kalanı bulurken

şöyle yapmanız gereksiz olur 3 7 1 6 5 topladım bunları 10 11 16 5 daha 21 hocam 21'in 3 ile bölümünden kalan falan

filan demeye gerek yok şunu yapabilirsin 3 ve 6 zaten 9'a tam bölünüyor Bunları sil sonra 7 bir daha 8 5 daha 13 13'ün 9

ile bölümünden kalan ne 4 o zaman arkadaşlar b+4 sayısının 9 ile bölümünden kalan

3'müş diyebilirsiniz neden büyük sayılarla uğraşmak yerine küçük sayılarla uğraşmak çok güzeldir Bunu

yapma hakkınızı hep kullanın tamam mı atıyorum burada 156 basamaklı sayı Ben hepsini tek tek enayi gibi toplayacak

mıyım Hayır toplarken dokuzla bölünenleri hep sıfıra denk getirir hep 0 de onlara dokuza bölünmeyenleri topla

tek tek Burada da onu yaptım Bak 3-6-9 zaten 9'a tam bölünüyor onun kalana katkısı yok alanı 0 7 ile biri topladım

8 8 5 daha 13 13'ün 9 ile bölümünden kalan 4'tür dedim b+4'ün 9 ile bölümünden kalan 3 olması

için B -1 olamaz değil mi rakam değil o zaman 9'a 3 ekle 12 olması lazım yani B kaçmış arkadaşlar 8 8 verdiğimizde bu

sayının 9 ile bölümünden kalan 3 geldi sepet Bir sayının 9 ile bölümünden kalan 3 ise alanlar toplamı ya 3'tür ya 12'dir

ya da 18'e 3 ekle 21'dir gibi Dolayısıyla artık burada dx8 bulduğuma göre bunun da rakamları toplamı 64 oldu

64'ün 9 ile bölümünden kalan ne 1 yani a şıkkı Evet güzel bir soru bununla mı

bitiriyorduk ya evet bununla bitirmiyoruz Pardon bu var Ona bunlar var Evet birebir ÖSYM'ye doğru

bayağı örneğimiz varmış ha neyse birkaç biraz daha var Bir 10 dakika alır mı göreceğiz

Şimdi x y z 36d 5 basamaklı a b 2 basamaklı doğal sayılardır x y z 36 16'ya bölündüğünde a b değeri kaçtır

ilginç Normalde biz ne söylüyoruz arkadaşlar kalan bölenden küçüktür Normalde şunu dersiniz belki dedim bir

dakika Hocam bu zaten a b 1'den fazla değer oluyor 10 olur 11 olur 12 olur 13 olur 14 olur 15 olur mu olamaz niye

biliyor musunuz kalan bölenden küçük ama burada özel bir şey var dikkat edin lütfen buraya böyle bir

bölüm manasında c harfi verelim xyz 36 sayısı 16 c Artı AB doğru mu şimdi dikkatlice Dinleyin bu sayıyla ilgili

kesin olan bir şey var fark ettiniz mi bu sayıdan kaça bölündüğünü bilemem Ama neye bölündüğünü bilirim biliyor musunuz

dörde diğer basamaklarını bilmediğim için dokuza bölünüyor mu 11'e bölünüyor mu

13'e bölünüyor falan filan bilemem ama Net bir görüntü Bu sayı 4'e tam bölünüyor Çünkü son iki basamağı 36 O da

dörde tam bölünür 16'nın katı bir sayı 16 çarpı C sayısı 4'e tam bölünür matematikte

dörde bölünen Bir sayıdan 4'e bölünen bir sayı çıkarırsanız yine dörde bölünen bir sayı bulursunuz o yüzden arkadaşlar

burada kalan özel durum geldi hem 16C sayısı mx36 sayısı 4'e tam bölündüğü için

farkları da dörde bölünen sayı a b4'e bölünen sayı olduğuna göre 16'dan küçük 4'e bölünen sayı hangisi 12 O zaman

bunları sildim Bu kalan sadece ve sadece 12 olabilirmiş bu şartı sağlaması lazım Çünkü bu yüzden de a+b 3 geldi bu

şekilde arkadaşlar kalan bulma sorularında Tabii ki özel durumları katsayıları Kale almamız lazım tam

bölünmeleri kale almamız lazım Düşünsenize Şimdi ben size şöyle bir örnek vereyim x y z36'ya 4K diyelim

16 C'ye de 4t diyelim artı a b at sol tarafa 4 parantezinde K XT eşittir AB oldu bak gördüğünüz gibi 4'ün katı bir

sayıymış abi bu yüzden Lütfen bu işte nokta noktaya bölünenden nokta noktaya bölüneni çıkarırsak mevzularını da göz

ardı etmeyin tamam mı soru bankasında da 3D dedi var böyle güzel sorular orada da bakarız zaten

11 ile bölünme kuralı arkadaşlar son basamaktan başlıyoruz en sağdan başlayacağız şeyden değil sakın

söyleyeyim buradan diye sizde ok çizin e'den başlıyoruz artı eksi artı eksi diye giriyoruz bakın

bir örnek vereyim 234 sayısı buradan başla artı sonra artı topla artıları çıkar eksileri kalanımız üçmüş başka bir

örnek vereyim 1 2 3 4 0 olsun tamam mı 12.340 sayısı topla bunları aradakiler de eksi 0 artı 3 artı 1

çıkar 2 4 ne geldi 4 - 6'dan -2 Bak şimdi eğer negatif sayı gelirse Eyvah hocam hatam oldu Hayır negatif sayı

gelirse Pardon fosforlu olmayamadık Eğer negatif sayı gelirse kaç ekleyeceğiz Tabii ki 11 ekleyeceğiz yani cevabımız 9

olacak aklınızda bulunsun pozitif sayı gelirse problem yok negatif sayı gelirse 11 ekle eğer kalanımız 0 çıkarsa tam

bölünüyordur kalanımız 11 çıkarsa tam bölünüyordur kalanımız -11 çıkarsa yine tam bölünüyordur niye -11 eklersen yine

sıfır olur Dolayısıyla bu tarz sayılar görürseniz de 11'e tam bölündüğünü bilin arkadaşlar

şimdi 1a37 4 basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre a kaçtır denmiş

bakalım artı ile başlayacağız şimdi artı eksi artı eksi sağdan başlıyoruz 7 artı A -3 -1 buradan da ne oldu

a+3 geldi bunun kaça eşit olması lazım 11'e O zaman A ne gelir 8 tek bir ihtimali var zaten o da 8 oldu

Bir de son bir bilgimiz var arkadaşlar Bu bölüme bölünebilme de Çünkü sadece o sayının son basamağının

sıfır olduğunu görürsünüz e deriz ne işimize yarayacak 2 ve 10 çarpımları çok bir işime yaramaz burada sebebini de

Gerçek sebebini söyleyeyim Niye iki ve onu almıyoruz Çünkü matematikte bir sonraki konumuz asal çarpanlar önemlidir

Arkadaşlar siz bir sayının bölenlerini bulurken asal çarpanlarından yararlanarak bulursunuz o yüzden bunun

asal çarpanları da 2'nin karesi sonra 5 değil mi o zaman burada asal çarpanlarından yararlanarak şunu

görüyoruz bu sayıyı kesin 4'e bölünüyormuş bu sayıyı kesin 5'e bölünüyormuş 2 ve 10'a bölündüğüne

katılıyorum ama bana cevap olarak hiçbir katkısı olmayacak 4 ve 5'e tam bölündüğünü gördüğüm zaman 20'ye de tam

bölündüğünü görürüm Çünkü arkadaşlar hemen size tersten söyleyeyim bunu ikiye bölünen bir sayı

10'a bölünen bir sayı İlla 20'ye bölünmek zorunda mı bir düşünün bakalım örnek 10 20'ye tam bu bölünüyor bak

düşündüğün yanlış değil ama eksik Ama şöyle düşün bir sayı 4'e tam bölünüyorsa

bir sayı 5'e tam bölünüyorsa onun yirmiye bölünmeme şansı yok niye biliyor musunuz Bunlar aralarında asal o kek

konusunda göreceğiz 4 ve 5'in o kekine 20 yani 4 ve 5'i 4 ve 5'e bölünen en küçük sayı 20 olmak zorunda o zaman

arkadaşlar burada biz bölme bölünebilme kuralları yaparken aralarında asalları İşte bu yüzden önemsiyoruz çok mühim bir

şey mi Normalde önemli olan şu kuralı bilmeniz ama geldiği yer eğer aralarında asal seçmezsen Birine ikisine de bölünen

bir sayı istediğiniz sayıya bölünmeyebilir tam 2 ve 10 örneği gibi 2 ve 10'a bölünen sayı 32 ve 10'a

bölünüyor ama 20'ye bölünmüyor ama 4 ve 5 aralarında asal olduğu için o kekleri 20'dir o zaman kesinlikle 20'ye bölünmek

zorundadır mevzu bu 45 mesela 3 ve 15 diyemezsiniz 3x15 Çünkü 15'e ve 3'e bölünen sayı 30 Ama 30-45'e bölünmüyor

mevzu ne 5 ve 9 neden 5 ve 9'un okeki arkadaşlar 45 bir sayı hem 5 hem 9'a bölünüyorsa en az 45'e bölünüyordur

Bundan dolayı 45'e bölünme kuralını 5 ve 9'dan oluştururuz işte mevzumuz buydu artık o zaman söyleyelim bir sayının 45

ile tam bölündü mü söylüyoruz aralarında asal iki sayımız ne 5 ve 9 Demek ki bu sayılar 5 ve 9'a tam bölünmeli 5'e tam

bölünmesi için b0 olabilir b0 olursa A ne olur 2 Demek ki A ve B'nin alabileceği ilk değer 2

geldi 3A 4 5 olabilir 5'e tam bölünmesi için 4-5 daha 9 o zaman A ne oldu 6 Buradan da a

ve B'nin değeri 11 geldi bir 11 geldi bir iki geldi toplamları 13 oldu rakamları farklı 5 basamaklı 3x4yz

sayısı 30 ile tam bölündüğünde 2 kalanını vermektedir güzel Peki Kalan olursa ne yapacağız o zaman şunu

yapacaksınız normalde tam bölünseydi 3 ve 10 değil mi aralarında Asala ki sayı o zaman Hiç telaş yapma bu sayının 3 ile

bölümünden kalan yine ikidir niye ne söylüyorduk kalan önemli sayının kendisi değil 2'nin 3 ile bölümünden kalan ne

Tabii ki 2 aynı şekilde bu sayının 10 ile bölümünden kalan da mecburen iki olacaktır tamam mı Çünkü

sayımızın Tamamı değil kalanı önemli 2'nin 3 ile bölümünden kalan küçük sayının büyük sayıya bölümünden kalan

kendisidir IKEA'nın 10 ile bölümünden kalan yine küçük sayının büyük sayıya bölümünden

kalan kendisidir O zaman bu sayının son basamağı neymiş arkadaşlar mecburen 2 Çünkü bir sayının 10 ile

bölümünden kalan 2 ise mecburen son basamak ikidir rakamları farklı demiş en büyük

x34yz sayısının 9 ile bölümünden kalan demiş o zaman en büyük diyor ya x'e en büyük 9 verebilirim

Şimdi bir de burada 3 ile bölümünden kalan 2 olmasını istiyorum bu şartları sağlayan sayı için 9 3'e tam bölünüyor

sil 3'e tam bölünüyor sil 4 ve 2 3'e tam bölünüyor stil o zaman buraya yazabileceğim en büyük sayı 6 geldi şey

tam bölünmesi gerekmiyor 2 kalanını vermesi gerekiyor o zaman en büyük sayı 8 geldi gördüğünüz gibi bu sayının

gerçekten 3'e bölümünden kalan 2 ne yaptın Bak yine uyanıklık yapıp üçüyle tam bölünenleri toplamadım bile bunlar

zaten tam bölünüyor 4+2 zaten tam bölünüyor sanki sıfırmış gibi düşünüp sadece yy8 vermem isterseniz tek tek

deneyelim 9 3 4 8 2 9 3 daha 12 2 daha 14 8 daha 224 daha 26 26'nın 3 ile bölümünden kalan ne 2 işte Arkadaşlar bu

yüzden uzun uzun toplamaya gerek yok dememin sebebi bu tam bölünen kısımları hemen sıfırlayın sonra diğer sayıları

eklemeye devam edin Buna göre bu sayının dokuzuyla bölümünden kalan nedir zaten dokuz dokuza tam toplamaya kalkma 0 onun

kalanı 3-4 daha 7 2 daha 9 kalan 0 o zaman Ne oldu cevabımız 8 8'in 9 ile bölümünden kalan 8'dir arkadaşlar

a a 8A 5 basamaklı sayısı 12 ile bölündüğünde 10 kalanını verdiğine göre a kaçtır demiş şimdi

12 aralarında asal hangi iki sayıdan oluşuyor 3 ve 4'ten o zaman bakacağız şimdi ilginç bu ağız

bu büyük a olsun bu sayımız Bunun 12 ile bölümünden kalan 10 yalnız şimdi kalanla ilgileniyorum sayıyı boş ver Onun 3 ile

bölümünden kalan nedir 1 onun aralarında asal iki sayı 3 ve 4 Ya bunlar alacağım şimdi onun da örtülü

bölümünden kalan ne 2 Demek ki Arkadaşlar bu sayının 3 ile bölümünden kalan 1'miş 4 ile bölümünden de kalan

2'ymiş tamam mı bunu fark ettik Sonuçta gördüğünüz gibi 12 ile bölümünden kalan büyük bir sayı olduğu için mecburen bir

daha üçe mecburen bir daha 4'e bölmek zorundayım aklınızda bulunsun böyle büyük sayılar gelirse telaş yapmayın bir

daha bölün o sayılara doğal olarak artık bakalım a kaç olabilir Şimdi bir sayının Bir sayının 4

ile bölümünden kalan 2 ise A sayısı 2 Olabilir değil mi bir kontrol edelim deneyelim olmazsa başka sayı

veririz Bu sayı şu an 22 sayısı gerçekten son iki basamağa baktığımızda 4 ile bölümünden kalan 2 bakalım bu sayı

3 ile bölümünden kalan 1 veriyor mu 2 2 daha 4 2 daha 6 Bak bunun 3 ile bölümünden kalan 0 hemen 2'leri topladım

Yok ettim 8 + 2 10 onun 3 ile bölümünden kalan ne bir a hakikaten tek seferde soruyu tutturduk 2 verdiğim an hem 3 ile

bölümünden kalan 1 geldi hem 4 ile bölümünden kalan 2 geldi Demek ki A arkadaşlar 2'ymiş

basamak sayısı 30'dan küçük olan 6 6 sayısı 99 ile tam bölünüyor Buna göre sayının basamak sayısının alabileceği

kaç farklı değer vardır şimdi 99 hangi iki asal sayı 9 ve 11 Demek ki bunun rakamları toplamı 9'un katı olacak bir

de arkadaşlar olaya dikkat edin artı eksi artı eksi hepsi 6 ya o zaman 6 - 6 0 6 - 6 0 Yani bunun basamak sayısının

çift sayı olması lazım örnek 12 basamaklı olursa her çiftler birbirini götürür 6 eksi 6 eksi 6 istediğimiz

sonucu Ulaşırız Demek ki o zaman ne demiş Bize basamak sayısını alabileceği kaç farklı değer vardır Bu bir birinci

yorumun basamak sayısı çift olacak ikinci yorumum 6'lardan oluşan bir sayının 9 ile tam

bölünmesi için ne olması lazım en az 3 tane 6 olması lazım ama ek basamaklı olamaz ne demiştik o zaman bak 11 olmaz

kalan 6 gelir normalde böyle olacak o zaman bir 3 daha ekle Bak hem çift sayıda hem de

6'lardan oluşan sayı 18 olduğunda 9'a tam bölünür ya da 36 olduğunda tam bölünür gerçekten Bakın şimdi bu sayı 6

basamaklı olduğu zaman 9'a tam bölündü çift sayıda basamak olduğu için artı eksi artı eksi artı eksi 0 geldi 11'e de

tam bölündü Demek ki bu sayının basamak sayısı altının katları olmalıymış 6 olabilir 12 olabilir 18 olabilir 24

olabilir 30'dan küçük olduğu dediği için gördüğünüz gibi 4 tane durum geldi arkadaşlar yani böyle

ufak tefek yerler olacak sorularda Çok basit gibi görünen yorumlar Ama bunlar bizim için önemli 9 ile bölünmenin

kuralını herkes biliyor rakamları toplamı 9'un katı olmalı ama 6'lardan oluşan bir sayının 9'un katı olması için

ya 18 ya 36 olduğunu görüyoruz niye 6'nın katları 18 var 36 var örnek 12 9'a tam bölünüyor mu Hayır o zaman tabii ki

iki basamaklı olamaz ya da 24 9'a tam bölünüyor mu Hayır tabii ki 4 basamaklı olamaz O zaman altının katları

basamakları olması gerekiyor şimdi 5 basamaklı A5 3 4 5 sayısının 45 ile bölümünden kalan 23'tür Buna göre A

sayısının değerlerinin toplamı nedir Bak yine 45'ten kalan 23 çok büyük Normalde 45'in asal çarpanları ne 5 ve 9 e kalan

23 kalan üzerinden gidersek 23'ün 5 ile bölümünden kalan 3 23'ün 9 ile bölümünden kalan rakamları

topla 5'miş Yani biz diyeceğiz ki bu 5 ile bölümünden kalan Bu da 9 ile bölümünden kalan bir sayının 5 ile

bölümünden kalan 3 ise 1 yapalım şimdi A5 3 4 3 rakamları farklı dememiş O zaman bakalım şimdi 4 3

daha 7 3 daha 10 15 yani burasının 9'a tam bölünmeyecek 3 kalanı 5 kalınlık verecek 5 kalınlığını vermesi için

9+5'ten 14 olabilir 18+5'ten 23 olabilir bakalım toplamına bunun 8 7 daha 15 Zaten 14'ü geçti a -1

olamaz 15'e olduğuna göre değil mi 15 bu 73 10-15 o zaman demek ki 23'e tamamlamak

için a n oldu bak 8 ilk değerimiz 8 sonra A5 3 4 Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 3 ise son basamak 8

olabilir Şimdi yine topladığımızda 8 4 daha 12 3 daha 10 5 5 daha 20 23'e tamamlayacağım niye 9 ile bölümünden

kalalım 5 olmasını istiyorum o zaman buradan da A'ya Ne kaldı 3 8 ve 3'ten A'nın alacağı değerler toplamı 11 oldu

45-45-45 şeklinde 20 basamaklı sayının 36 ile bölümünden kalan nedir diye sorulmuş ilginç Bak bu soru

bakayım bir dersin son sorusu Bu soru arkadaşlar Aslında biraz ebob ekok'a göz kırpıyor

burada enteresan bir bölme mantığı var onu göreceğiz Şimdi Normalde Arkadaşlar 36'sı hep ne yaptık

Hep 30 şeyleri verdik değil mi bölümünden kalan budur deyip 5 ve 9'a baktık işte

36 ile bölümünden kalan şudur deyip bakıyoruz ama ilk defa 36 ile bölümünden kalan soruluyor bana 36 hangi iki

sayıdan oluşuyor 9 ve 4'ten o zaman eğer şanslıysak yazıyorum bak şanslıysak şu çıkar 9 ile bölümünden

kalan alsa 4 ile bölümünden de kalan a ise 36 ile bölümünden de kalan ağadır bunu doğal sayılarda hep kullanıyoruz

arkadaşlar Tamam mı Hatta polinomda da kullanıyoruz hatırlayın bilenleriniz vardır belki bir sayının x -1 ile

bölümünden kalan 2 ise biz sayının x - 3 ile bölümünden kalan 2 ise bir sayının x - 1 x x -3 ile bölümünden de kalan 2'dir

o yüzden kalanları aynıysa çarpımının da kalanı aynı ancak ya farklılık gelirse işte Orada

bakacağız böyle gelme şeyi kesin ben bu kadar muhabbet yaptığıma göre Allah kalemimi düşüyordu o kadar muhabbet

yaptığıma göre böyle gelmeyecek Demek ki bakalım 45 sayısının 9 ile bölümünden kalan ne 0

5.45-45 sayısına Bir kocaman a diyelim Bu sayı Demek ki 9'un katı bir sayı 4 ile bölümünden kalan ne son iki

basamağa bakmak yeterli 45 Aha burası Bak ne geldi Şöyle A sayısı 4 ile bölümünden kalan 1 olan

sayı ama 9'a tam bölünen sayı ve arkadaşlar benim kalanı bulmak için burada ve burada aynı sayıya ihtiyacım

var Eğer bunu yakalarsak olayı bitireceğiz Çünkü orası aynı olunca cevabı bulacağım Ee Ayna değil aynı hale

getirmek mümkün nasıl biliyor musunuz şöyle bir Yorum yapabilirsiniz A'ya öyle bir sayı ekleyeceğim ki

buradaki ve buradaki sayı aynı olacak bunu düşünebilirsiniz bakalım şimdi o nasıl mümkün Arkadaşlar her tarafa 8

eklersek her tarafa kaç eklersem 8 eklersem olmaz Evet Bakın şimdi buraya A'ya ekleyeceğim

sayıyı bir düşündüm bulamadım öyle bir sayı ekleyeceğim dedim ki orada bir tıkandım gördüğünüz gibi o zaman ikinci

Yolumuz şu; her zaman o sayıyı direkt göremeyebiliriz Hani ben binevi şu an size kurgusal bir şey yaptığım gibi oldu

ama gerçekten aklıma gelmedi yalan değil Şimdi ikinci yoruma geçiyorum buraya ekleyeceğim sayıyı düşünemezsem ben

şöyle düşünüyorum arkadaşlar buraya dokuzun katlarına ekle buraya da 8'in katlarını ekle aynı sayıda cevabı

bulursunuz bak şimdi ben buraya 9 eklersem buraya da 8 eklersem gerçekten Ne oldu

9k+9 şurası L Pardon bu da 4L artı dokusu oldu aynı sayıyı Buldun mu buldum Demek ki Arkadaşlar burası hakikaten

böyle olduğunda yani A sayısı 9 ve 4 ile bölündüğünde 9 kalanını veriyor O zaman A sayısı 36 ile bölündüğünde O da 9

kalanı veriyor işte mevzumuz bu Eğer ne demiştik demin bir A sayısı ve B sayısı ile bölümünden kalan aynıysa bunların o

keklerinden de kalan aynıdır Dolayısıyla 9 ve 4'ün kalanı dokuzar oldu o sayıları ekleyince o zaman cevabımız da 9 Bu

şekilde buraya dokuzun katlarını istediğin gibi buraya 4'ün katlarını istediğin gibi ekle Yeter ki o eşit

sayıyı bul ikinci yol Madem Hani şimdi nasıl olsa soruyu buldum ya 9 olduğunu hemen ikinci yolu Daha doğrusu ilk

yapamadığım yola geçiyorum A'ya öyle bir sayı ekle ki burası yine 9'un katı olsun burası yine 4 ile bölümünden kalan 1

olan bir sayı olsun 9 ekle A'ya bu yine 9'un katı mı Evet buraya 9 ekle

10 oldu burasının 4 ile bölümünden kalan yine 1 mi Evet gördüğünüz gibi Arkadaşlar bu şekilde Öyle Bir Sayı

ekledim ki buranın 9'un katı olmasını etkilemedi burasının da 4 ile bölümünden kalan 1 olmasına etkilemedi ne demiştik

matematikte kalan önemlidir O yüzden siz buraya 9 ekleyince buranın kalanı ve buranın kalanı değişmediği için merak

etmeyin sayı ekledik sayıyı değiştirdik değil kalanları üzerinden gidiyoruz ya kalanda sayının ne olduğu önemli değil

istersen ben buraya şunu da yazabilirim öyle bir sayı düşün ki 9k artı 9 da 9'a tam bölünüyor 9k + 900 de 9'a tam

bölünüyor kalan bulduğum için ben orada hakikaten sayının Kalanına odaklandığımdan sayının Ne olduğuyla

ilgilenmiyorum Dolayısıyla 9 ve 4 ile bölümünden kalan demin yapmıştık gelelim şimdi ne bulmuştuk 9 o zaman 36 ile

bölümünden kalan 9 olacak Arkadaşlar bu şekilde ekleme metodu biraz gıcıktır açık söylemek gerekir ama bunu fark

etmemiz lazım Ben açık söylemek gerekirse buraya eklemeyi çok sevmiyorum demeyin hani aklıma gelmemesinden de

anlamışsınızdır ben buraya dokuzun katlarına ekleyip buraya da 4'ün katlarını ekleyip

sayıları aynı sayı bulana kadar denemeyi daha mantıklı buluyorum bu şekilde size söylemiş olayım Arkadaşlar bir örnek

daha vereyim bakın diyelim a sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 A sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 Şimdi burada gelin

sizle bu sayının 15 ile bölümünden kalana bakalım şimdi A sayısı 5K artı 1 3l artı 2 öyle bir hamle yapacağım ki

bunlar birbirine eşit olacak Bakalım o sayıyı kaç olacak bunları bir yerde buluşturacağım şimdi buraya diyelim

arkadaşlar düşünelim buraya 10 eklesem 5K artı 11 oluyor bir sayıya 10 eklediğiniz zaman onun yine kalanı

birdir arkadaşlar örnek 41 sayısının 5 ile bölümünden kalan bir 51 sayısının da 5 ile bölümünden kalan bir ben burada

kalan bulmak istediğim için istediğim uyduruk sayıları ekleyebilirim Yeter ki 5'in katı olsun 10 ekledim bu oldu Sonra

arkadaşlar 3l artı 2'ye 9 eklesek 11 oldu gördünüz mü gerçekten o zaman bu ağız sayısı da neymiş 5 ve 3'ten kalan

11 geldiği için 5 ve 3'ün o 2 15 15 ile bölümünden de kalan 11'dir bu şekilde tamamen deneme yanılma yoluyla buraya

eşit sayıları bulacak şekilde buna 5'in katlarını Buna da üçün katlarını ekleyip cevabı bulacaksınız ekstra bir yol

Eskiden ökli halde oradan bunu böyle denemeden matematiksel olarak yapıyorduk arkadaşlar ama algoritmasını müfredatta

yok bu şekilde tamamen bizim insiyatifimize kalıyor eşit sayıları bulana kadar birine 5'in katlarını

birine 3'ün katlarını Burada da aynı şekilde birine 9'un katlarını birine nördün katlarını ekliyoruz aynı sayıda

bulduğumuz an işte bize cevap kalan olarak gelmiş oluyor bu şekilde bu örnek 27'yi bitirmiş olalım Artık diğer

kısmımız birebir ÖSYM'ye geçeceğiz burası ölüme bölünebilmenin Ben zaten yorucu

olacağını düşünüyordum Çok fazla yoruma yorum yapacağımız yer var hala devam edeceğiz birebir ösym'lere kadar biraz

böyle geldik birebir ÖSYM ve beceri temellilerde de hakikaten fazla fazla Yorum yapmaya devam edeceğiz

yemeğinizi yiyin açı olmayın çok dolu dolu olmayın o zaman da düşünemezsiniz oralarda arkadaşlar birlikte güzel

yorumlar yapalım Görüşürüz