Exercise 6.1: Rate of Change & Increasing/Decreasing Functions in Applied Math

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Main Topics: Rate of Change, Increasing/Decreasing Functions, and Maxima/Minima

1. Rate of Change of Quantities

The core concept is that a derivative (e.g., dx/dt or dy/dx) represents the rate of change of a quantity with respect to another quantity.
Example: dx/dt (derivative of distance with respect to time) represents speed (rate of change of distance).
The video uses a melting ice cube as a practical example, where dV/dt represents the rate of change of volume over time.

2. Increasing and Decreasing Functions

This section teaches how to classify functions.

2.1. Visual Classification (Using Graphs)

Increasing Function: The graph rises overall but may have constant sections within the interval. (Non- Strictly Increasing)
Strictly Increasing Function: The graph rises continuously without any flat or constant sections.
Decreasing Function: The graph falls overall but may have constant sections. (Non- Strictly Decreasing)
Strictly Decreasing Function: The graph falls continuously without any constant sections.
Neither Increasing Nor Decreasing: A function that has both increasing and decreasing sections within the given interval.

2.2. Mathematical Determination (Using Derivatives)

This is the practical application using calculus.

Rule:
- If f'(x) > 0 over an interval, the function f(x) is increasing (or non-decreasing) on that interval.
- If f'(x) < 0 over an interval, the function f(x) is decreasing (or non-increasing) on that interval.

The primary test discussed is the First Derivative Test for monotonicity.

3. Maxima and Minima

This section introduces the concepts of peak (maximum) and valley (minimum) points on a graph.

3.1. Types of Maxima and Minima

Local Maxima: A point where the function value is higher than all other nearby points.
Local Minima: A point where the function value is lower than all other nearby points.
Absolute (Global) Maxima/Minima: The highest or lowest value of the function over its entire domain (often found on closed intervals).

3.2. Derivative Tests for Finding Extrema

First Derivative Test: Used when there are multiple solutions for x (where f'(x) = 0). These x-values are checked in the original function f(x) to compare and find the highest and lowest y-values. For a deeper exploration of related foundational concepts, see Understanding First-Order Ordinary Differential Equations: Geometric and Numerical Approaches.
Second Derivative Test: A more general test.
- Step 1: Find first derivative f'(x) and solve f'(x) = 0 to get critical points.
- Step 2: Find the second derivative f''(x).
- Step 3: Evaluate f''(x) at the critical points.
  - If f''(x) > 0, the point is a Local Minima.
  - If f''(x) < 0, the point is a Local Maxima.
  - If f''(x) = 0, the test is inconclusive (neither maxima nor minima).

The instructor emphasizes that the x-coordinate is the point (where maxima/minima occur), and the y-coordinate is the value (the maximum or minimum value itself). The video serves as an introduction, with promises to solve specific problems in follow-up videos.

इस चैप्टर के अंदर जो एक्सरसाइज़ 6.1 है उसके अंदर हमारे पास क्या मिलेगा? रेट ऑफ़ चेंज ऑफ़ क्वांटिटीज़। उसके बारे में हम

थोड़ा सा डिस्कस करेंगे। बाकी क्वेश्चंस करेंगे। चुटकियों में सॉल्व आउट करोगे आप। ध्यान से देखो जो हमारा यहां पे मेन टॉपिक

होगा एक्सरसाइज 6.1 के अंदर वो क्या होगा? रेट ऑफ चेंज ऑफ क्वांटिटीज। चेंज ऑफ क्वांटिटीज। तो यहां पे लिख लेते

हैं एक बार हम टॉपिक को। अब इसका मीनिंग क्या है? रेट ऑफ चेंज ऑफ क्वांटिटीज। अब देखो, हम कोई भी डेरिवेटिव करते थे। मान

लो x का डेरिवेटिव करते थे। वो क्या होता था? dx / dt होता था। या फिर y का डेरिवेटिव करते थे तो dy / dx होता था। इस

तरीके से करते थे हम। t के रिस्पेक्ट में करते थे तो dx / dt लिख देते थे। x के रिस्पेक्ट में y का डेरिवेटिव करते थे तो

dy / dx लिखा जाता था। अब इनका मतलब भी क्या है? dx / dt का dy / dx का? इनका भी मतलब रेट ऑफ चेंज ऑफ क्वांटिटीज है। अब

देखो x का क्या है? यहां पे रेट ऑफ चेंज हुआ है। रेट ऑफ चेंज का मतलब होता है डेरिवेटिव करना किसी का। ध्यान से समझो।

मेन कांसेप्ट समझना है इसका। रटना नहीं है कुछ भी। रेट ऑफ चेंज का मतलब होता है डेरिवेटिव। क्वांटिटी क्या है यहां पे? x।

तो x का हमने डेरिवेटिव कर दिया। किसके रिस्पेक्ट में? टाइम के रिस्पेक्ट में। तो यहां पे x जो है उसका रेट चेंज हो रहा है।

किसके रिस्पेक्ट में? टाइम के रिस्पेक्ट में। इस तरीके से भी बोला जा सकता है। यहां पे क्वांटिटी क्या है? y इसका रेट ऑफ

चेंज कर दिया। किसके रिस्पेक्ट में? x के रिस्पेक्ट में। या फिर क्या कह सकते हैं हम? y का डेरिवेटिव कर दिया विद रिस्पेक्ट

टू x। दोनों का मतलब क्या है? सेम है। अब एग्जांपल लेते हैं एक छोटा सा। मान लो x हमारे पास क्या है? डिस्टेंस है।

x क्या है? डिस्टेंस। और मैं कह दूं कि इस x का डेरिवेटिव करो विद रिस्पेक्ट टू टाइम। क्या कहा मैंने? डेरिवेटिव

विद रिस्पेक्ट टू टाइम। अगर टाइम के रिस्पेक्ट में इसका डेरिवेटिव करना हो तो क्या लिखेंगे इसको? वैसे dx / dt और ये

टर्म क्या बन गई हमारी? जल्दी बताओ। साइंस के अंदर डेरिवेटिव ऑफ़ डिस्टेंस विद रिस्पेक्ट टू टाइम। dx / dt क्या लिखा

जाता है? या फिर x क्या है हमारा? डिस्टेंस रेट ऑफ चेंज ऑफ डिस्टेंस विद रिस्पेक्ट टू टाइम। क्या होता है हमारा?

स्पीड के इक्वल होता है। तो ये क्या हो गया हमारा? स्पीड। तो dx / dt को हम यहां पे स्पीड भी लिख सकते हैं। इस तरीके से

यहां पे कन्वर्ज़ होगा। अब कई बार क्या आ जाता है? रेट ऑफ चेंज ऑफ वॉल्यूम। मान लो हमारे पास कोई क्यूब है। आइस क्यूब है। ये

रहा। वो क्या कर दिया? हमने रूम टेंपरेचर पे रख दिया। तो हमें पता है ये मेल्ट होगा। तो इसका वॉल्यूम क्या होता चला

जाएगा? डिक्रीज होता चला जाएगा। ये मेल्ट होता चला जाएगा। और थोड़ी सी देर के बाद देखेंगे हम इसकी शेप बहुत छोटी रह जाएगी

क्यूब की। तो ये क्या है हमारा? वॉल्यूम टाइम के रिस्पेक्ट में इसका डेरिवेटिव क्या होगा? dv / dt मतलब इस रेट से यह

डिक्रीज होता जा रहा है। तो यहां पे क्या लिखा जाएगा? ये डेरिवेटिव ऑफ वॉल्यूम विद रिस्पेक्ट टू टाइम बोल लो या फिर इसका रेट

ऑफ चेंज ऑफ वॉल्यूम विद रिस्पेक्ट टू टाइम। ये बात हो गई। समझ में आई कुछ चीजें? अच्छा एक हमने डबल क्वांटिटीज भी

पढ़ी थी। मान लो आपके पास दो क्वांटिटी दे रखी हैं। इस तरीके से x इक्वल टू दे रखा है मान लो f ऑफ t कोई t का फंक्शन दे रखा

है। y इक्वल टू दे रखा है g ऑफ़ t कोई g का फंक्शन है और विद रिस्पेक्ट टू टाइम है। तो इनका डेरिवेटिव अगर हमें dy / dx

निकालना हो तो कैसे निकलता था? x का डेरिवेटिव क्या होगा? dx / dt मींस यहां पे क्या हो जाएगा? f't और y का डेरिवेटिव

क्या होता था? dy / dt और gt का डेरिवेटिव क्या हो जाएगा? g't अब हमें dy / dx निकालना तो इन दोनों को

डिवाइड कर लेते थे। तो dy / dx इक्वल टू किसके होगा? dy / dt अपॉन में dx / dt इसको सिंपलीफाई करेंगे

तो हमारे पास क्या आ जाएगा? dy / dx आ जाएगा। समझ में आ गई बात? ये इंट्रोडक्शन था

एक्सरसाइज 6.1 का। बाकी क्वेश्चंस करेंगे वहां से क्लियर होंगी चीजें। बस ये चीज समझनी थी आपको कि हम जो डेरिवेटिव लिखते

हैं किसी का उसको हम रेट ऑफ चेंज ऑफ क्वांटिटी भी लिख सकते हैं। अब इस एक्सरसाइज के अंदर हमने दो ही चीज सीखनी

है। एक हमारा इंक्रीजिंग फंक्शन, एक हमारा डिक्रीजिंग फंक्शन। हमें कोई फंक्शन गिवन होगा। हमने बताना है कि वो हमारा फंक्शन

जो है इंक्रीजिंग फंक्शन है या डिक्रीजिंग फंक्शन है। ठीक है? देखो ध्यान से। हमारे पास कोई भी फंक्शन होगा। इस तरीके से कोई

भी हमारा फंक्शन हो सकता है। fx हो सकता है, fy हो सकता है। कोई भी वेरिएबल में हो सकता है। उसके अंदर हमारी दो चीजें होंगी।

या तो क्या होगा वो? इंक्रीजिंग फंक्शन होगा या फिर क्या होगा वो? डिक्रीजिंग।

अब इस इंक्रीजिंग और डिक्रीजिंग के अंदर भी दो चीजें आती है हमारी। एक तो आता है स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग।

क्या है? स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग और डिक्रीजिंग के अंदर भी आता है हमारा स्ट्रिक्टली

स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग। अब इनके मीनिंग क्या है? इंक्रीजिंग फंक्शन किसको कहेंगे और डिक्रीजिंग किसको कहेंगे? स्ट्रिक्टली

इंक्रीजिंग और स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग किसको कहेंगे? इन चीजों को समझेंगे हम ग्राफ की हेल्प से। अब वो ग्राफ आपको बस

थोड़े से माइंड में रखने हैं। बाकी कोई चीज जरूरत नहीं है उनको आपको याद रखने की। बस समझना है कि मीनिंग क्या है। देखो सबसे

पहले हम चलते हैं इंक्रीजिंग के ऊपर बात करेंगे। मान लो हमारा ये कोई भी ग्राफ है। ये x एक्सिस है। ये y एक्सिस है। इसी

तरीके से हम ग्राफ प्लॉट करते हैं। ये ओरिजिन हो गया। अब मान लो ओरिजिन से हमारा कोई ग्राफ स्टार्ट हुआ इस तरीके से। फिर

क्या हो गया? थोड़े से टाइम के लिए स्ट्रेट हो गया। फिर दोबारा से इनक्रीज होने लग गया। तो इस टाइप के ग्राफ को हम

क्या कहेंगे? इंक्रीजिंग फंक्शन। इंक्रीजिंग फंक्शन का ग्राफ है। यह कैसे पता चला? ध्यान से देखो। यहां से इनक्रीज

तो हो रहा है बट कुछ टाइम के बाद क्या कर रहा है? वो कांस्टेंट हो गया। मतलब ना तो वो इनक्रीज हो रहा है ना डिक्रीज हो रहा

है। फिर इनक्रीज होने लग गया। तो इस टाइप के फंक्शन को क्या कहेंगे? इंक्रीजिंग फंक्शन। मतलब इंक्रीज तो हो रहा है बट

कंटीन्यूअसली नहीं हो रहा है। क्लियर बात है? अब दूसरा वर्ड आता है स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग। किसको कहेंगे? उसका ग्राफ देख

लेते हैं एक बार। ये हमारी क्या है? x एक्सिस है। यह हमारी y एक्सिस है। और यह हमारा क्या है? ओरिजिन। अगर इस तरीके से

ग्राफ है मतलब कंटीन्यूअसली इनक्रीज ही होता जा रहा है। कहीं पे ना तो कांस्टेंट हुआ है ना

कहीं पे भी वो स्टॉप हुआ है। बस ओनली क्या है? वो इनक्रीज होता जा रहा है। तो इस टाइप के ग्राफ को क्या कहेंगे हम?

स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन। बात क्लियर हुई या नहीं हुई? अब डिक्रीजिंग भी आपको समझ में आ गया होगा ईजीली। अब मान लो

इस तरीके से ग्राफ है हमारा। यह x एक्सिस है। यह y एक्सिस है। और ग्राफ मान लो ऐसे चल रहा है हमारा। नीचे आया फिर कांस्टेंट

हो गया। फिर नीचे आया। फिर कांस्टेंट हो के नीचे आ गया। मतलब कहीं-कहीं कांस्टेंट हो रहा है। मतलब डायरेक्टली डिक्रीज नहीं

हो रहा। तो इसको क्या कहेंगे हम? डिक्रीजिंग फंक्शन। किस कैटेगरी में आएगा यह फंक्शन?

डिक्रीजिंग फंक्शन की कैटेगरी में। अब दूसरा आता है स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग। किसको कहेंगे? अब तो आपको क्लियर हो गया

होगा। समझ गएगे जो डायरेक्टली हमारा नीचे की तरफ आता जाए ग्राफ कहीं पे भी कांस्टेंट ना हो उस ग्राफ को क्या कहेंगे

हम स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन कहेंगे ऐसे भी हो सकता है कुछ ऐसे भी हो सकता है हमारा स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन ऐसे

ये भी हमारा कंटीन्यूअसली डिक्रीज ही होता जा रहा है तो इस टाइप के ग्राफ को हम क्या कहेंगे स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग ये x हो

गया ये y हो गया बात क्लियर है अब दूसरा एक और चीज आती है हमारी नाइदर इंक्रीजिंग नर डिक्रीजिंग मतलब मतलब ना तो कोई ग्राफ

जो फंक्शन है वो इनक्रीज हो रहा है और ना ही डिक्रीज हो रहा है। उस केस में क्या होगा? हमारा इस तरीके से हमारा मान लो कोई

भी ग्राफ है ये x एक्सिस है। ये y एक्सिस है। यहां से मान लो कोई भी ग्राफ चला इस तरीके से हो।

एक बार तो क्या कर रहा है? इनक्रीज फिर डिक्रीज हो गया। फिर इनक्रीज हो गया। फिर डिक्रीज हो गया। फिर इनक्रीज हो गया। तो

एक बार फंक्शन इंक्रीज हो रहा है, एक बार डिक्रीज हो रहा है। तो उसको क्या कहेंगे हम? नाइदर

इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग। मतलब ना तो ये इनक्रीज हो रहा है ना डिक्रीज हो रहा है। इस टाइप के फंक्शन को हम क्या कह देंगे?

नाइदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग। बात क्लियर हो गई? अब सर इनका मीनिंग तो क्लियर हो गया हमें। इंक्रीजिंग

डिक्रीजिंग का, स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग का, स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग का। बट हम इसको यूटिलाइज कैसे करेंगे एप्लीकेशन ऑफ

डेरिवेटिव में वो और सीख लेते हैं एक बार। इसका यूज़ कैसे होगा? ध्यान से समझो। अगर मान लो आपको कोई भी फंक्शन दे रखा है fx

इसके अंदर कोई भी वैल्यू है मान लो x दे रखा है या कोई और फंक्शन दे रखा है। मान लो f(x) = m x दे रखा है या कुछ भी x² दे

रखा है। पहला काम क्या है? एक तो हम इसका ग्राफ बना के चेक करें कि ये इंक्रीजिंग है या डिक्रीजिंग है। अब ग्राफ बनाना तो

पॉसिबल होता नहीं है। इतना ईजीली नहीं होता। इजी नहीं होता कि आप सभी के ग्राफ बना दो सभी फंक्शनंस के। तो और क्या तरीका

है? एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव को कैसे यूज़ करके हम यहां पे इंक्रीजिंग डिक्रीजिंग देखेंगे। बिल्कुल सिंपल है। आपको f(x) का

क्या करना है? f'(x) निकालना है। क्या निकालना है? डेरिवेटिव निकालना है। अगर आपका f'(x) > 0 आ गया। क्या आ गया? f'(x)

> 0 तो ये क्या हो जाएगा? हमारा इंक्रीजिंग फंक्शन हो जाएगा। बात समझ में आई या नहीं? अगर f'(x) > 0 है

तो वो क्या हो जाएगा? इंक्रीजिंग फंक्शन। अगर f-x हमारा क्या है? लेस < 0 है तो वो क्या हो जाएगा? डिक्रीजिंग फंक्शन।

अब इतनी बात तो क्लियर हो गई होगी। बस यही चीज करनी है। इन्हीं से इंटरवल निकलेंगे। इन्हीं से हम चेक करेंगे कि इंक्रीजिंग है

या डिक्रीजिंग है। वो अभी हम क्वेश्चंस करेंगे। वहां से आपको क्लियर हो जाएगा। आई थिंक यहां पे जो इंट्रोडक्शन था इस

एक्सरसाइज का वो यही था। सफिशिएंट है। बस थोड़ा सा कांसेप्ट समझना था। बाकी क्वेश्चन से सारे डाउट क्लियर होंगे। इसके

अंदर देखेंगे हम जो मैक्सिमा और मिनीमा है वह किस तरीके से फाइंड आउट किया जाता है और किस तरीके से अप्लाई होता है। उसमें

बच्चे कंफ्यूज रहते हैं। बिल्कुल सिंपल तरीके से बताऊंगा आसानी से समझ में आ जाएगा। जो मैक्सिमा होता है वो भी टू टाइप

का होता है हमारा। एक तो होता है हमारा एब्सोल्यूट मैक्सिमा और एक लोकल मैक्सिमा। उनका एग्जैक्ट मीनिंग क्या है? ग्राफ से

समझेंगे। ऐसे ही मिनीमा होता है एब्सोल्यूट मिनीमा और लोकल मिनीमा। ठीक है? सबसे पहले देखो यहां पे दो ग्राफ

बनाऊंगा मैं। टॉपिक ले लेते हैं अपना क्या है? मैक्सिमा और मिनीमा का। मैक्सिमा एंड मिनीमा।

अब यहां पे दो ग्राफ प्लॉट कर रहा हूं मैं। एक तो ये ग्राफ हो गया। ये x एक्सिस हो गई। ये y एक्सिस हो गई। एक ग्राफ है

हमारा इस तरीके से। उल्टा u मान लो इसको। एक दूसरा ग्राफ है हमारा इस तरीके से। इसको सीधा u मान लेते हैं। ये x एक्सिस हो

गई। यह y एक्सिस हो गई। अब इनके ऊपर देखो इस ग्राफ के अंदर मैक्सिमम पॉइंट कहां पे है? ये पॉइंट है। इस पॉइंट को P और

कोऑर्डिनेट मान लेते हैं XY। यहां पे ये पॉइंट मान लेते हैं हम P और इसके कोऑर्डिनेट मान लेते हैं XY।

ठीक है? अब ये देखो यहां पे इस ग्राफ के अंदर मैक्सिमम वैल्यू कहां है? यहां से चलना स्टार्ट किया। वैल्यू इनक्रीज होती

जा रही है और यहां पे पहुंच गई। और यहां से वैल्यू क्या हो गई? दोबारा डिक्रीज होनी स्टार्ट हो गई। तो मैक्सिमम पीक

पॉइंट कौन सा हुआ? ये वाला। तो ये क्या कहलाएगा? हमारा मैक्सिमम वैल्यू कहलाएगी। क्या कहलाएगी? मैक्सिमम वैल्यू। या फिर हम

कह सकते हैं पॉइंट एट व्हिच वैल्यू डिक्रीजिंग। यहां पे क्या कहा है मैंने? पॉइंट एट

व्हिच मतलब जहां से वैल्यू डिक्रीज होनी स्टार्ट हो जाती है। वो पॉइंट हमारा मैक्सिमम पॉइंट कहलाता है। अब इस वाले

ग्राफ में आ जाओ। यहां से वैल्यू डिक्रीज होनी स्टार्ट हो गई। और इस पॉइंट के बाद हमने देखा कि वैल्यू दोबारा से इनक्रीज

होनी स्टार्ट हो गई। तो लोएस्ट वैल्यू इस ग्राफ में कहां पे आई? यह वाली। तो यह क्या हो जाएगी हमारी? मिनिमम वैल्यू

पॉइंट। यह मिनिमम हो जाएगा और ये क्या हो जाएगा हमारा? मैक्सिमम। इतनी बात समझ में आ गई ना? थोड़ा सा टॉपिक

था। ये छोटा सा ग्राफ की हेल्प से हमने देखना था कि मिनिमम और मैक्सिमम क्या चीज है। ठीक है? अब इसके अंदर दो चीजें आती

हैं हमारी। एक तो आती है वैल्यू। एक आता है पॉइंट। एग्जाम में पूछा जाएगा क्वेश्चंस के अंदर भी आएगा कि मैक्सिमम

पॉइंट निकालो या मैक्सिमा पॉइंट निकालो या मैक्सिमा वैल्यू निकालो। अब देखो कोई भी कोऑर्डिनेट होता है हमारा।

कोऑर्डिनेट कैसे लिखा जाता है? मान लो हमारे कोऑर्डिनेट हैं कोई भी P पॉइंट पे X Y।

जो X होगा हमारा वह क्या कहलाएगा? मैक्सिमम पॉइंट। मैक्सिमम

पॉइंट जो भी एक्स कोऑर्डिनेट होगा उसको क्या कहेंगे? मैक्सिमम पॉइंट या फिर मिनिमम

पॉइंट। वो तो हम ग्राफ की हेल्प से देख लेंगे। मिनिमम पॉइंट।

और जो y होगा y कोऑर्डिनेट क्या डिफाइन करेगा? हमारी मैक्सिमम वैल्यू या फिर मिनिमम वैल्यू को।

मिनिमम वैल्यू को। ये चीज ध्यान रखनी है आपने। कैसे हुआ? देखो ध्यान से। हम कोई भी फंक्शन लिखते हैं। f(x) = मान लो x² - 2x

इसको सॉल्व आउट करके मान लो x का सॉल्यूशन आएगा हमारे पास। तो वो क्या होगा? मैक्सिमम पॉइंट या मिनिमम पॉइंट होगा। अब

उस x की वैल्यू को इसके अंदर पुट करूंगा तो इसका f(x) का सॉल्यूशन आएगा। और इस f(x) को हम किससे रिप्रेजेंट करते हैं? y

से। तो मतलब y का सॉल्यूशन आ जाएगा। y की कोई वैल्यू आ जाएगी। तो उसको क्या कहेंगे? मैक्सिमम वैल्यू या मिनिमम वैल्यू। ये चीज

क्लियर हो गई या नहीं होगी? ठीक है? अब देखो मैक्सिमा दो टाइप का होता है हमारा। मिनीमा भी दो टाइप का होता है। उसको उसके

लिए भी एक छोटा सा ग्राफ बना लेंगे। यहां से मैंने मान लो एक ग्राफ बनाना स्टार्ट किया इस तरीके से।

[संगीत] ये ग्राफ बना दिया मैंने। ठीक है? इसमें पॉइंट देखो कहां है। एक तो यह पॉइंट है A,

यह पॉइंट है B. मैक्सिमम मिनिमम पॉइंट लिखते चले जाओ बस। सी ये डी ये ई ये एफ ये हमारा मान लो जी और ये मान लिया क्या है H

अब इसके अंदर देखो सबसे पहले मैक्सिमा पॉइंट देखते हैं हम मैक्सिमा पॉइंट कौन-कौन से हैं जो हाईएस्ट वैल्यू जहां से

वैल्यू डिक्रीज होनी स्टार्ट हो रही है ये भी है ये भी है ये भी है और ये भी मैक्सिमम पॉइंट पे पहुंच गया तो ये भी है।

तो ये चारों पॉइंट क्या है? हमारे मैक्सिमम पॉइंट हैं। अब इसके अंदर दो टाइप आती हैं हमारी। एक तो लोकल मैक्स मैक्सिमा

होता है। एक एब्सोल्यूट मैक्सिमा होता है। एब्सोल्यूट का मतलब है जो कि पीक वैल्यू है। इन चारों में से पीक वैल्यू कौन सी है

हमारी? हाईएस्ट वैल्यू डी वाली। तो ये क्या कहलाएगा हमारा? एब्सोल्यूट मैक्सिमा। एब्सोल्यूट

मैक्सिमा। या फिर कई जगह इसको क्या कह देते हैं? ग्लोबल मैक्सिमा भी कह देते हैं। ठीक है?

और जो वैल्यू बच गई है तो वो भी मैक्सिमम ना बट वो सारी वैल्यू्यूज क्या कहलाएंगी बी वाली ई एफ वाली एच वाली ये कहलाएंगी

हमारी लोकल मैक्सिमा पॉइंट क्लियर हो गया होगा जो हाईएस्ट वैल्यू होगी एक सिंगल वैल्यू होगी उसके

नियर बाय कोई वैल्यू नहीं है तो उसको हम एब्सोल्यूट मैक्सिमा या ग्लोबल मैक्सिमा लेके चलेंगे और जो अदर मैक्सिमम वैल्यू बच

गई उनको हम लोकल मैक्सिमा कहेंगे। सेम काम यहां पे होता है मिनिमम वैल्यूज़ में। यह भी मिनिमम है। यह भी मिनिमम, यह भी मिनिमम

और यह भी मिनिमम। सबसे मिनिमम कौन सी है? जी वाली। तो, यह क्या हो जाएगी हमारी? एब्सोल्यूट मिनीमा।

एब्सोल्यूट मिनीमा। और ये और जो वैल्यू है एce ये क्या

कहलाएंगी? लोकल मिनीमा। समझ में आ गई बात? इनमें थोड़ा बहुत चेंजेज हो सकता है। E की वैल्यू और भी कम

हो सकती है। तो ये सारी क्या कहलाएंगी? लोकल मिनीमा और जब से जो सबसे लोएस्ट है उसको हम एब्सोल्यूट मिनीमा या फिर ग्लोबल

मिनीमा कहेंगे। इतनी बात क्लियर हो जानी चाहिए। कोई दिक्कत की बात नहीं है। अब बात आती है यहां पे जो एब्सोल्यूट मैक्सिमा

होता है या मिनीमा होता है उसको हम हमेशा क्लोज इंटरवल पे फाइंड आउट करते हैं। ध्यान से देखो मैंने क्या कहा है? जो

एब्सोल्यूट मैक्सिमा और एब्सोल्यूट मिनीमा है। लिख भी देता हूं यहां पे। एब्सोल्यूट मैक्सिमा और मिनीमा

किस पे फाइंड आउट होंगे? क्लोज इंटरवल पर। कैपिटल ब्रैकेट क्लोज इंटरवल को डिनोट करती है। तो पता लग गया। और ऐसे ही लोकल

मैक्सिमा और मिनीमा लोकल मैक्सिमा और मिनीमा ये हमेशा ओपन इंटरवल पे सॉल्व आउट होते हैं। ये बात भी आपको ध्यान रखनी है।

ठीक है? अब इनको सॉल्व आउट करने के लिए कैसे मैक्सिमा वैल्यू, मैक्सिमम पॉइंट या मिनीमा वैल्यू या मिनिमम पॉइंट,

एब्सोल्यूट मैक्सिमा, एब्सोल्यूट मिनीमा या फिर लोकल मैक्सिमा, लोकल मिनीमा ये किस तरीके से फाइंड आउट किए जाते हैं? इनके

लिए होते हैं दो टेस्ट। क्या? एक तो फर्स्ट डेरिवेटिव टेस्ट होता है, एक सेकंड डेरिवेटिव टेस्ट होता है। किस तरीके से

अप्लाई करते हैं? वो भी सीखते हैं। सबसे पहले आता है हमारे पास फर्स्ट डेरिवेटिव टेस्ट। कब हम इसको अप्लाई करेंगे? किस

तरीके से वैल्यू फाइंड आउट होंगी? वो देख लो। अब यहां पे क्या होगा? हमें कोई भी एक फंक्शन गिवन होगा f(x) स्टेप वाइज चलेंगे।

ये मान लो हमारा क्या है? स्टेप फर्स्ट। कोई भी फंक्शन गिवन है आपको। सबसे पहला काम क्या करना है आपको? स्टेप सेकंड के

अंदर इसका डेरिवेटिव फाइंड आउट कर लेना है। f'(x) फाइंड आउट कर लिया। हो गया फर्स्ट डेरिवेटिव। उसके बाद क्या करना है?

स्टेप थर्ड में आपको f'(x) जो भी आएगा उसको इक्वेट टू 0 कर लेना है। इसकी हेल्प से हमें क्या मिलेंगी? वैल्यू ऑफ़ x फाइंड

आउट हो जाएंगी। वैल्यू ऑफ x। ठीक है? अगर यहां पर x की मल्टीपल वैल्यूस आती हैं। क्या आती हैं? मल्टीपल वैल्यूस। तो हम

फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्ट को यूज़ करेंगे। क्या कहेंगे हम? इट्स यूज्ड फॉर यूज्ड फॉर मल्टीपल वैल्यूज़।

मल्टीपल वैल्यूज़ ऑफ x। मल्टीपल वैल्यू ऑफ़ x के लिए क्या किया जाता है? फर्स्ट ऑर्डर टेस्ट

यूज़ किया जाता है। कैसे यूज़ होगा? अब यहां पे x की मल्टीपल वैल्यू आ गई। मान लो x की वैल्यू आ गई आपके पास। a आ गई, b आ गई, c

आ गई। हमें इन a b c वैल्यू को fx के अंदर पुट करना है। तो क्या निकलेगा हमारे पास? f ऑफ a निकल आएगा। वो मान लो 10 आ गया। f

ऑफ b आ जाएगा। मान लो वो आ गया माइनस का 20। fc रखने के बाद हमारे पास आ गया मान लो 30। ऐसे वैल्यू आ जाएंगी। अब इनमें से

मैक्सिमा और मिनीमा वैल्यू तो आप इज़ली फाइंड आउट कर सकते हो। यह देखो क्या है हमारी एब्सोल्यूट मैक्सिमा वैल्यू ये सबसे

लोएस्ट वैल्यू तो एब्सोल्यूट मिनीमा वैल्यू था ना आसान समझ में आ गया फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्ट अब सेकंड ऑर्डर

डेरिवेटिव टेस्ट जो होता है वो इसका गुरु होता है मतलब वो सिंगल वैल्यू पे भी यूज़ किया जा सकता है और मल्टीपल वैल्यूज़ पे भी

यूज़ किया जा सकता है। उसको हम हर जगह यूज़ कर सकते हैं। अब उसको कैसे यूज़ किया जाता है वह और देख लेते हैं एक बार सेकंड ऑर्डर

टेस्ट। सेकंड ऑर्डर टेस्ट या फिर सेकंड डेरिवेटिव टेस्ट। वैसे

भी बोल सकते हैं। दोनों का मतलब सेम है। इसमें भी क्या होगा? स्टेप फर्स्ट हमारे पास कोई फंक्शन होगा f(x)

फिर हम क्या निकालेंगे? यहां पे f'(x) फाइंड आउट करेंगे। स्टेप सेकंड हम फाइंड आउट करेंगे f-x।

यहां पे ध्यान देना है। हमें यहां पे डायरेक्टली सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव नहीं करना है। अब हमें क्या करना है? स्टेप

थर्ड में f-x = 0 पुट करना है। अगर यहां पर x की मल्टीपल वैल्यू आ गई, x

की वैल्यूज़ आ जाएंगी आपके पास। मल्टीपल वैल्यू आ गई तो डायरेक्टली हम फर्स्ट ऑर्डर टेस्ट भी लगा सकते हैं। अगर मान लो

यहां पे सिंगल वैल्यू आती है, तो हमें क्या करना पड़ेगा? सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव करना पड़ेगा। सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव मतलब

स्टेप फोर करेंगे। इसका f'x भी फाइंड आउट करेंगे। क्या फाइंड आउट करेंगे? f' x अब f'x में जो x की वैल्यूज़ आई है वो पुट

करेंगे तो f'x या तो हमारे पास क्या आएगा पॉजिटिव या f'x क्या आएगा हमारे पास बच्चों नेगेटिव आएगा या फिर f'x क्या आएगा

हमारा ज़ीरो के इक्वल भी आ सकता है ये तीन ही वैल्यू पॉसिबल होंगी या तो एग्जैक्टली ज़ीरो आ जाएगा या पॉजिटिव वैल्यू आ जाएगी

या नेगेटिव वैल्यू आ जाएगी तो यहां पे अगर मान लो पॉजिटिव आता है हमारे पास f'x तो x क्या हो जाएगा जाएगा x इज मिनिमम पॉइंट

क्या हो जाएगा x मिनिमम पॉइंट अगर f'x नेगेटिव आ गया तो हमारा x इज मैक्सिमम पॉइंट ये ध्यान ध्यान रखना है आपको सॉल्व

आउट करेंगे क्वेश्चन सब और f'x अगर जीरो के इक्वल आ गया तो क्या हो जाएगा नाइदर मैक्सिमम नर मिनिमम नाइदर मैक्सिमम नॉर

मिनिमम बात क्लियर हो गई या नहीं y की वैल्यू जब निकलेगी जो भी fx में पुट करके x के पॉइंट

पुट करने के बाद उससे क्या होगा? उससे हमारी वैल्यूज़ निकलेंगी। x के क्या होंगे? पॉइंट होंगे। y कोऑर्डिनेट किसको डिनोट

करेगा? वैल्यूस को डिनोट करेगा। इतनी बात समझ में आ गई? यही था हमारा मैक्सिमा और मिनीमा। बाकी क्वेश्चन से सारी चीजें

क्लियर करते चलेंगे।

How do you calculate the rate of change of a quantity in applied math?

What is the mathematical test to determine if a function is increasing or decreasing?

What is the difference between local and global maxima/minima?

How do you use the first and second derivative tests to find local maxima and minima?

What is the difference between the x-coordinate and y-coordinate when identifying maxima and minima?

How does the derivative relate to the rate of change in real-world applications?

How do you identify a function that is neither strictly increasing nor strictly decreasing over an interval?

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