Le Proprietà Fondamentali delle Funzioni Trigonometriche

oggi definiamo ha rapidamente e vediamo le proprietà fondamentali nelle cosiddette funzioni trigonometriche vi

ricorderà in particolare quelle che sono le proprietà che interverranno più frequentemente in questo corso e

soprattutto vi invito a concentrarvi sul grafico e le sue proprietà dunque le funzioni se knicks e così

hicks sono funzioni definite come nella figura che potete osservare pertanto vediamo che dato una circonferenza

unitaria e un arco di lunghezza ips si determina per mezzo del punto hicks un triangolo rettangolo di cui un cateto e

lungo se knicks e l'altro cateto è lungo così in particolare così il cateto rizon tale e senise il capito verticale

l'altra figura dimostra un altro caso e vi mette in luce una cosa importante per un angolo hicks maggiore di pi greco

mezzi il coseno dx viene considerato negativo cioè prima ho parlato di lunghezza dei cateti si intende di

lunghezza orientata siccome il coseno dx in questo caso sta nel secondo quadrante viene considerato orientato dall'origine

verso le l'asse dei valori negativi e quindi viene considerato negativo al contrario se knicks qui è ancora

positivo e diventa negativo nel terzo e nel quarto quadrante la prima proprietà fondamentale disseny

xxx è che sono funzioni periodiche di periodo 2pi greco osserviamo inoltre alcune simmetrie che

si possono ricavare facilmente dalle regole elementari dei triangoli il seno dx è uguale al seno di pi greco meno

hicks il seno dx è uguale a meno seno di 2pi greco meno ips e quindi uguale anche a meno seno di meno hicks questo per la

periodicità e quindi da queste formule qua otteniamo che per costruire il grafico di sé knicks sostanzialmente

basta farlo nell'intervallo 0 pi greco mezzi avevamo visto il seno funzione periodica

che basterebbe farle un intervallo di ampiezza 2pi greco per esempio 02 pi greco

in realtà le simmetrie di cui abbiamo parlato sopra ci permettano di farlo un intervallo ancora più piccolo cioè

zero pi greco mezzi intanto osserviamo che se knicks essendo il cateto di un triangolo con ipotenusa lunga uguale a 1

in valore assoluto è compreso fra 0 e 1 poi essendo consegno in realtà sarà compreso fra meno 1 e una intera pi

greco mezzi non c'è dubbio che sarà una funzione crescente e quindi sostanzialmente il risultato è

quello che vediamo nella figura come vedete il grafico è disegnato sull'intervallo 02 pi greco tuttavia le

relazioni che abbiamo visto prima ci permettono di osservare le simmetrie di capire perché lo possiamo disegnare

capire diciamo nell'intervallo 0 pi greco mezzi e poi costruirlo per simmetria infatti vedete che fissato xe

knicks è uguale a meno seno di 2pi greco meno hicks e quindi la simmetria rispetto all'asse hicks uguale pi greco

simmetria nel senso che è ribalto che rispetto a quest asse e poi ribalto ancora rispetto all'asse delle ips

mentre invece una simmetria senza cambiamento disegno e rispetto all'asse hicks uguale pi greco mezzi

nell'intervallo 0 pi greco giustificate dalla relazione se knicks uguale il seno di pi greco meno ips

pertanto questa è la funzione se knicks e poiché vale la relazione che seno dx più pi greco mezzi è uguale a così hicks

e il grafico del coseno dx è facilmente ricostruito da quello del seno e lo potete vedere nella figura di nuovo ve

lo faccio vedere nell'intervallo 02 pi greco di nuovo potete osservare delle simmetrie che se volete potete scrivere

per esercizio io qua non vi propongo si pone inoltre tangente dx o tangenti

xvi faccio osservare che a volte potete trovare scritto tanto hicks per tangenti o anche tende hicks oppure anche tgx

dicevo pongo tangente di hicks uguale sena dx fratto coseno di avevamo visto sopra una relazione che ci diceva che il

seno dx dispari infatti se knicks è uguale a meno seno di meno hicks potete osservare invece

che il coseno è pari infatti così hicks è uguale a cosi di meno hicks da questo naturalmente ne segue che la tangente

essendo il quoziente di una funzione pari con una dispari è una funzione di spari

inoltre è 2pi greco periodica di sicuro perché quoziente di due funzioni 2pi greco periodiche in realtà a un periodo

anche dimezzato e cioè pi greco periodica perché siccome il seno dx e meno seno dx più pi greco e coseno dx e

meno coseno dx più pi greco ovviamente nel quoziente i due meno si eliminano a vicenda

pertanto la tangente risulta periodica anche di periodo pi greco per simmetria poi basterebbe disegnarla

nell'intervallo 0 pi greco mezzi io invece disegno comunque nell'intervallo meno pi greco mezzi pi

greco mezzi questa è la tangente come vedete una funzione di spari e che però risulta aver valori su tutto r non su

meno 11 come il seno e il coseno attraverso le regole della geometria si possono ricavare il seno e coseno di

alcuni angoli particolari vi mostra una tabella di alcuni di questi angoli vi faccio osservare che in questa tabella

abbiamo riportato gli angoli in gradi per vostra comodità poi in radianti poi vi do il coseno il seno vi faccio

osservare che in tutto questo corso in generale si userà sempre il radiante che vi ricordo per definizione l'abbiamo

visto prima e la lunghezza dell'arco di circonferenza sotteso dall'angolo e quindi per esempio

siccome siamo su una circonferenza unitaria bisogna ricordare questo l'angolo di 90 gradi e pi greco mezzi

perché un quarto di circonferenza all'angolo di 180 gradi e pi greco e così via

e inutile che velisti a leggere questi sono il coseno il seno di alcuni di questi angoli abbastanza importante

sapere che ci sono degli angoli di cui il coseno il siena si può calcolare elementarmente con regole della

geometria ma nessuno pretende che si sappiano a memoria vi sono anche formule particolarmente

utili che è bene in qualche modo ricordare o perlomeno sapere che ci sono per essere sempre pronti a consultarli

nel caso ci sia bisogno l'are prima relazione fondamentale che se in quadro hicks più con squadre hicks

è uguale a 1 questo è dovuto al fatto che applichiamo banalmente il teorema di pitagora questa è la lunghezza di un

ipotenusa al quadrato e questa è la lunghezza dei cadetti al quadrato e quindi il primo cateto al quadrato più

secondo capito al quadrato come lunghezza anno il quadrato dell'ipo tenuta di cui naturalmente si ricavano

delle regole per esempio si può ricavare se knicks in funzione di così quello che voi trovate spesso scritto

nei libri o nei manuali e che se knicks uguale a più o meno a radice di uno meno cos quadro hicks

vi invito a riflettere sull'uso che farete di questa formula quando ne avrete bisogno il seno di un angolo è un

numero ben preciso non è due numeri o più o meno questa formula vuol dire che voi avete due possibilità è che a

seconda dell'angolo hicks dovete scegliere quella giusta non c'è dubbio per esempio che se sapete

a priori che hicks st nell'intervallo 0 pi greco allora dovete prendere il segno più se

sono nell'intervallo pi greco 2pi greco sono costretta a prendere evidentemente il segno meno

non li prendo tutte e due contemporaneamente come dicevo ci sono anche delle formule utili

vi consiglio sempre di dare un'occhiata in questo caso al formulario perché è inutile riportarne qua una lista ve ne

segnalo comunque alcune importanti che capiterà a noi di utilizzare ripeto dare un'occhiata al formulario non per

impararle a memoria ma semplicemente per sapere che ci sono vi segnalo la somma la regola della

somma al seno dia più bi xeno di aper così db più coseno di aper seno di b poi ce

n'è una per il coseno e poi ce n'è una particolare che lega il seno il cosino alla tangente che potete

vedere che è inutile che di lega l'ultima osservazione che facciamo su queste funzioni in questa prima parte è

che essendo periodiche non sono certamente invertibili qualora le consideri definite su tutto r

in realtà il se nel coseno non sono invertibili nemmeno in un intervallo di lunghezza al periodo comunque per

definire opportune inverse delle funzioni trigonometriche provvederemo a restringere il dominio in modo da

renderle invertibili in particolare iniettive