Guía Definitiva para Entender Vectores en R2: Conceptos y Operaciones

quieres entender los vectores en dos dimensiones de forma definitiva como nadie te los ha explicado nadie vamos a

empezar desde el principio desde cero poco a poco sin prisa como a mí me gusta Quédate porque

Sencillamente vas a flipar bien Pues nada aquí estamos con este vídeo que estaba deseando preparar

sobre vectores en r2 vectores en el plano el en España esto se ve en primero de bachillerato y quería hacer pues una

clase pues completa desde cero eh desde la base desde los cimientos para entender absolutamente todo vale Este no

es el típico vídeo al uso donde aprendemos hacer los cuatro ejercicios que luego nos van a preguntar vale Pero

este es el vídeo definitivo en el que hay que apoyarse para entender perfectamente todo vale todo de lo que

hablamos eh de vectores como digo en el plano en r2 para primero de bachillerato entonces eh qué Por dónde empezamos por

dónde empezaríamos a hablar de vectores pues vamos a hablar Pues un poco de eh qué sentido tiene esto Cuál es su origen

entonces pues el origen de los vectores al final pues tiene que ver con el con el campo de la física entonces en física

hablamos de magnitudes eh que son escalares y magnitudes vectoriales qué es una magnitud escalar pues es

simplemente una magnitud que queda determinada perfectamente mediante un número y su unidad correspondiente por

ejemplo el tiempo sería una magnitud de escalar si yo digo por ejemplo 5 segundos el tiempo queda perfectamente

definido esa magnitud queda perfectamente definida eh conociendo la cantidad en este caso cinco y la unidad

5 segundos 7 años lo que sea o por ejemplo también eh la masa vale la masa de un cuerpo por ejemplo 3 kg eh 8 G

vale son magnitudes eh que quedan determinadas perfectamente conociendo eh conociendo la cantidad y la unidad pero

claro en el mundo de la física hay otras magnitudes donde Esto no es suficiente en el caso de que yo diga me estoy

desplazando a 100 km porh estoy hablando de una magnitud como la velocidad simplemente diciendo la cantidad y la

unidad de medida no es suficiente vale porque no es lo mismo moverse a 100 km porh en esta dirección que en esta

dirección que en esta dirección y dentro de una misma dirección pues tenemos un sentido y otro sentido un sentido y el

sentido opuesto Vale entonces hablamos por ejemplo de la velocidad que sería una magnitud vectorial la aceleración

también sería otra la vale no es lo mismo aplicar una fuerza de 10 newtons el efecto que produce no es el mismo si

la fuerza de de 10 newtons sobre un cuerpo la aplico en esta dirección y sentido que si lo hago en esta dirección

y sentido vale el efecto que produce es diferente vale por tanto por eso son importantes estas Este tipo de

magnitudes magnitudes vectoriales Entonces eso desde el punto de vista de la física ahora vamos a darle un

tratamiento más matemático más lo que hacemos en la asignatura de matemáticas entonces en matemáticas decimos que un

vector simplemente es un segmento de recta que está orientado vale por tanto es un segmento que queda determinado

mediante dos puntos vale si yo tengo un punto a y un punto B vale esto determina un segmento vale Este segmento lo puedo

orientar cómo lo oriento poniendo una flechita de esta manera entonces Aquí estaríamos hablando del vector AB vale

vector cuyo origen es el punto a y cuyo extremo es el punto B entonces eh claro este el segmento determinado por a y b

admite eh vectorialmente este sentido o también el sentido opuesto podría hablar del vector ba Vale entonces lo

importante es que cuando hablo de un vector es importante señalar que este queda perfectamente definido conociendo

tres elementos vale Y el primero de ellos es el módulo Qué representa el módulo de un vector pues simplemente es

lo que mide lo que mide ese vector vale sería la distancia que hay entre estos dos puntos entre el punto a y el punto B

vale Y el módulo de un vector si el vector lo representamos de esta manera vale el módulo en este caso se

representa así con dos barritas verticales cuidado no confundamos en módulo con valor absoluto Vale cuando

hablamos del valor absoluto es de un número real vale aquí Las barritas cuando están dentro de un vector se

refieren a su módulo que repito indica lo que mide vale en este caso sería la distancia entre los puntos a y b Pero

con esto como digo no es suficiente ante una magnitud vectorial decir simplemente su módulo no es suficiente por tanto hay

que hablar de otro elemento más Cuál es ese elemento adicional del que que tenemos que considerar la dirección

dirección de un vector la dirección del vector Cuál es pues simplemente la de la recta que une los puntos extremo y

origen y todas sus paralelas Claro en este caso Cuál es la recta que uno de los puntos a y b Pues sería esta recta

de aquí vale Por tanto la dirección de este vectores la de esta recta y como digo también todas sub paralelas todas

sub paralelas vale todas estas direcciones Son la misma Vale entonces ya tenemos módulo dirección y

necesitamos algo más algo más que es el sentido Pues bien cada dirección admite dos sentidos vale esta dirección eh

Tenemos aquí el vector AB que puede ir en este sentido sería el vector AB o también en el otro sentido sería el

vector ba ya no sería exactamente el mismo vector por tanto estos son los tres elementos que caracterizan y

definen a un vector en matemáticas adicionalmente en física existe un cuatro un cuarto elemento que es lo que

se conoce como el punto de aplicación porque no es lo mismo si el vector en este caso por ejemplo una fuerza por

ejemplo actúa sobre un punto que sobre otro vale si en este punto hay un cuerpo y yo ejerzo una fuerza con un

determinado módulo dirección y sentido esa misma fuerza con el mismo módulo dirección y sentido si la ejerzo en este

punto donde no está ese cuerpo el efecto que produce ya no es el mismo vale por tanto adicionalmente en física

tendríamos el punto de aplicación vale pero en matemáticas para nosotros los tres elementos que que definen y

caracterizan de forma única a un vector son el módulo la dirección y el sentido de manera que decimos que dos vectores

son son iguales cuando tienen el mismo módulo la misma dirección y el mismo sentido Por ejemplo Mirad Tenemos aquí

este vector el vector AB y este vector que estoy representando aquí aunque empieza en un punto diferente y acaba en

un punto diferente como este vector mide lo mismo que este lleva la misma dirección que es la de la recta que une

a y b y todas sus paralelas y lleva el mismo sentido que es de aquí hacia aquí de aquí hacia aquí pues decimos que este

vector y este vector son iguales vale esto en matemáticas se dice que los vectores son equipolentes vale

equipolentes quedaros con esa palabreja equipolentes equipolentes Aunque yo normalmente les digo Son vectores

iguales Entonces en este caso repito Aunque este vector y este vector tengan origen y extremos puntos diferentes son

vectores iguales vectores equipolentes porque miden lo mismo tienen el mismo módulo llevan la misma dirección y

llevan el mismo sentido por tanto si este vector le lo renombro y le llamo por ejemplo u y este vector le llamo por

ejemplo V Vale pues de aquí tenemos que el vector u es igual al vector V tiene el mismo módulo misma dirección y mismo

sentido por tanto esto es la introducción lo primero que tenemos que hablar de vectores Entonces vamos a

aborar un poco la pizarra y Seguimos avanzando un poco más bien una vez hemos definido matemáticamente lo que es un

vector Eh Pues ahora vamos a pasar a ver lo que nos gusta hacer con los elementos en matemáticas que es operar mediante

ellos Entonces vamos a definir una serie de operaciones en el primer caso en el primer paso lo vamos a hacer e definir

estas operaciones de manera gráfica luego ya pasar haremos a lo largo del vídeo más adelante a lo que sería las

expresiones analíticas vale Pero ahora Estamos trabajando gráficamente con vectores como segmento de de rectas

orientados Por tanto la primera operación que vamos a definir es cómo multiplicar un vector por un número o lo

que conocemos el producto de un escalar por un vector Entonces si tenemos un vector por ejemplo este vamos a

nombrarlo le llamo vector por ejemplo u fijaos que a la hora de nombrar un vector no tengo por qué nombrarlo

Mediante los puntos origen y extremo vale este vector así representado le puedo poner un nombre por ejemplo el

vector u entonces la cuestión es Qué pasa si ese vector lo multiplico por un número qué sentido qué sentido le

daríamos a ese nuevo vector Qué sería el vector por ejemplo 2 * u pues 2 * u simplemente va a ser un vector que va a

tener la misma dirección que el vector u el mismo sentido que el vector u y cuyo módulo va a ser el doble esto sería el

vector 2u sencillo verdad misma dirección mismo sentido y el módulo queda multiplicado por dos es un vector

Por así decirlo el doble de largo también podríamos hablar de no sé pues 3u 3 u Qué sería pues un vector tal como

este más o menos Y esto es el triple Vale pues esto sería el vector 3 por u pero también puedo multiplicar esto por

un número negativo o incluso también por una fracción vale o por cualquier tipo de número sin ningún problema Entonces

por ejemplo qué vector sería este de aquí pues este sería el vector menos u vale - u también llamos que eso es el

vector opuesto y este vector de aquí visto Así esto sería -2 por 1 pretende medir el doble misma dirección Pero

sentido opuesto por tanto en el caso de que multiplique un vector por un escalar qué es lo que ocurre con el módulo Pues

bien si yo tengo un vector u lo multiplico por un escalar por ejemplo k y yo quiero ver el módulo de este nuevo

vector Pues el módulo de este nuevo vector fijaos que va a ser valor absoluto de K mti por el módulo de u

fijaos que aquí las dos barras verticales tienen significados diferentes puesto que aquí dentro hay un

vector Las barritas verticales en este caso quiere decir módulo esto es un vector Las barritas verticales quiere

decir módulo esto es un escalar es un numerito las barrit verticales quiere decir valor absoluto de manera que si

por ejemplo yo tengo el vector 2 por u su módulo será módulo de valor absoluto de 2 que es 2 por el módulo de u vale si

tengo el vector -2 por u eh su módulo el módulo de ese vector será valor absoluto de -2 que es 2 multiplicado por el

módulo de I de módulo de u por tanto eh repito que cuando multiplico un vector por por un escalar el módulo queda

multiplicado por el valor absoluto de ese de ese escalar luego respecto a la dirección va a tener la misma

dirección como vemos aquí todos estos vectores que a partir del vector u estoy multiplicando por un numerito todos los

vectores que que se están formando Aquí tienen exactamente la misma dirección por tanto si yo tengo un vector y quiero

generar un vector con la misma dirección tan solamente tengo que multiplicar ese vector por un escalar por el escalar que

yo quiera y Ya tendré un vector que es eh que lleva la misma dirección que es un vector Paralelo que decimos vale Y

luego faltaría ver qué ocurre con el sentido Pues el sentido del nuevo vector que se forma al multiplicarlo por un

escalar depende del depende del signo del número por el cual multiplico es decir si el número K es positivo Pues el

vector mantiene el mismo sentido si el número K es negativo el vector cambia de sentido y de esta manera ya tendríamos

perfectamente definida a nivel gráfico luego ya veremos a nivel analítico de coordenadas y demás cómo sería la

multiplicación de un vector por un escalar Qué es lo siguiente que vamos a ver siguiente operación pues vamos a ver

cómo se suman vectores vale para lo cual Necesito otra vez espacio y voy a borrar la pizarra bien Vamos a ver ahora la

suma Cómo se suman vectores Entonces vamos a verlo de la manera más lógica posible y se me ocurre mediante eh un

ejemplo de de la física vale Voy a verlo mediante una composición de dos movimientos y así Vais a ver la el

sentido que tiene eh De la manera que definimos la suma entonces imaginad la siguiente situación tengo por ejemplo

una Barca que se mueve con una cierta velocidad con un cierto vector velocidad que le voy a llamar por ejemplo

v1 esta v1 representa la velocidad de La Barca pero en el río en el cual se está moviendo esta Barca Pues también actúa

actúa otra velocidad que es la de la corriente del agua supongamos que la velocidad de la corriente lleva esta

dirección por tanto aquí tendríamos una nueva velocidad que sería v2 v2 sería la velocidad de la corriente claro qué es

lo que ocurre en este caso puesto que la barca se mueve en esta velocidad eh se mueve en esta dirección mediante esta

velocidad y la corriente del agua se mueve en esta dirección mediante esta velocidad lo que realmente ocurre Es que

la barca en realidad no se mueve en esta dirección Cuál será la dirección en la cual se va a mover la barca Pues yo creo

que no cuesta mucho imaginar que la dirección se era esta por tanto esto sería el nuevo vector el vector

velocidad real de La Barca bien y este nuevo vector velocidad que estamos obteniendo vr pues es precisamente la

suma de estos dos vectores v1 + v2 por tanto fijaos qué sentido le damos a la suma de vectores Mirad si tengo dos

vectores y los pretendo sumar realmente el vector suma lo que representa es la diagonal del paralelogramo que forman

estos dos vectores Mirad estos dos vectores formarían el siguiente paralelogramo lo veis el siguiente

paralelogramo de manera que el vector suma representa la diagonal de ese paralelogramo vale Así que quedaros con

esto y meteros esto en la cabeza la suma de dos vectores geométricamente gráficamente es la diagonal del

paralelogramo que forman esos dos vectores Entonces vamos a borrar y lo vemos bien Es decir si yo tengo un

vector por ejemplo u y quiero sumarlo con un vector por ejemplo u V pues hago coincidir el

extremo de un vector con el origen del siguiente los acomodo de la manera que a mí me res resulta conveniente por

ejemplo er decir el vector V no tiene por qué estar ubicado de esa manera vale imaginamos que el vector u es este y

pretendo sumarlo con el vector V que es este de aquí entonces si quiero hacer la suma gráfica de estos dos vectores pues

lo que hago es trasladarme este vector aquí vale de manera que el extremo del primer vector coincida con el origen del

segundo y este vector de aquí por qué es el mismo vector V que tengo aquí abajo recordad Pues porque tiene el mismo

módulo lleva la misma dirección y el mismo sentido por tanto los hago coincidir de la siguiente manera

entonces a partir de aquí lo que hago es construirme un paralelogramo vale un paralelogramo con estos vectores trazo

aquí La paralela aquí La paralela y la diagonal de este paralelogramo esta diagonal que tenemos aquí esto sería

como digo el vector suma vale vector u + v repito la suma de dos vectores es la diagonal del paralelogramo que forma los

dos vectores pero claro ahora también me puedo plantear la resta vale Y si quiero restar dos vectores gráficamente que

sería u - v Vale pues restar recordad que esto es lo mismo que sumar el opuesto hacer la resta es lo mismo que

sumar el opuesto por tanto sería a u sumarle el vector - V claro quién es el vector - V pues este es el vector v - v

es el puesto es el vector que lleva esta dirección esto sería - V si ahora quiero sumar estos dos vectores de nuevo tendré

que formar un paralelogramo vale un paralelogramo entre este vector y este vector hago el paralelogramo Aquí lo

tengo de manera que el vector u - v será la diagonal de ese paralelogramo en ese caso sería este de aquí esto sería u - v

pero es que este vector además es el mismo que este vale es el mismo que este de aquí este de aquí vale por tanto en

realidad el vector resta vale la resta de dos vectores que representa geométricamente pues la diagonal La otra

diagonal del mismo paralelogramo por tanto ya tenemos la suma y la resta perfectamente definidas y estamos ya en

disposición de hablar de uno de los conceptos más importantes sobre vectores y que le da fundamento a prácticamente

lo que resta del vídeo y ese concepto es la combinación lineal de dos vectores vale que Qué quiere decir la combinación

lineal una combinación lineal de dos vectores para lo cual voy a borrar que necesito espacio y lo vemos

tranquilamente bien como decía uno de los conceptos más importantes combinación lineal de dos vectores Vale

entonces imaginemos que tenemos dos vectores u y v y estos dos vectores los voy a multiplicar cada uno de ellos por

un escalar vale por un Nito imaginamos que el vector u lo multiplicamos por un escalar a y el vector V por otro escalar

por ejemplo b y una vez tenemos estos dos nuevos vectores que se forman vamos a sumarlos de manera que aquí se me ha

formado un nuevo vector vale a * u es un si u y v son vectores a * u es un nuevo vector B por V es un nuevo vector y la

suma de dos vectores es un nuevo vector este vector lo vamos a nombrar por ejemplo W de manera que decimos y muy

importante esto decimos que el vector W es combinación lineal de u y de V esto quiere decir que el vector W se forma a

partir de u y v simplemente multiplicando esos dos vectores por dos numeritos y sumando el resultado vale

importantísimo esto combinación lineal de dos vectores eh geométricamente gráficamente esto qué es lo que quiere

decir pues imaginad que tenemos que el vector u es por ejemplo este de aquí y el vector V es por ejemplo este de aquí

Entonces vamos a ver gráficamente que representa el vector W entonces aquí tengo ahora a partir del vector u tengo

que formar el vector a * u qué ocurre si un vector lo multiplico por un numerito pues obtengo un nuevo vector que lleva

la misma dirección la misma dirección y llevar el mismo sentido o no dependiendo del signo de ese numerito por el cual

multiplico vale Y el módulo pues hará que el vector sea más largo o más corto según el valor del número por el cual

estoy multiplicando entonces supongamos que estoy multiplicando el vector u por un número mayor que uno imaginemos que

este número a es por ejemplo 2 o 2 y Med 3 lo que sea tendría el vector como digo lleva la misma dirección el mismo

sentido porque ese número sería positivo eh Y el módulo Pues sería mayor en este caso vale por tanto el vector a por u

sería este del mismo modo B por V si el vector V lo multiplico por un número el número el número repito puede ser eh

mayor que uno de manera que el vector B por V sería un vector tal como este podría ser un número entre 0 y 1 vale si

fuese un número entre 0 y 1 por ejemplo 1/2 pues el vector B por V sería este de aquí o incluso este número podría ser

Negativo si el número es negativo el vector B por V llevaría este sentido la misma dirección Pero sentido sentido

opuesto de manera que tengo aquí a * u y b * V si ahora quiero sumar estos dos vectores qué es lo que voy a hacer pues

construir de nuevo el paralelogramo si construyo el paralelogramo Espero que me haya quedado bien paralelas las rectas

el vector este que tenemos de aquí esto sería eh pores la suma no a por u + b por u esto sería el vector W Entonces el

vector W A partir de los vectores u y v lo obtenemos de esta manera entonces eh A mí me gusta decir coloquialmente que

cuando un vector lo creo Como combinación lineal de otros dos vectores lo que estoy haciendo es como hacer como

una especie de mezcla de esos dos vectores vale sería algo así como decir que el vector W es una mezcla

entendiendo por mezcla como una suma de dos vectores u y v vale de dos vectores u y v los estoy mezclando y las

cantidades en las cuales estoy mezclando esos vectores vienen dados por estos dos numeritos a y b de la combinación lineal

Entonces el vector W puede ser este podría haber sido más largo más corto llevar esta dirección llevar esta otra

llevar esta dirección llevar esta otra y si voy cambiando ese vector Irán cambiando estos numeritos los vectores u

y v son fijos y en función de estos numeritos por los cuales multiplico para luego sumar el nuevo vector W Pues lleva

una dirección lleva otra dirección la que sea pero importante este concepto decimos que un vector es combinación

lineal de dos vectores y puedo expresarlo de la siguiente manera el primer vector por un numerito más el

segundo vector por otro numerito bien como podemos ver en esta animación que tenemos en geogebra los vectores u y v

son fijos Y tenemos ahí un par de deslizadores a y b que son unos valores variables que conforme van cambiando

pues se va generando un vector W diferente como producto de a * u + b * V entonces ahí tenemos para entender

gráficamente Qué es lo que está pasando cuando variamos esos numeritos Vale entonces si esto lo tenemos claro esto

nos va a llevar ahora a uno de los conceptos más importantes vale siempre voy a ir diciendo que todo esto es muy

importante que es el concepto de base vale Qué es una base de vectores Y a partir de ahí vamos a hablar ya de las

coordenadas de un vector y cuando hable de las coordenadas de un vector eso ya me va a permitir trabajar con los

vectores olvidar un poco la parte gráfica y ya trabajar de una manera un poco más analítica que es el tratamiento

habitual que damos a las cosas en matemáticas por tanto como digo vamos a hablar ya del siguiente concepto que es

qué es una base de vectores bien cuando estamos en dos dimensiones es decir en r2 en el plano decimos que dos vectores

que no son paralelos forman una base y ahora veremos Por qué es importante que sean no paralelo pero si fuesen

paralelos ocurre otra cosa meteros esto en la cabeza dos vectores que no son paralelos se dice que forman una base

vale eso solo vale En el caso de que esté en r2 si estuviese en el espacio o en r3 o o en espacios de dimensiones

superiores esto ya habría que tratarlo de una manera más cuidadosa más detallada vale Pero si estoy en r2 en

dos dimensiones en el plano con dos vectores que sean no paralelos decimos que forman una base segunda cuestión muy

importante una vez Tengo dos vectores que forman una base dos vectores no paralelos que forman una base si

considero un tercer vector el que sea seguro que lo voy a poder expresar como combinación lineal de esos dos vectores

de la base y esto que acabo de decir que acabo de escribir es lo que le da fundamento a todo a todo esto bien si

tenemos los dos vectores u y v que forman base por ejemplo este podría ser el vector u y este ser el vector V

forman base porque no son paralelos cualquier otro vector que se os ocurra un tercer vector por ejemplo este seguro

Seguro seguro que lo voy a poder expresar como mezcla vale como mezcla lo digo así coloquialmente o como

combinación lineal de estos dos vectores y lo vamos a justificar Mirad muy sencillo este vector que lo tengo aquí

lo puedo reubicar y colocarlo de esta manera verdad este vector de aquí es el mismo vector W vale Por qué es el mismo

vector W Pues porque puesto que mide lo mismo ti el mismo módulo la misma dirección y el mismo sentido vale lo

reub de forma conveniente como a mí me conviene Entonces ya os digo que este vector W lo puedo ver como combinación

lineal de estos dos y lo voy a justificar de la siguiente manera Mirad voy a hacer aquí una prolongación aquí

una prolongación aquí ahora voy a trazar una paralela de esta forma y aquí una paralela de esta forma de forma que aquí

se me genera un nuevo vector este de aquí y este vector de aquí Quién es pues este es el vector u multiplicado por un

numerito vale por ejemplo por un número a esto sería a * u de forma que aquí también se me genera otro vector y este

vector que se está formando aquí Quién es pues es el vector V multiplicado por un numerito de manera que el vector W

que representa la diagonal del paralelogramo que forman este vector y este vector por tanto eso qué quiere

decir eso quiere decir que el vector W es igual a a * u + b * V es decir el vector W es combinación lineal de u y de

V es decir si u y v forman una base son dos vectores no paralelos cualquier tercer vector que se te ocurra lo puedes

expresar como combinación lineal de de esos dos vectores será aquí considerar otro nuevo vector el que fuese Pues no

sé por ejemplo un vector como este seguro que este vector lo puedo expresar como como otra combinación lineal

diferente de los vectores u y v Entonces por qué digo importante que para que foren los vectores una base eh No no eh

No tienen que ser paralelos por lo siguiente Mirad eh si yo tengo dos vectores que no son paralelos que son

paralelos por ejemplo este y este si esto es u Y esto es V cualquier combinación lineal de estos dos vectores

vale por ejemplo a * u + b por V va a ser un vector que va a llevar esta misma dirección el nuevo vector a * u + b por

V vale llevaría esta dirección a por u lleva la dirección de este vector B por V lleva la dirección de este vector que

son la misma y la suma de dos vectores que son paralelos lleva la misma dirección por qué decimos en este caso

que estos dos vectores no forman una base pues no forman una base porque eso impediría que si ahora yo considero un

vector tal como este este vector seguro que va a ser imposible expresarlo como combinación lineal de estos dos vectores

por qué porque todas las combinaciones lineales de estos dos vectores que son paralelos son vectores que se generan en

esta dirección y este vector W no lleva esta dirección por tanto este vector W sería totalmente imposible expresarlo

como combinación lineal de estos dos vectores que son paralelos por tanto como La idea es que cualquier vector lo

pueda expresar como combinación lineal de otros dos vectores cualquier vector poder expresarlo como combinación lineal

eh de dos vectores es necesario es imprescindible que esos dos vectores no sean paralelos porque así puedo generar

cualquier vector del plano momento que yo tengo en dos dimensiones dos vectores que no son paralelos forman una base y

cualquier vector se puede generar como mezcla de esos vectores por tanto esto muy muy muy importante y esto nos va a

llevar ahora al siguiente paso paso que es hablar de las coordenadas de un vector para lo cual voy a hacer una

representación muy chula con la que espero que quede perfectamente claro bien supongamos que tenemos estos dos

vectores u y v que como no son paralelos forman una base Vale entonces ahora vamos a considerar una combinación

lineal de estos dos vectores por ejemplo el vector W Llamar W Pues un vector que sea pues no sé por ejemplo 2 * u + 3 por

V Vale y vamos a representar gráficamente Quién es ese vector vale 2 * u + 3 * V si este es el vector u Quién

es el vector 2u Pues el vector 2 u será este de aquí parte de aquí y termina aquí vale esto sería el vector 2u si

este es el vector V el vector 3v sería este que estoy marcando aquí parte de aquí y termina aquí vale de manera que

ahora tengo que hacer la suma de este vector y este vector Entonces es la diagonal del paralelogramo que forman

estos dos vectores el paralelogramo que forman este vector y este es este que estoy trazando aquí vale de manera era

que la suma la suma de esos dos vectores en la diagonal del paralelogramo sería este vector que tenemos aquí vale Este

de aquí que estoy representando naranja sería el vector eh W Vale entonces este vector W que tengo aquí representado

está se puede expresar como combinación lineal como digo de los vectores u y v y además esa combinación lineal es única

vale solamente existen dos numeritos eh de manera que eh A partir de esos dos numeritos y los dos vectores u y v puedo

generar este vector de aquí entonces muy importante y aquí viene el concepto clave estos dos numeritos estos dos

numeritos Mediante los cuales estoy mezclando los vectores u y V para para obtener el vector W decimos que son las

coordenadas del vector V en la base que forman estos dos vectores vale tenemos una base B formada por los vectores u y

v la base le llamo B entonces eh 2 3 2 3 esos dos numeritos 2 3 serían las coordenadas de este vector W en la base

B formada por los vectores u y v y eso nosotros lo representamos de la siguiente manera en matemáticas esto lo

representamos así entre paréntesis separado por una coma los dos numeritos de la combinación lineal y aquí pongo

una barra vertical B esa B quiere decir la base en la cual estamos trabajando por tanto el vector W tiene como

coordenadas 2 3 en la base formada eh Por los vectores u y v y claro yo aquí podría considerar otro vector Pues no sé

el vector yo que sé eh el vector a por ejemplo que fuese Pues no sé - u + 2v vale -2 + 2v Quién

sería ese vector - u + 2v Pues si el vector u lo tenemos aquí representado - u es este de aquí y 2v sería este vector

de aquí vale de manera que ahora tenemos que sumar este vector y este vector dando lugar al vector que estoy

representando vale Y este vector que estoy representando aquí es el vector que hemos llamado a vale de manera que

Cuáles son las coordenadas de este vector Cuáles son las coordenadas de este vector Pues sería -1 2 vale las

coordenadas en esa base B importante señalar importante señalar que un mismo vector un vector como este que tiene

como coordenadas 2 3 en esta base formada por estos dos vectores si ahora Cambio de base seora considero otra base

otra base de de dos vectores en el plano decir simplemente considero dos vectores que no sean paralelos los que sean

repito que será cambio de base las coordenadas del vector cambiarían siempre que hablamos de las coordenadas

de un vector siempre siempre siempre están referidas a una base vale por eso he puesto aquí que esto es 2 3 en esta

base repito que si cambio la base por otra ahora considero dos vectores diferentes en vez del vector u que sea

este y este el vector V Pues no sé que el vector u sea por ejemplo este de aquí este de aquí y el vector V que sea por

ejemplo este que tengo aquí aquí entonces este vector W también lo podría expresar como combinación lineal de este

y de este pero esa combinación lineal sería diferente a la que tengo aquí Vale entonces si esa combinación lineal es

diferente Qué quiere decir que las coordenadas de ese mismo vector en la otra base van a ser diferentes por tanto

siempre que hablemos de coordenadas de un vector siempre van a ir referidas a una base Cuál es la base en la que vamos

a trabajar nosotros eh si no se dice lo contrario pues una base muy concreta que os voy vo a describir ahora en cuanto

borre la pizarra bien vamos a dar un par de definiciones previas que necesitamos hemos dicho que dos vectores no no

paralelos forman una base Pues bien cuando estos vectores eh son eh ortogonales entre sí vale ortogonales es

lo mismo que perpendiculares es decir que forman 90 gr entonces decimos que la base es ortogonal vale una base

ortogonal es una base en la que los dos vectores son perpendiculares Por ejemplo si tengo un vector como este y un vector

como este forman una base porque no son paralelos y como forman 90 gr decimos que esta base es ortogonal pero también

podríamos tener otra base este vector podría ser un poco más corto el otro un poco más largo y esta base seguiría

siendo ortogonal de hecho esta base sería diferente puesto que los vectores son diferentes por tanto base ortogonal

base en la que los dos vectores son perpendiculares entre sí bien si además esos vectores son unitarios y antes se

me ha olvidado decir pero un vector unitario es aquel vector cuyo módulo es uno decimos que si los dos vectores de

la base son unitarios además de ser perpendiculares entre sí la base es ortonormal vale Así que nos quedamos con

estos dos nombres ortogonal y ortonormal entonces una vez tenemos eso claro ahora ya vamos a definir la base

en la cual vamos a trabajar Entonces nosotros vamos a trabajar en una base ortonormal muy concreta que es lo que

llamamos la base canónica y os la voy a representar y ahora ya entendemos qué es lo que significa esto bien pues este es

el sistema de referencia con el que vamos a trabajar tenemos el eje cartesiano x de toda la vida y el eje I

entonces eh considerando estos dos ejes eh de coordenadas podemos considerar aquí un par de vectores un par de

vectores con los que voy a trabajar y los vectores con los que voy a trabajar son este de aquí que es un vector cuyo

módulo es 1o vale esto de aquí es el punto 10 vale por tanto este vector que tenemos aquí es un vector unitario

puesto que tiene módulo uno y vamos a trabajar también con este otro vector que también es unitario y que lleva la

dirección del eje y vale la dirección positiva del eje x la dirección positiva del eje y Y estos vectores tienen unos

nombres concretos vale el vector unitario en la dirección positiva del eje I vale Perdón del eje x se le llama

I minúscula y el vector unitario en la dirección positiva del eje y se llama J Entonces estos dos vectores forman una

base forman una base puesto que son vectores no paralelos esta base es ortogonal esto los dos vectores son

perpendiculares entre ellos y además es ortonormal vale porque son unitarios tienen módulo Uno Vale por tanto esta

base ortonormal decimos que es la base canónica vale es la base ortonormal cuyos vectores llevan las direcciones

positivas de Los ejes de coordenadas Esta es la base canónica y si no se dice lo contrario Esta es la base en la que

vamos a trabajar vale para nosotros lo cómodo es trabajar con un sistema cartesiano eh de toda la vida en el que

los ejes son perpendiculares vale de manera que eh Por ejemplo si ahora yo considero aquí un vector u por ejemplo

que sea pues no sé por ejemplo 3i + 2j vamos a representar ese vector Quién sería 3i + 2j Vale pues 3i si esto es I

3i sería este vector que llegaría hasta aquí y Quién sería el vector 2 J Pues 2j sería el vector que partiría del origen

y llegaría hasta aquí y ahora tengo que hacer la suma de estos dos vectores tengo que hacer la diagonal del

paralelogramo que forman estos dos vectores formo el paralelogramo en este caso el paralelogramo es un rectángulo

pues que los vectores son perpendiculares de manera que el vector en cuestión el vector u sería este que

tenemos aquí bien si esto Ahora lo expresamos en coordenadas vale eh con sus coordenadas como toca esto sería el

vector 32 en esta base en la base formada por estos dos vectores que en este caso

fijaos que ya no lo voy a indicar que estoy trabajando en esa base en la base canónica porque repito que si no se dice

lo contrario la base en la que yo voy a trabajar va a ser siempre la canónica por tanto el vector este en coordenadas

sería en la base canónica sería el vector 32 y aquí ya viene una cosa muy importante muy muy muy importante en la

que tenemos que empezar a diferenciar dos cosas que se expresan igual pero que representan elementos diferentes vale

Mirad yo tengo el vector u que lo he partido del origen de coordenadas y ha terminado aquí parte del origen de

coordenadas del punto o y termina en este punto que le voy a llamar p la cuestión es qué coordenadas tiene este

punto p Pues yo creo que no es muy difícil observar que el punto p tiene como coordenadas 3 de la x 2 de la i es

decir el punto extremo de este vector que empieza en el origen tiene como coordenadas 32 claro eh este vector u

que trazado aquí que empieza en el origen y termina en ese punto p tiene como coordenadas

32 entonces aquí fijaos que están apareciendo dos elementos que son comunes en algo diferente vale porque

hablamos de las coordenadas de un pero también Hablamos de las coordenadas de un vector y de hecho este vector y

este punto Tienen las mismas coordenadas pero claro una cosa es un punto y otra cosa es un vector Son

elementos geométricos diferentes así que muy importante muy importante el significado de cada cosa un punto en

realidad lo que indica es posición vale el punto p indica una posición en un punto concreto del

plano sin embargo un vector No indica posición Solo que a cada punto a cada punto yo le puedo asignar un vector de

posición que sería el vector que parte del origen de coordenadas y termina en ese punto Por así decirlo diríamos que

el vector u es el vector de posición del punto p pero no olvidemos una cosa el punto p es un punto y Esto indica una

posición en cambio un vector indica algo diferente un desplaz un punto es algo fijo un vector es algo

Dinámico que indica un desplazamiento y Es más voy a Añadir más si estamos trabajando en una base

ortogonal en una base ortogonal como es esta las coordenadas de un vector lo que indican En definitiva es cuánto me

desplazo en horizontal Y cuánto me desplazo en vertical para ir del origen al extremo olvidémonos aquí de Los ejes

y demás y me voy a centrar en este vector ese y me lo dibujo aquí aparte otra vez vale el vector u que es este de

aquí y ahora voy a hacer lo siguiente Yo sé que este vector tiene como coordenadas 32 vale Qué quiere decir que

ese vector tiene como coordenadas 32 Pues eso quiere decir que para ir del origen al extremo he avanzado tres

unidades en horizontal y he avanzado dos unidades en vertical pero aquí estas coordenadas no indican posición como tal

porque claro este vector siendo el mismo que este fijaos que empezaría en un punto diferente vale este punto ya no es

el origen de coordenadas el origen de coordenadas está aquí y este punto no es el origen de coordenadas y este punto de

aquí no es el punto p sin embargo este vector y este Son equipolentes son el mismo vector empezando en punto

diferente Y acabando en punto diferente el vector es el mismo pero repito que la eh las coordenadas del punto indican las

coordenadas de una posición concreta en cambio las coordenadas de un vector indican el desplazamiento horizontal y

el desplazamiento vertical para ir del origen a al extremo por eso siendo coordenadas ambas cosas representan

cosas diferentes Esto indica posición Esto indica movimiento luego Aparte está que a cada vector a cada punto le puedo

asignar un vector de posición pero eso es otra otra cuestión así que muy muy muy importante entonces una vez tenemos

ya eh las coordenadas de un vector esto ya nos va a permitir definir todas estas operaciones que hemos visto antes como

el producto de un escalar por un vector y la suma de vectores la vamos a poder definir ya de una manera analítica que

es la manera con la que luego vamos a trabajar en todos los ejercicios de vectores que vamos a ver vale Así que

voy a borrar la pizarra y pasamos a ver las operaciones con vectores ya mediante coordenadas bien Vamos a verlo con un

ejemplo y luego ya lo generalizamos para un caso cualquiera vale tenemos los vectores eh u y v u de coordenadas 1 2 V

de coordenadas 31 como no se dice lo contrario estamos en la base canónica vale Y entonces vamos a ver cuáles son

las coordenadas del vector suma entonces para ello lo vamos a ver primero gráficamente con lo que hemos definido

al principio del vídeo Vale entonces voy a representar el vector vector 1 2 vale el vector 1 2 Pues sería un vector tal

como este este de aquí vale vector que empezaría por ejemplo en el origen de coordenadas y terminaría aquí bien este

sería el vector u vale Y ahora a continuación lo quiero sumar con el vector 31 Vale entonces para hacer la

suma gráfica lo cómodo es que el extremo de un vector eh coincida con el origen del otro vector vale Qué quiere decir el

vector 31 vale vector 31 quiere decir que para para ir del origen a su extremo avanzo tres en horizontal y uno en

vertical bien si avanzo tres en horizontal y parto de este punto vamos a llegar hasta este punto de aquí y si

ahora avanzo uno en vertical subo uno hacia arriba llegaré hasta aquí lo veis ahora trazo este vector y este de aquí

va a ser el vector V lo veis para ir de aquí a Aquí he avanzado tres unidades en horizontal y una en vertical que es lo

que representan En definitiva las coordenadas de de un vector Vale entonces si este es el vector u y este

es el vector V sabemos por lo que hemos dicho al principio que la suma de dos vectores será la diagonal del

paralelogramo por tanto el vector suma empieza donde empieza el vector u y termina donde termina el vector V vale

sería este vector que tenemos aquí y entonces ahora vamos a ver gráficamente cuáles son sus coordenadas vale esto

sería como digo el vector repito u + v qué coordenadas tiene este vector pues vamos a ver para ir del origen al

extremo cuánto hemos avanzado en horizontal en horizontal hemos avanzado hemos ido desde aquí hasta aquí esto es

1 2 3 cuatro unidades Hemos llegado hasta aquí hemos avanzado de aquí a aquí cuatro unidades en horizontal y en

vertical cuánto para ir desde aquí hasta aquí arriba he subido tres unidades en vertical por tanto las coordenadas del

vector u + v estáis de acuerdo conmigo que son 43 Por tanto la cuestión es una vez tenemos esto claro De dónde s este

43 a partir del vector 1 2 y 3 1 Pues yo creo que no es muy difícil observar no que la suma de dos vectores se obtiene

sumando coordenada coordenada la x con la x y la y con la y 1 + 3 4 2 + 1 3 es es decir en general si yo tengo un

vector u de coordenadas u sub1 u sub2 y un vector V de coordenadas v1 v2 el vector suma u + v va a tener como

coordenadas la coordenada x va a ser u1 + U2 la coordenada i va a ser v1 + v2 lo veis de esta manera ya

tenemos como analíticamente con coordenadas podemos sumar dos vectores lo cual es bastante bastante lógico vale

una vez esto lo tenemos claro ahora vamos a ver la siguiente operación de la que hemos hablado antes que era Cómo

multiplicar un vector por un escalar vale Así que vamos a borrar y lo vemos bien supongamos que tenemos el vector 21

de coordenadas 21 que voy a representar tendríamos un avance de dos en horizontal y uno en vertical vale de

manera que el vector este sería este que estoy trazando aquí este sería el vector u imaginemos que ahora este vector lo

que quiero multiplicar por por un número vale por ejemplo por dos vale vamos a representar el vector 2u Entonces el

vector 2u sería un vector que llevaría la misma dirección que este el mismo sentido puesto que al multiplicar por

dos el ser positivo mantiene el sentido y el módulo sería el doble vale por tanto yo creo que estaréis de acuerdo

conmigo que el vector en cuestión va a ser este de aquí empezaría aquí y terminaría aquí esto sería el vector

como digo 2 por u empieza aquí y termina Aquí bien la cuestión si he hecho eso si hago esto que estoy representando aquí

qué coordenadas tendrá este vector empieza aquí y termina aquí cuánto hemos avanzado en horizontal para ir desde

aquí hasta aquí pues yo creo que no es muy difícil observar que llegamos aquí hasta el punto 4at y aquí llegamos hasta

el punto dos por tanto el vector 2u qué coordenadas tiene si empiezo aquí termino Aquí he avanzado cuatro en

horizontal y dos en vertical vale por tanto estamos hablando del vector 4 do por tanto si yo tengo un un vector y lo

multiplico por un escalar eso En qué se traducen las coordenadas pues simplemente que el escalar ha de

multiplicar a cada una de las coordenadas es decir en general si yo tengo un vector u de coordenadas u sub1

u sub2 el vector K * u el vector K * u que va a ser un vector paralelo simplemente se obtiene multiplicando por

K cada una de las coordenadas está claro y de esta manera pues ya tendríamos la forma de obtener Esto entonces fijaos

que cuando tengo dos vectores que son paralelos que son paralelos que va la misma dirección lo que ocurre es que sus

coordenadas son proporcionales Y esto es muy útil muy interesante para comprobar Luego si dos vectores son paralelos y

esto se se veen muchos ejercicios de geometría analítica simplemente tengo que ver si las coordenadas de los

vectores son o no proporcionales vale En el caso de que las coordenadas de los vectores sean proporcionales decimos que

los vectores llevan la misma dirección o que son paralelos Vale entonces esto ya lo tenemos visto ya hemos visto las

operaciones fundamentales Cómo serían con coordenadas Y entonces vamos a ver lo siguiente entonces para ello voy a

borrar y y avanzamos bien Cuál es el siguiente paso que vamos a dar pues vamos a hacer un ejercicio para poner en

práctica todos los conceptos que hemos visto hasta ahora vale el ejercicio dice lo siguiente vamos a calcular las

coordenadas del vector W que tiene como coordenada 97 en la base formada por los vectores u y v entonces importante Mirad

el vector W tiene estas coordenadas En qué base como no se dice lo contrario Esto está en la base canónica Vale

entonces las coordenadas de este vector en la base canónica eh Son 97 Eso quiere decir que el vector W esto es 9 * I vale

+ 7 * J pero lo que me está pidiendo El ejercicio es que de las coordenadas de este vector en la base no la formada por

I y por J sino la formada por estos dos vectores Entonces lo primero que deberíamos hacer es comprobar que

efectivamente los vectores u y v forman una base y eso es tan sencillo eh Como comprobar como observar que los vectores

u y v no son paralelos Y estos dos vectores Yo veo que no son paralelos por lo que hemos dicho hace un momento

porque sus coordenadas no son proporcionales yo est yo estoy observando que las coordenadas de este

vector y este no son proporcionales es decir si yo divido 1 / 3 vale 1 / 3 me sale distinto así divido -1 / 5 Entonces

como las coordenadas no son proporcionales quiere decir que estos dos vectores no son paralelos por tanto

forman una base bien entonces ahora lo que quiero es calcular las coordenadas de este vector W en esta base entonces

eh si u y v forman una Base El vector W lo puedo expresar como combinación lineal de u y de V Eso quiere decir que

el vector W lo puedo expresar de la siguiente manera como un numerito por ejemplo a multiplicado por u más otro

numerito por ejemplo B multiplicado por V vale eso es lo que quiere decir que el vector W lo puedo expresar como

combinación lineal de u y de v y estos dos numeritos que obtenga aquí van a ser las coordenadas del vector W en la base

que forman u y v vale Y aquí el objetivo ahora es calcular esta y esta B que precisamente como digo Serán las

coordenadas Entonces cómo hacemos esto pues fijaos muy sencillo venga Quién es el vector W el vector W tiene como

coordenadas 97 en la base canónica Esto va a ser igual a a por las coordenadas del vector u que son 1 - 1 También en la

base canónica vale Estas son las coordenadas de este vector en la base canónica y esto más B multiplicado por

el vector V cuyas coordenadas son 35 en la base canónica Entonces qué es lo que me queda aquí fijaos aquí tengo 97 esto

es igual a Y qué operación matemática tengo aquí tengo el producto la multiplicación de un escalar por un

vector y ya hemos visto hace un momento vale que para multiplicar un numerito por un vector este numerito multiplicaba

cada una de las coordenadas vale eso ya lo hemos visto hace un momento por tanto Aquí tengo a por 1 que es a y a por -1

que es - a y ahora más y aquí lo mismo el número B multiplicado por el vector 35 aquí obtengo 3b 5b vale de manera que

aquí a la izquierda tengo el vector 97 esto es igual a Y qué me queda aquí una suma de qué de dos vectores y ya hemos

visto que dos vectores se sumaban sumando la x con la x y la y con la y de manera que me queda la coordenada x será

a + 3b y la coordenada y será - a + 5b de manera que aquí finalmente qué me queda un vector igual a otro vector para

que dos vectores sean iguales han de ser iguales sus coordenadas esto tiene que ser igual a esto y esto tiene que ser

igual a esto es decir se ha de cumplir que a + 3b sea igual a 9 y se ha de cumplir también que - a + 5b sea ig a 7

y qué tenemos aquí Pues un sistema de ecuaciones Vale entonces esto ya pues lo resolvemos rápidamente sumo las

ecuaciones aquí las a se cancelan y tengo 3b + 5b pues esto es 8b y aquí 9 + 7 que son 16 vale por tanto de aquí ya

se deduce que B Es 16 / 8 2 ya tenemos que B es ig a 2 despejamos de aquí a Vale pues a es = 9 - 3b vale 9 - 3b

sería 9 - 3 * 2 esto es igual a 3 vale por tanto a es ig a 3 por tanto esto qué es lo que quiere decir fijaos acabo de

comprobar que W es igual tres veces el vector u más dos veces el vector V Entonces esto qué es lo que quiere decir

pues que las coordenadas del vector W son 32 en la base B formada por esos dos vectores u y v que es lo que me pedía el

ejercicio Calcula las coordenadas de W en la base formada por estos dos vectores vale Y no perdamos de vista

también lo que os decía que el vector W tal y como me lo daba el ejercicio puesto que sus coordenadas será 97 en la

canónica esto era 9i + 7j vale por tanto esto son las coordenadas 97 Pero en otra base en qué base en la

formada por los vectores i j cuando no me dicen nada todo esto no hace falta para que lo escribas si a mí me dicen el

vector 97 yo ya sobre entiendo que estamos trabajando en esta base Pero con esto lo que os quiero decir y es lo

importante es que las coordenadas de un vector eh son diferentes de una base a otra la base nos marca como el sistema

de referencia en el cual estamos trabajando por tanto no es lo mismo trabajar en un sistema de referencia

formado por estos dos vectores eh que son unitarios y perpendiculares entre sí a estos dos que en un principio no son

perpendiculares y tampoco son son unitarios vale estamos trabajando con un sistema de referencia diferente por

tanto el mismo vector W eh tiene 3du y 2dv pero es que al mismo tiempo tiene 9 de I y 7 de J vale por eso las

coordenadas son diferentes siendo el mismo vector porque estamos cambiando el sistema de referencia al trabajar de una

base a otra Así que este ejercicio es de los clásicos de los importantes para entender eh bien los conceptos pues una

vez esto lo tenemos Claro Si no me falla la memoria creo que ahora vamos a pasar a hablar de una de las operaciones más

importantes con vectores que es el producto escalar vale Así que voy a borrar y os lo confirmo bien como decía

vamos a empezar a hablar de uno de los conceptos claves de este vídeo que es el producto escalar de dos vectores y todas

las repercusiones que esto va a tener como vamos a ver a continuación Entonces lo primero de todo que nos llame la

atención producto escalar producto escalar de dos vectores tengo dos vectores por ejemplo u y v estoy

hablando del producto escalar vale producto escalar quiere decir que el resultado de esa operación de esos dos

vectores vale la multiplicación de esos dos vectores ese producto de dos vectores me va a dar un escalar Es decir

me va a dar un número no me va a dar un vector vale Así que nos quedamos con esto importantísimo producto escalar de

dos vectores da como resultado un numerito es decir un escalar Entonces si tengo dos vectores u y v dos vectores u

y v vale el producto escalar de esos dos vectores se Define de la siguiente manera vale esto es por definición se

define de la siguiente manera es igual al módulo del primer vector por el módulo del segundo vector por el coseno

del ángulo que forman esos dos vectores vale si yo tengo dos vectores u y v forman aquí un ángulo alfa el que sea

pues el producto escalar de estos dos vectores va a ser lo que mide el primer vector multiplicado por lo que mide el

segundo vector multiplicado por el coseno del ángulo que forma los dos vectores ya diréis y esto de dónde sale

esto simplemente es una definición no le demos más vueltas Solo que esta definición tiene un sentido muy

importante para luego concluir una serie de cuestiones vale a partir de esta definición luego vamos a poder obtener

la expresión analítica es conveniente que el producto escalar se defina de la siguiente manera entonces de aquí yo

para empezar Ya eh saco una serie de conclusiones vale eh lo que llamamos la propiedad

fundamental del producto escalar Mirad yo tengo que si dos vectores son ortogonales vale son perpendiculares si

dos vectores son perpendiculares si este se representa mediante este símbolo pues tenemos podemos concluir directamente

que el producto escalar de los dos vectores me va a dar cer0 por qué Porque si dos vectores son perpendiculares

forman 90 gr entre ellos si forma 90 gr aquí tendré el módulo del primer vector el que sea por el módulo del segundo

vector el que sea por el coseno de 90 coseno de 90 sabemos que es 0 vale por tanto el producto escalar me va a dar

cer0 Así que nos metemos esto en la cabeza muy importante si tengo dos vectores que son perpendiculares

Entonces el producto escalar de ellos es cer0 pero al revés no siempre es así vale si el producto escalar es cer0

puede pasar dos cosas o los vectores son perpendiculares o alguno de ellos es el vector nulo Es decir para que al final

este producto escalarte de cer0 o bien Esto es cer0 o bien alguno de estos dos alguno de estos dos factores son cer0 si

el módulo de u o el módulo de V es 0 quiere decir que el vector eh mide cero si el vector mide cer0 Qué quiere decir

que el vector es el vector nulo vale el vector nulo es un vector muy especial es un vector cuyo origen y extremo es el

mismo punto por tanto es un vector que geométricamente lo veríamos como un punto por tanto si el producto escalar

es cero es o bien porque alguno de los dos vectores es el vector nulo o bien porque los vectores son

ortogonales bien pues una vez tenemos esto claro vamos a ver una serie de propiedades que cumple el producto

escalar la primera de ellas que cumple es la conmutativa la propiedad conmutativa Qué quiere decir pues En

definitiva lo que nos viene a decir es que el producto escalar de u * v va a ser igual al producto escalar de V * u

lo cual es bastante lógico atendiendo a la definición el producto escalar de u * v es el módulo de u por el módulo de V

por el coseno del ángulo que forman u y V en y el producto escalar de V por u será el módulo de V por el módulo de u

por el coseno del mismo ángulo Vale qué es lo que cambia de una a la otra pues el orden en el cual he multiplicado los

módulos de los vectores pero eso es indiferente por tanto el producto escalar cumple la propiedad conmutativa

hay más propiedades la asociativa si yo tengo el producto escalar de u por V multiplicado aquí por otro escalar pues

esto tenemos que es igual a lambda por u multiplicado por V vale Y esto es lo mismo al final que u producto escalar

por lambda por V vale esta propiedad No la voy a demostrar vale Pero esto se demostraría de manera muy sencilla qué

más y ahora una que es clave y fundamental que es la distributiva propiedad distributiva pues tenemos el

producto escalar de u por la suma de de dos vectores de v + w esto es igual a u * v + u * W y esta propiedad que nos

puede parecer muy evidente puesto que esto lo conocemos con números reales no esto lo hemos hecho en Secundaria toda

la vida no aplicar la propiedad distributiva con vectores es importante ver que también se cumple vale Y como

Esto no es tan inmediato lo voy a demostrar vale vamos a hacer aquí ahora una demostración una demostración

matemática entonces para ello voy a hacer lo siguiente voy a hacerlo siguiente Mirad voy a representarme los

vectores v y W de la siguiente manera esto por ejemplo el vector V este sería el vector W vale de manera que aquí me

aparece la suma de v y W la suma de v y W es la diagonal del paralelogramo que forman estos dos vectores sería este

vector de aquí esto sería v + w vale Y ahora el vector u Me lo voy a representar aquí así entonces voy a

hacer ahora lo siguiente Mirad voy a representar ahora a aquí esto de aquí esto que estoy representando Aquí le voy

a poner un nombre vale Esto es lo que llamamos la proyección del vector V sobre el vector u lo voy a representar

así de esto luego hablaremos más adelante más adelante voy a hablar un poco más detenidamente de las

proyecciones vale Pero si esto es el vector u Y esto es el vector V digamos que la sombra que crearía el vector V

sobre el vector u sería esto de aquí pues esto es lo que llamamos la proyección de V sobre u qué más tenemos

por aquí vamos a ver la esta proyección A qué sería a Qué sería igual imaginemos que el ángulo que forman eh v y u es un

ángulo por ejemplo Alfa de manera que si Yo calculo el coseno de Alfa coseno de Alfa en este triángulo rectángulo sería

cateto contiguo partido hipotenusa cateto contiguo sería la proyección de V sobre u partido la hipotenusa la

hipotenusa es lo que mide esto que eso es el módulo de V vale el módulo de V entonces de aquí que es lo que tenemos

Pues que la proyección de V sobre u Esto va a ser igual al módulo de V por el coseno de Alfa bien Ahora voy a calcular

el producto escalar de u por V vale el producto escalar de u por V por definición esto es el módulo de u por el

módulo de V por el coseno del ángulo que forman u y v que es precisamente el ángulo Alfa vale lo veis el ángulo Alfa

que he marcado aquí es el ángulo que forman u y v aquí me está apareciendo módulo de V por coseno de Alfa módulo de

V por coseno de Alfa Esto es lo que hemos llamado la proyección de V sobre u vale que reemplazo aquí por tanto nos

quedamos con esto que el producto escalar de u * v es igual al módulo de u por la proyección de V sobre u del mismo

modo si yo hago el el producto escalar de u por W esto a que va a ser igual siendo la misma nomenclatura que tengo

arriba será el módulo de u multiplicado por la proyección en vez de ser de V sobre u de este sobre este Ahora va a

ser de este sobre este es decir de W sobre u vale Y ahora me voy aquí a mi dibujo Quién es la proyección de W sobre

u W es este vector y u es este vale la proyección de W sobre u va a ser esto que tenemos aquí vale desde aquí hasta

aquí esto sería la proyección repito de W sobre u entonces y Finalmente nos damos cuenta que esto de aquí esto de

aquí Quién es esto de aquí estoy viendo que es la proyección de quién esto es la proyección del vector v + w sobre u vale

de manera que yo tengo que el producto escalar de u * v más W esto que va a ser igual al módulo del primer vector vale

módulo de u vale Y ahora por la proyección de quién de este vector sobre este es decir la proyección de v + w

sobre u Pero es que fijaos como Según hemos dicho aquí la proyección de v + w sobre u que es esto de aquí es esta

proyección más esta proyección bien si aquí ahora aplico propiedad distributiva tengo esto por esto más esto por esto

Vale entonces me queda aquí módulo de u por la proyección de V sobre u Quién es eso módulo de u por la proyección de V

sobre u el producto escalar de u por V más y aquí me queda módulo de u por la proyección de W sobre u módulo de u por

la proyección de W sobre u esto es el producto escalar de u por W Así que no perdamos de vista aquí Toda la cadena de

razonamiento tenemos que el producto escalar de u * v + w hemos acabado concluyendo que esto

es igual a u * v má má u por W que era la propiedad distributiva que pretendíamos demostrar vale Así que ya

lo tenemos nos quedamos con este resultado que ahora lo vamos a utilizar bien pues esto lo tenemos claro vamos a

avanzar un poco más y vamos a ver de qué manera obtener la expresión analítica del producto escalar Entonces ya hemos

visto que el producto escalar lo definimos de esta manera vale el producto escalar de dos vectores que

hemos dicho que es módulo de u por módulo de V por el coseno del ángulo que forman sin embargo ya os adelanto una

cosa y que es que esta no es la forma más práctica de calcular el producto escalar de dos vectores Entonces vamos a

ver cómo hacerlo a partir de sus coordenadas Vale entonces supongamos que tenemos el vector u cuyas coordenadas

son u1 U2 y el vector V cuyas coordenadas son v1 v2 vale Si no se dice lo contrario estamos trabajando en la

base canónica vale si estoy trabajando en la base canónica Qué quiere decir pues que si las coordenadas son 1 u en

la base canónica esto es u1 multiplicado por el vector I + U2 multiplicado por el vector J del mismo modo pues eh las

coordenadas de V son estas Pues aquí tendremos lo siguiente bien entonces ahora el objetivo es calcular el

producto escalar de u por V entonces quién es el vector u reemplazo por lo que tengo í por el vector V reemplazo

por lo que tengo aquí bien y no perdamos de vista que esto es producto escalar vale este producto que tenemos aquí es

escalar Entonces ahora que es lo que que lo que vamos a hacer aquí pues aplicar las propiedades que hemos demostrado

vale para multiplicar esto por esto aquí puedo aplicar la propiedad distributiva Entonces esto sería esto multiplicado

por esto más esto por esto más esto por esto más esto por esto y esto lo puedo utilizar porque sé que el producto

escalar cumple la propiedad distributiva que he demostrado hace un momento por tanto me quedará esto por esto más esto

por esto más esto por esto más eh finalmente esto por esto Bien también habíamos hablado de que el producto

escalar cumplía la propiedad asociativa vale por tanto esto Me permite aquí reordenar poner por una parte la

multiplicación de los escalares y luego la multiplicación escalar de los vectores Pues bien Vamos avanzando un

poco más que no nos raye aquí tanta operación Mirad Aquí tengo el producto de dos numeritos vale un y v1 son

escalares vale Estos son numeritos y aquí tengo el producto escalar de dos vectores vale Y todos los términos

tienen la misma estructura Vale entonces vamos a razonar aquí eh lo siguiente vamos a calcular el producto escalar de

I por I Entonces si hago el producto escalar de I * I vale Y aquí voy a aplicar la definición del producto

escalar que es lo único que se aplicar por ahora el producto escalar de dos vectores es el módulo del primer vector

por el módulo del segundo vector por el coseno del ángulo que forman estos dos vectores estos dos vectores son el mismo

vector queé ángulo formando dos vectores que son el mismo vector por 0 gr Vale qué es lo que tenemos aquí el módulo de

I vale por definición I es el vector unitario en la dirección positiva del eje x el módulo de y es 1 por el módulo

de I que es 1 por el coseno de 0 el coseno de 0 es 1 1 * 1 * 1 Cuánto es 1 por tanto sabemos que esto de aquí es 1

ahora voy a calcular i * j I multiplicado por J Esto será por definición el módulo de I por el módulo

de J por el coseno del ángulo que forman I y J vale como estamos en una base ortonormal Este es el vector en la

dirección del eje x y el vector en la dirección del eje I pues eh forman 90 gr y el coseno de 90 sabemos que es 0 por

tanto 0 por 1 * 1 pues esto al final va a ser c0 por tanto Este término de aquí esto es cer0 por el mismo motivo podemos

razonar que j * y va a ser 0 y que J * J va a ser 1 por tanto fijaos al final qué es lo que me queda queé es lo que me

queda tengo finalmente que esto es u1 * v1 por 1 que ya no lo pongo más esto es 0 esto es 0 finalmente más u sub2 * v

sub2 por tanto En definitiva y me quedo con este resultado si tengo dos vectores u y V con sus coordenadas vale el

producto escalar de esos dos vectores si la base es ortonormal se calcula de la siguiente manera es la coordenada x del

primer vector por la coordenada x del segundo vector más la coordenada i del primer vector por la coordenada i del

segundo vector Tan sencillo como eso es esto por esto más esto por esto y esa operación como digo da un numerito da un

escalar por eso se llama producto product escalar vale Y esto que acabamos de obtener aquí Ahora tiene unas

implicaciones muy muy importantes que ahora vamos a ver vamos a verlo con un ejemplo primero si tengo yo que sé pues

el vector u de coordenadas 32 y el vector V de coordenadas 1 y yo quiero calcular el

producto escalar de estos dos vectores tal y como hemos dicho es tan simple como hacer esto por esto más esto por

esto es decir sería 3 * 1 + 2 * 5 vale es decir esto sería 13 el producto escalar de estos dos vectores sería 13

eh es un ejemplo solamente Entonces esto tiene una serie de implicaciones Mirad una de ellas eh lo que me va a permitir

es a partir de un cierto vector obtener las coordenadas de un vector que sea perpendicular me explico si yo tengo un